高等数学II期中试卷

高等数学II期中试卷1、选择题(每小题3分，共计 xy函数 f (x, y) = 15分)22x +y #0 在(0, 0)点(A) .连续，偏导函数都存在;(B) .不连续，偏导函数都存在;在。(C).不连续，偏导函数都不存在;(D).连续，偏导函数都不存2、x2,0 x 1 )的值为重积分 口 xydxdy (其中D : 0 E y E D,、1(A) . g；-1(B) .一；121(C) .-；r 1(D) . - 043、设f为可微函数,x az = f (y bz),贝 U a 乌；xbi=(A) 1；(B). a；(C). b;(D ). a +b04、设D是以原点为圆心，R为半径的圆围成的闭区域，则J |xy d。DR4 (A).4 ;R4(B).9;R4(C).2 ;(D). R4o5、设 f (x，y) ft D : 0 _ y _1 _ x，0 x 1 上连续，则二重积分 j j f( x, y)d。表小 D成极坐标系下的二次积分的形式为二 102d1 f(cos，, r sin - )rdrcos 二 sin 二(B).f (r cos -,r sin -)rdr-T1 -cos -I0&. 0f (r cos -, r sin - )rdr(D).0d. 01cos i sin 1f (r cos，, r sin -)rdr、填空题（每小题4分，共计24分）y1、设z = (xy尸，则dz= , 在点P(1,2)处的梯度g r azdp =。2、设 f (x, y) = x+(y-1)arcsinj2 ,贝 f x (x,1)=。3、 D由曲线(x _1)2 +(y _1)2 =1所围成的闭区域，则! （x y）dxdy =Do4、函数u = xyz在点（5,1,2）处沿从点（5,1,2）到点（9,4,14 ）所确定方向的方向导数是。y =1-2x5、曲线,1 5 2在点（1,T,-2）处的切线方程为 ,法平面iz = x2 2方程为。6、改变积分次序0 二dy-1/_2arcsin y1,：； arcsin yf(X，y)dX0dy arcsiny f(X，Y)dX =三、计算题（每小题7分，共计49分）11x. 1、求 Jdxysin dy。o x y2、求椭球面2x2+3y2 +z2=9的平行于平面2x 3y + 2z + 1 = 0的切平面方程。1 ：r3、已知z=fK,）具有二阶连续偏导数，利用线性变换 =x+ay变换方程 x = x + by-2- 2- 2- 2胃+3=+詈=0。问：当a,b取何值时，方程化为 :z =0。 22x x y y4、x2 + y2 +z2 = xf （）, f 可微，求。 xx，15、在经过点P（ 2,1,3）的平面中，求一平面，使N与二坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。_ 17、设区域D : M x+y26、求二元函数z = x2+4y2 +9在区域x2 + y2 E 4的最大值、最小值。E1,证明：JJln( x2 + y2)dxdy 0,y0，t0 若 f(t)是连t -0续可微的函数，求f(t)高等数学II (B卷)单项选择题(每小题分，共20分)1 .母线平行于y12x22轴且通过曲线I x2 y2zZ2 =16_ y2 =0的柱面方程为3x2 2z2 =16 y = 0_ 2_ 2-3x 2z =163x22 x22z2 =1622x2 +2y2 =16。. 下00二(-1)n ln(1n 1n(n 1)B、C、n10 n7n 1QO二(1 - cosn d下述幕级A、x (1 1 HI 1)x n32 n二 1%xnR nW n ;C、二 1 n-2 xn t n ；,二1 nln(12)xD、nWnzln(x y z ).222设c为x +y +z ,则三重积分222-dxdydz 了 x2 y2 z2 1A、0B、nC、 3D 2n2.22_211 x3dydz y3dxdz z3dxdy工) 2,-3 111 a dxdydzA、二、-3 iiir2 r2sin drd id :G -5 .设Z为球面x +V +z =a的内侧（a0）,建为Z所围空间闭域，则按高斯公 式曲面积分可表小2,3111a dxdydzB、Q3 iiir2 r2sin drd:D 、石二、填空题（每小题4分，共20分）； d d M d，6 .若向量x与a =2i - j +2k共线,且满足a x = -18，则x =7 .曲面ez -z+xy=3在点(2,1,0)处的法线方程为 .2228 .若函数 f(x,y,z)=x +2y +3z +xy+3x-2-6z,则 gradf(1,1,1)=x ay dx ydy29 .已知 （x + y）为某函数的全微分，则a=xy2dy - x2 ydx 二三、计算题（每小题11.设 ex*sin(x+z) =0.其中L是圆a210分，共60分）；z ；z-1 -计算 x二y,22土 .工= 1,(a 0)的正向./、22212.设 z = z(x,y) 是由 x -6xy+1 0 y- 2 yz z+1 8确0t 的函数，求 z = z(x, 丫地勺极值，13.计算二重积分1120 dx xLdyI 二（x2 y2）dxdydz_ 214 .计算三重积分建.其中c由锥面zoxy与平面Z = 1.(x2 y2)dS所围成的区域15 .设工是锥面z = & +y2 ,(0 Wz1),计算口16.计算工yzdxdz 2dxdy= 4,(z20)的上侧.，22_2、2225+v +z ，其中工是球面x +v +z高等数学II(A卷)二、单项选择题(每小题4分，共16分)22 32C、(z +y)=25x .1 .将zox坐标面上曲线z3=5x绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 )A、z3 =5jx2 +y2 ; B、 = -5Jx2 * y2 . 622z = 25 x y2 .有关二元函数f (x,y)的下面四条性质:(1) f (x, y)在点(x0,y0)可微分；(2)f式x,y0), fy(%。0)存在；(3) f (x，y)在点(x0,y0)连续； (4) fx(x, y), fy(x,y)在点(xo, yo)连续.若用P Q表示可由性质P推出性质Q,则下列四个选项中正确的是()A、(4)=(1)= (2)； b、=(4)=(3)； c、(1)=(2)= (3)； d、 (2)= (1)= (3)3 .设积分区域D =xy x 厂，则下式中正确的是A、1x y (x y)dxdy = 4 xex dx0 ；1 1B、x22lie (x y)dxdy = 0D.exD4.22ex .yD1(x 十 y)dxdy = 4Jxex dx(x y)dxdy =8 xex dx0.-22 . 一 . 一有向曲面工：z = x -y在第II卦限的右侧、也是此曲面在第II卦限的()A、前侧； B、后侧；C、左侧；D、不能确定.二、填空题(每小题4分，共20分). .2_1 u 二442 2一-5 .设函数u=x +v -4xy ,则纵,吟6 .曲面ezz + xy =3在点(2，1，0)处的切平面方程为 227 .若函数z=2x+2y+3xy+ax + by + c在点(-2,3)处取得极值，贝(Ja=点(一2,3)是此函数的极 (大、小)值点.O0x= bn sin nx (0 三xM慝)8 .设 nl，则 4 =9.(y ex)dx (3x ey)dy =22xy2 - 1.其中L是正向椭圆ab三、计算题(每小题8分，共64分)f x = t : y =t3.求(1)曲线在点(1,1,1)处10 .已知函数 u=ln(x + Jy2+z2),曲线 lzW 切线方向的单位向量(沿t增加方向)；(2)函数u =ln(x + Jy2+z2)在点(1,0,0)处沿(1)所指方向的方向导数. jz rzx -y, 11 .设方程esin(x+z)=0确定隐函数z = z(x,y),计算 出列.12 .计算二重积分ji jio6dy .:cosx , dxx13 .计算三重积分 围成的区域.I = zdxdydz1.其中。是由锥面z = Jx2 + y2与平面z=1所r 2 ,2 ,2jX +y +z14 .设r是曲线X +y +z2二 a=0，计算x2 + y2)ds3 ._2 ._ 2 .11 x dydz 2xz dzdx 3y dxdy2215 .计算Z,三为抛物面z = 4-x -y位于平面z = 0上方部分的下侧.二二 1% x16 .已知幕级数nn(n+1) 和函数；n 1，求(1)此级数的收敛域；(2)此级数收敛域内的17 .设f(u)具有连续的导数,222 . .2x +y +z t 0(3)级数 n=1n(n+1)2n* 的值.lim 74- III f(X2 y2 z2 )dxdydz且T t夏存在，其中:计算(i) f；lim : 111 f (. x2 y2 z2 )dxdydz tot高数II试题、选择题(每题4分，共xy16分)二0(A)连续，且偏导函数都存在；(C)不连续，且偏导函数都不存在;在(0, 0)点.(B)不连续，但偏导函数都存在;(D)连续，且偏导函数都不存在。:z2.设f为可微函数,z= f(x + y+z, xyz),贝(j afi yz f2A ) fi xy f2 -11- f1 - xy f2(B).f1+yzf2 ；f yz f2(c ).1 - f1 - x y f2 ；f1xzf2(D). My。3.设 f(x,y5D：x2 +2y-2 4f (x, y) d-上连续，则二重积分D表示成极坐标系下的二次积分的形式为(A).2 二 2f0 de f0 f(rcos0,rsin9)rdr .(B)二 2df (r cos/r sin i)rdr0 ，0 、 ， ；(C).f (r cos -,r sin)rdr(D).f (r cos -,r sin -)rdroO、anxnn与 的收敛半径 an(X - 1)n4.幕级数n卫在x = 3处条件收敛，则幕级数 O(A), 3；(B). 4 ； (C). 1 ；(D), 5。二、填空题(每题4分，共20分)1 .设函数z=xy,则函数z = xy的全微分j。2 .函数u = x2+y2+z2在点8。，1,1)处沿OP0方向的方向导数为,其中O 为坐标原点。3 .曲面2z+xy=3-ez在点(1,2, 0)处的切平面方程为 。4,曲线积分I电L(x *y ds (其中L是圆周：x2+y2=9)的值为 ox, 0x0(n= !！ zdxdydz2=2、11.计算 Q，建是由曲面、4-3(x +y )及,2,)，且nq 收敛，2,则级数 (-1)n(ntan )a2nnn ().(A)条件收敛；(B)绝对收敛；(C)发散；(D)收敛性与九有关。4,设二元函数 f(x，y)满足 fx(0,0) = 1f y(0,0) =2,则(A) f(x，y)在点(0，0)连续;(B) df(x,y) |(0,0)=dx + 2dy ;二fl(0 0)cos2cos(C)日，其中cosc(，cosP为l的方向余弦；(D) f(x，y)在点(0，0)沿x轴负方向的方向导数为-1.二、填空题(每小题4分，共16分).xf (x，y) = x (y -1)arcsin -5 .设函数Vy,则 fx(x，1)=.、,22226 .曲面z = Vx y被柱面x +y =1所割下部分的面积为2S(x)= bnsinn二 x (-二：x ： 二 )7.设 f(x) =x (OWX41),而n，其中1 L .bn =2 f (x)sin n xdx n =1,2， ，则 (2)S(9)=.J-1 (x-2)n-28.幕级数n n的收敛域为 .三、解答下列各题(每小题7分，共28分).9.设z=z(x，y)是由方程F(xy，z-2x)=0确定的隐函数，F(u，v)可微，计算 .z ;zx 一 - y 一 excy在曲面z=xy上求一点，使该点处的法线垂直于平面x + 3y + z+9=0.1 f(x) = 2z =x22y所围成的闭区域.10.将函数 x +3x+2展开为x的幕级数.四、解答下列各题（每小题10分，共30分）12. （10分）设f（x）具有二阶连续导数，f=0=1 ,曲线积分2xy（x y） 7f （x）dx f （x） x ydyL与路径无关.求f（x）.xdy -ydx22222 ,13. （10分）计算积分4x +y ，其中l为圆周（x-1） +y =R越乂按 逆时针方向）.2 ,I = ydydz-xdzdx z dxdy2214. （10分）计算 三，其中为锥面z = Jx +y被z=1，z=2所截部分的外侧.五、综合题（每小题5分，共10分）22222215. 在椭千面2x +2y +z =1上求一点，使函数f（x,y,z） = x +y +z在该点沿方向1 =（1，-1，0）的方向导数最大，并求出最大值.U、（1-1）证明：设Un是单调递增的有界正数列，判断级数 niUn是否收敛，并证明你的结论.高等数学I一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1 .当xt %时，a（x）P（x）都是无穷小，则当xt X。时（）不一定是无穷小.(A)a(xM(x)(C)2.极限In 1 匕(x) ： (x)1sinxlim TsinaJ 的值是(B)二 2 x ： 2 x：2 (x)(D)： (x)(A) 1(B)ecot a(C) e (D)tan ae-l-sin x e2ax y f(x)= x3.L ax=0在x = 0处连续，则a =(A) 1(B) 0(C) e (D)-14.设f(x)在点x=a处可导,那么(A) 3f (a)lim f(a h) - f(a-2h)h Ph(B) 2(a)(C) f 、填空题(本大题有(D)4小题，每小题1/ (a)34分，共16分)ln(x a) -ln a lim (a 0)5 .极限7 x的值是.6 .由 exy +y1n X=cos2x 确定函数 y(x), 则导函数 y =7 .直线l过点M(1,2,3)且与两平面x+2y-z = 0,2x-3y + 5z = 6都平行，则直 线l的方程为.2求函数 y = 2x - ln(4x)2007 2008学年第(1)学期考试试卷高等数学II (A卷重修)、填空题(每小题4分，共20分)二 2u u1 .2 .处取得3 .4 .4 ,4,22: 2设u = x +v -4x y，则.(0,0”Zx西y0厂0和zy ,。)。厂0是可微函数z = z(x.y)在点. y0)(充分、必要、充要)条件.2曲线x = 2t .y = c0s(3)2 = 21nt在对应于t= 2点处的切线方程为：周期为2n的函数f(x),它在一个周期内的表达式为1 -n x 0 f(x )= 110 -x工7T，设它的傅里叶级数的和函数为s(x)则 S(0)= .2d y ody2 y - 0微分方程dx2dx 的通解为、计算题(每小题8分，共40分)求dzy z = In tan 【x J2.求函数u = x + y + z在球面x2 + y2+z2 = 1上点（001）处，沿 球面在该点的外法线方向的方向导数。3.交换积分次序21dx：?2x-x22-xf x y dy4将已知正数a分成两个正数 大？2 2x y之和，问：x y为何值时使x y最dy 2xy =4x5 ,求微分方程dx. xydV的通解。、计算三重积分Cz = 1 z = 0 y = 02其中c是由柱面xy2 = 1与平面,x=0所围成的第一卦限内的区域。（9分）xdydz ydzdx zdxdy四、计x2（9分）22y z为球面2=a的外侧。五、计算曲线积分xy（ydx ln xdy）I x，其中L:自点到点B =2,112J的一段有向曲线弧（9分）1,2I2 1沿曲线/n1n-1上六、求级数 nT七、求极限 m+t2n2t的收敛域与和函数。t dxte（9分）（x-y 12dy（4分）三z确定，则：x =高等数学下C （07）、填空题（每小题3分，共计15分）1 .设 z = f （x,/ 由方程 x + y + z = e -（x +y +z）2.函数u = xy2 + z3 - xyz在点P0(0，-1，2)沿方向l = (1，J2G的方向导数P02222x y3 . L为圆周x +y =1,计算对弧长的曲线积分Ie ds =2 一 24 .已知曲面z = 1-x y上点P处的切平面平行于平面2x + 2y + z - 1 = 0,则点p的坐标是 05 .设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间( 1，1的定义为2-1 x0,曲线y= f(x)上点(x，f(x)处的切线在y轴上的截距1 . xf(t)dt ，/、 等于x，求f (x)的一般表达式。5.求解微分方程y_2y = ex +x。.xdydz ydzdx (x z)dxdy三、(10分)计算曲面积分 工,其中三是平面2x + 2y + z=2在第一挂限部分的下侧。四、(10分)应用三重积分计算由平面X=0,y = 0，z = O及z = 2x + y+2所围成的 四面体的体积。4422五、(10分)求函数z= xy -x -2a-y的极值。22六、(10分)设L是圆域D：x y ；2x的正向边界，计算曲线积分 1(x3 - y)dx + (x - y3)dy。:(x-1)n七、(10分)求幕级数nn 的收敛区间与和函数。高等数学上B (07)试题一、 填空题：(共24分，每小题4分)dy _2 一 . 一 二1, y =sinsin(x ),则 dx 二 a .2dx =二2, 已知l+x , a=e1 ln x dx =3. eox4. y =e过原点的切线方程为f (lnx)x i dx5. 已知 f(x)=e ，贝x =0326. a=, b=时，点(1,3)是曲线y = ax +bx的拐点二、计算下列各题：(共36分，每小题6分)3.4.5.cosx求y=(sinx)的导数。x 5 dx Jx2 10xf(x) 一十 k, xk 1,lim(求极限n ：-2,求 Jsin1nxdx。x - 0x 0在点(。,0)处可导，则k为何值?n2 12. n2 22HI - -=L=Jn2 +n2 06.方程。_Lx 2y _z 1 = 0 _L2x_ y z = 0求过点(2, 2,0)且与两直线x-y + z-1 = 0和1x-y + z = 0平行的平面2.3.4.、解答下列各题：(共28分，每小题7分)_Lx = Rcostd2y设y = Rsint，求菽。x求F(x) = J0t(t -1)dt在-1,2上的最大值和最小值。22设 y = y(x)由方程 x(1 + y )-ln(x +2y)=0 确定，求 y(0)。2 ,2 一 一求由y=x与y =x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。四、证明题：(共12分，每小题6分)1,证明过双曲线xy=1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角 形的面积为一常数。2,设函数f(x)与g(x)在闭区间a3上连续，证明：至少存在一点、使得bf( ) g(x)dx = g( ) f(x)dxa成绩(B) .e (C)e (D)e2(A)(n 1)(1 - 水)n 1 nvx(B)(C)1v xn 1(1-x)n 2(D)(-1)n(n 1)(1 -3 x)(-1)n(1 -次)n2n 1 nvx试卷号：B020002校名 系名 专业姓名 学号 日期(请考生注意：本试卷共页)大 题一二三四五六七八九十十一十二十三十 四成 绩一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中) (本大题分5小题，每小题2分，共10分)1、 X设 I = (-e-F1dx,Wl =ex 1 xx(A)ln(e -1) c (B) ln(e 1) c;(C)21n(ex 1) -x c;(D) x -21n(ex 1) c.答() 2、lim e nJ ;(A)13、f(x)的n阶麦克劳林展开式的拉 格朗日型余项Rn(x)=()(式中081)答()则点x = 0设f(x)在x=0勺某邻域内连续，且fOXmof，：2(A)是f(x)的极大值点(B)是f(x)的极小值点(C)不是f(x)的驻点(D)是f(x)的驻点但不是极值点答()4、曲线y =x2 -2x + 4上点M0(0,4)处的切线M0T与曲线y2 =2(x-1)所围成的平面图形的面积A =214八 913(A)(B)(C)(D)49412二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分5小题，每小题3分，共15分)设 y = ln 1 + tan(x + ),则 y，=1 、x2用切线法求方程x3 -2x2 -5x-1 =0在(-1,0)内的近似根时，选x。并相应求得下 一个近似值 x1 则x0, x1分别为 x -1 _ y 1 _ z -13、设空间两直线 12 儿 与x *1 = y 1 = z相交于一点，则九=_sinx +e2ax -1 当f (x) =， x x 叱，在x = 0处连续，贝U a =.4、 a,当 X=0/xdx=,其中b是实数.5、0 1三、解答下列各题(本大题4分)一 一 一 1 一 一 1一 一 一 1设平面冗与两个向量a =3i + j和b = i + j _4k平行，证明：向量c =2i _6j _ k与 平面n垂直。四、解答下列各题(本大题8分)讨论积分：当的敛散性.五、解答下列各题(本大题11分)导出计算积分的递推公式，其中n为自然数。六、解答下列各题(本大题4分)l ；x + 2y_z_5 = 0求过P0(4,23)与平面Kx + y+z_10 = 0平行且与直线1 (Z 10 = O 垂 直的直线方程。七、解答下列各题(本大题6分)计算极限limisinx - cos2xx-0xtanx八、解答下列各题(本大题7分)ee试求I n = (ln x)%x勺递推公式(n为自然数)，并计算积分1(ln x) dx.九、解答下列各题(本大题8分)设f (x)在(a,b)内可微，但无界,试证明f，(x)在(a,b)内无界。十、解答下列各题(本大题5分)设 lim 中(x) =u0,lim f (u) = f (u0),证明：lim f (x)= f (u0) x_0UT0x0oH一、解答下列各题(本大题4分)在半径为R的球内，求体积最大的内接圆柱 体的高十二、解答下列各题(本大题5分)12:4cos 二二,cos -重量为p的重物用绳索挂在 A,B两个钉子上，如图。设135,求A, B十三、解答下列各题 (本大题6分)一质点，沿抛物线y = x(10 - x)运动，其横坐标随着时间t的变化规律为x=tJf(t的单位是秒，x的单位是米),求该质点的纵坐标在点 M(8, 6)处的变化速率.十四、解答下列各题(本大题7分)设曲线x = J7,x = Y2 - y2及y =0周成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积 (2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.成绩高等数学试卷试卷号：B020009校名系名 专业姓名 学号 日期(请考生注意：本试卷共页)大题一二三四五六七八九成绩一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题分5小题，每小题2分，共10分) b极限lim(1 上户 (a -二0, b -二0)的值为1、 x)0a(A)1.(B)ln?(C)ea.(D)号 aa答()2、 3lim(1 cosx)c0sx 二3A. e B. 8C, 1 D. 8答()3、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导记(I ) f(a) = f (b)(n )在9笛)内f,(x)三0则：(a)( i )是(n )的充分但非必要条件(B)( i )是(n )的必要，但非充分条件(C)( I )是(n )的充要条件(D)( I )与(11 )既非充分也非必要条件答 ()4、若(x0, f(x0)的连续曲线，y = f(x)上的凹弧与凸弧分界点，则()(A)(x0, f(x0)必为曲线的拐点(B)(x。，f(x。)必定为曲线的驻点(C) xo为f(x)的极值点(D) xo必定不是f (x)的极值点答()5、1一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周逆动.杆的线密度P =-, rr为杆上一点到。点的距离，角速度为露则总动能E =12 2_12 2_12 2_12 2(A) L (B) L (C) L (D)- L2345二、填空题（将正确答案填在横线上）（本大题分3小题，每小题3分，共9分）1、2、(3 x2)3dx =.x设f(x)= p(t-1)dt,则f(x)的单调减少的区间是二J（nn：-1）3、对于的值，讨论级数n（1）大时，级数收敛（2）当时，级数发散、解答下列各题（本大题共3小题，总计13分）1、（本小题4分）验证f （x） = x2在2,4上拉格朗日中值定理的 正确性2、（本小题4分）3、：； n n J. n10是否收敛，是否绝对收敛？（本小题5分）设f （x ）是以2 n为周期的函数，当2 2 ；时，f（x）= x。又设 Sx）是 f（x）的以2 n为周期的Fourier级数之和函数。试写出S（x）在-小冗内的表达式。四、解答下列各题（本大题共5小题，总计23分）1、（本小题2分）求极限x3 -12x 16lim 32x)2 2x -9x12x。42、(本小题2分)求(ex - 1)3exdx.3、（本小题4分）2-2求 r .x 7 dx-1 x4、（本小题7分）求 J x d x.5、（本小题8分）1y 二f试将函数x在点X。k处展开成泰勒级数。五、解答下列各题（本大题5分）oO、anxn如果哥级数n 在x = -2处条件收敛，那么该 级数的收敛半径是多少 ？试证之.六、解答下列各题 （本大题共2小题，总计16分）1、(本小题7分)如图要围成三间长都为y,宽都为x的长方形屋围，其墙的总长度为a,问x,y各等于多少时,所围成的总面积最大？(墙的厚度不计)2、(本小题9分)求由曲线丫 =e2x,x轴及该曲线过原点的切 线所围成的平面图形的 面积. 七、解答下列各题 (本大题6分)chx. x 之 0.设f (x)=，试讨论f (x)的可导性并在可导处求 出f(x)Jn(1 -x), x 0), 又设 x = rcos1 f (x) = r sin 6.b一.试证明：2 f (x)dx r ( Rd? - bf (b) - af (a), a :二其中二=arctan f(a) , : = arctan f (b) . ab高等数学第一学期半期试题(06)填空cosx,x 之0 x 2f(x)= x 2a - a - x ,x1. 1.设 Lx的连续点。设方程 x - y+arctan y = 0 确定了 y = 2.1 acos2x bcos4x lim43 . tx=a,贝tj a=(a 0) 0当 a= _ 时，x=0 是 f(x)二y(x)，求乎dx = 。, b= ,A= ox4 .函数y=x2的极小值点为 。5 .设 f (x) = x Inx 在 x0 处可导，且 f (x0)=2，贝U f (x0)= 6.设 limx0f x - f 0.2二 一 1,x贝U f(x)在x=0取得(填极大值或极小值)1.卜/1 . x 一 1函数f(x) =一耳、0, 三、解下列各题x 0x M 0 是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。2 x1 2x -12x2.2limx2 (3x 3 x - 2)x ：.22设曲线方程为x=t+2+sintdy 73.L yW+c0st ，求此曲线在x=2的点处的切线方程，及dx 一四、 四、 试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在x=0处有极大值为1,并求此函数的极小值五、五、若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。六、六、证明不等式： , e :二二：二,七、八、 证明:七、八、y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限设f(x)在0,1上连续且在 (0,1 )内可导，且 f(0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.(1)至少有一点 七 (1/2,1),使得f( E尸 七1.2.3.4.P1的坐标为(2) V技R ,存在 ne(o, ),使得()-， f(力-司=1 高等数学第二期半期考试试题、解答下列各题(每题6分)1. 利用二重积分求不等式r2cos& r 1所表达的区域的面积。2. 设 z=(1 + xy)x ,求 dz3. 求函数u=eyz 在点 P0(1,0,-1)沿 RR 方向的方向导数。其中(2,1,-1).4. 设u=f (x,y,z),而邛(x： ey, z)=0 ,y=simx其中f ,中具有一阶连续偏导数, du5.6.1.2.求dx。xy12, 、,z + x = Je dt确je,求5. 设 z=z(x , y)由06. 求曲面x2+4y-z 2+5=0垂直于直线2(每题8分)111 x| | y dxdy1. 计算二重积分 D其中D：323.dx sin y dy2. 计算二次积分1 x4。rx rxz二z-,-x二yy -1二z的切平面方程。x2+y2电时的极限。, s sin x f(x)=2. 6分讨论函数/-1一 -4x = e2_ td_j_3. 6分设 y - te 求 dx2x -0x 1,求 y1. 1.设Tx+1。2. 2. 设函数 f (x)在0,1上可导，且 y=f (sin 2x)+f (cos2x),求 dy/dx3. 3. 求由方程x2+2xy-y 2=2x所确定的隐函数y=y(x)的导数。4. 4. 确定y=x-ln(1+x 2)的单调区间。； dx5. 5.计算 1 x(1 +x )三、三、试解下列各题：(每题6分)1. 1.2. 2.3. 3.4. 4.2lim x 求x 二2t. 2J求山-t2设 y =t -e dx对函数f (x) = sin(x)在区间0,兀/2上验证拉格朗日中值定理的正确性。ln xx . 1 ln xdxsin x .四、证明：ex&2+1)x -12e五、8分以半径为R的球的直径为轴线钻一个半径为a ( 0 a 0 .x2 - x 1, x 1 ； 设f(x)=2x 一6、（本小题5分）求极限limx2 - 17、8、（本小题 设（本小题1求2x t 15分)1nx.y =(3x +1)1n( 3x +1),求 y5分)3x dx1 -x214、（本小题5分）9、（本小题5分）设 y（x） = x3e、x,求 dy xt .10、（本小题5分）2求由方程x23 +y3 =a%（常数aA0）确定的隐函数y = y(x)的微分dy.11、(本小题5分)设 y = y(x)由 x = (1 +s2y2 和y = (1 - s2) 2 所确定,试求.dx12、（本小题5分）x -y设y = y（x）由方程y =e x所确定，求y13、（本小题5分）若x 0,证明 x2 +ln（1 + x）2 2x8、（本小题5分）dx1、2、（本小题5分）要做一个圆锥形漏斗，其母线长20cm,要使其体积最大（本小题5分），问其图应为多少？3、求曲线y =2 x2与y =（本小题5分）x所围成的平面图形的面积求曲线y = x2和y = x3在bl止所围成的平面图形的面积、解答下列各题（本大题5分）证明方程x5 -7x=4在区间（1, 2）内至少有一个实根.四、解答下列各题（本大题5分）判定曲线y =（x +3）qx在0, +s的凹凸性02-03第一学期期末高等数学试卷、解答下列各题（本大题共16小题，总计80分） 1、（本小题5分）求极限3_lim3x -12x 16x，22x3 -9x2 12x -42、（本小题5分）求一（12、2x ）dx.r 16 求L 1 41x +x15、（本小题5分）16、（本小题5分）求（x 1/1）二、解答下列各题（本大题共3小题，总计15分