人口老龄化对消费与储蓄率影响的研究

1人口老龄化对消费与储蓄率影响的研究摘 要根据联合国预测，我国老年人口数占世界老年人口总量的 1/5。由此可见，人口老龄化形势在中国已经比较严峻了。因此，运用数学建模的方法，对中国人口老龄化产生的影响以及提出对策显得刻不容缓。在这里我们将提出三个问题：第一个问题，通过建立合理的模型来分析人口老龄化对储蓄率、消费率的影响；第二个问题，通过建立模型，根据以上的两个方面提出合理的对策；第三个问题，根据以上的一些对策来预测未来人口老龄化是否有所改观。对问题一的研究：获取老龄人口数与储蓄率的数据之后，根据散点图我们通过建立三次统计回归模型来进行计算，通过 MATLAB 得到了以下的回归系数和相关系数：=1366, = -0.432 , =, = , =0.9322。 2R01255*10392*102R因为=0.9322，所以有 93.22%的相关程度可以确定两者之间的关系。之后，2R我们通过建立消费函数模型来研究人口老龄化对消费的影响。首先我们将人均GDP（） 、儿童比重（Ch） 、老年人比重（Aged）直接作为自变量引入消费函ty数；其次以标准消费人作为综合指标，表示人口年龄结构，并引入消费函数：，3729.70.153258.861( )477.99( )ttcych taged t 20.998R 1669.9F 得出老年人口比重与人均消费水平有相关关系,老龄人口数会对降低消费水平产生一定影响，这对于经济的发展是不利的,人口老龄化对消费的减退在某种程度上抑制了经济发展。对问题二的研究：我们用两期迭代模型来研究最优储蓄率，根据得到的数据，有，得出结论：未来劳动力的下降可能引起当期最优储蓄的1,100dsdn上升。对策：政府完善社会保障体系，优化基本养老保险制度，提供退休激励。之后我们建立拉姆齐模型研究最优消费路径，最后的到消费的边际效用弹性=2，消费的相对风险系数=0.02 时，达到最优人均消费增长率。对策：建立积极发展老龄产业，开拓老年消费市场。从整体上改变年龄结构上的消费层次，改善消费状况，进一步发展经济。 对问题三的研究：在这个问题当中，考虑到环境条件、自然资源等因素对于人口老龄化人口增长起着阻滞作用，因而我们选择差分阻滞模型，利用MATLAB 软件计算相关值，并根据公式对未来 20 年的预测，得到结论：虽然老龄人数依然是在上涨，但是增长率上逐渐地减慢。 最后通过以上的研究，我们可以得出人口老龄化会造成一定的影响。当采取一定的措施之后，人口老龄化形势会有所缓解。关键词：人口老龄化；统计回归；消费函数；两期叠代模型；拉姆齐模型；差分阻滞模型2目 录第一部分 问题重述(3)第二部分 问题分析(3)第三部分 模型的假设(4)第四部分 定义与符号说明(4)第五部分 模型的建立与求解5.1 问题一的模型：模型 I（三次统计回归模型）（5） 模型 II（消费函数模型）（6）5.2.问题二的模型：模型 I(两期迭代模型)（13） 模型 II(拉姆齐模型)（14）5.3问题三的模型：模型（差分阻滞模型）(16)第六部分 对模型的评价 (20)第七部分 参考文献(20)3一、 问题重述过去的 100 年，世界人口由 16.33 亿增加到 60.86 亿，增长 2.73 倍；我国人口由 4.2 亿增加到 12.67 亿，增长 2.02 倍。可以说，20 世纪是人口暴涨的世纪，人口与资源、环境、经济发展、社会发展的矛盾变得尖锐起来。同时，上世纪 70 年代以来，生育率长期持续地下降和预期寿命的延长，由此引发的人口年龄结构人口老龄化悄然接踵而来，世纪之交世界人口年龄结构完成历史性转变，由成年型转入老年型，21 世纪上半叶将呈加速推进趋势。21 世纪将是人口老龄化走向严重的世纪，人口老龄化对发展首先是经济发展的影响和制约，越来越引起人们的关注。我国作为当今世界人口最多，同时也是生育率下降最快、持续时间最长的发展中国家，因而也是最早进入并将迅速走向人口老龄化严重阶段的发展中国家。中国人口老龄化具有速度比较快、达到的水平比较高和地区分布不平衡等显著特点，与发达国家“先富后老”比较形成“未富先老”基本态势，因而人口老龄化对经济发展的影响和制约格外引人瞩目。全面建设小康社会 20 年和 21 世纪前半叶，人口老龄化将是影响我国社会经济发展举足轻重的重要因素之一。作为世界人口第一大国的中国的人口问题一直是备受关注的，以 2010 年 11 月 1 日的第六次全国人口普查，从年龄构成变动来看，这次人口普查，0-14 岁人口占16.60%，比 2000 年人口普查下降 6.29 个百分点；60 岁及以上人口占 13.26%，比 2000 年人口普查上升 2.93 个百分点，其中 65 岁及以上人口占 8.87%，比2000 年人口普查上升 1.91 个百分点。今后随着低生育率的长期化，毋庸置疑中国最大的人口、经济、社会问题之一是人口老龄化。 中国人口老龄化发展趋势预测研究报告指出，21 世纪的中国将是一个不可逆转的老龄社会。对此，我们考虑到人口老龄化的影响较为广泛，所以我们就从人口老龄化对储蓄率和消费这两个方面进行分析和研究，得到如下三个主要问题：问题一：通过建立合理的模型来分析人口老龄化对储蓄率、消费率的影响。问题二：通过建立模型，根据以上的两个方面提出合理的对策。问题三：根据以上的一些对策，来预测未来人口老龄化是否有所改观。二、问题分析问题一的分析：人口老龄化势必通过劳动力增长率、消费当前人口、消费结构和预期寿命等因素对人的消费水平和储蓄率产生影响。人的消费水平不仅是衡量经济增长结果的重要指标，并且还从需求的角度影响增长。储蓄率则与投资相关联，为经济增长提供物质资本，因此人口老龄化对消费与储蓄率的影响倍受关注。Ando & Modigliani（1963）( “经济理论和可耗尽的资源” ，剑桥大学出版社1979 年)在生命周期理论中就已指出，各年龄段人口的消费量存在差异。与人口老龄化相伴随的劳动力增长率减缓一起，对经济增长产生水平效应，共同改变消费与储蓄的增长路径与稳态均衡值。Cutler(1990)将人口老龄化对实际消费人口支持率的影响引入新古典 Ramsey（1928）模型（“挽救的一种数学理论”，经济学报卷 38）对人口老龄化对消费与储蓄的影响 。在这里的话，我们是用统计回归和建立消费函数对人口老龄化与储蓄率、消费的关系进行研究的，通过这两种方4法对人口老龄化与储蓄率、消费关系进行探究。问题二的分析：Creey & Guest(2008)在完全替代弹性社会福利函数下，对分别以个人和单位个人作为权重时，人口老龄化对最优消费路径、最优储蓄率、税收和财政平衡的影响进行了对比研究。Tabata 在世代交叠模型（李洪心， 机械工业出版社，第五章）与 Romer(1986)内生增长模型(内生增长理论m)中，得到了父母寿命越长且患有疾病概率越高时储蓄率下降的结论。根据一些资料我们在这里运用的是两期叠代模型和拉姆齐模型， 两期叠代模型建立起最优储蓄率的模型，来通过研究各个因素来分析影响得出有效的对策，而拉姆齐模型是对最优消费建立模型进行研究，得出消费方面的对策。 问题三的分析：在人口老龄化的情况预测中，有些学者是用灰色系统中的等维灰色递补动态模型，根据人口普查得到的老年人口占总人口的比例等数据建立了动态 GM（1,1）模型，对今后几年老年人口占总人口的比率进行灰色预测，并对预测精度进行验证。但是我们考虑到随着外界的一些条件和因素会对老龄人口的增长起着阻滞作用，所以我们用了差分阻滞模型，该模型就使将外界因素也考虑其中，可对未来进行合理地预测。三、模型假设假设一：在最优储蓄率模型中，我们假设人的生命期分为两期，青年期为工作期，老年期为养老期，且只有青年期才可从事生产活动。假设二：在最优储蓄率的模型中，使用替代弹性函数时，不考虑初始资产存量。假设三：在建立消费函数时，不考虑个人的消费习惯等因素的影响。假说四：将年龄 65 岁以上定义为老龄人口。四、模型的建立4.1 符号说明tC消费总额tc人均消费水平tP总人口Ch014 岁人口数L1564 人口数Aged65 岁以上人口数tNt 年的人口总量itNt 年年龄为 i 人口数消费的相对风险系数5消费的跨期替代弹性k第二期的资本投入消费的边际效用弹性4.2 数据范围从中国统计局得到 1978 到 2009 年我国的 GDP、消费、人均水平、老龄人口数、储存率等数据。4.3 问题一的模型国际上通常把 60 岁以上的人口占总人口比例达到 10%或 65 岁以上人口占总人口的比重达到 7%作为国家或地区进入人口老龄化社会的标准.目前，中国 65岁以上老年人口总数已达到 1.1309 亿，又根据给出的数据我们可以看出从 2001年起我国已经步入人口老龄化社会，而且比例在逐年增加，我们通过中国统计局里得到了如下数据表 1：表 1 65 岁及以上所占比重年份t65 岁及以上所占比重（%）19996.9020007.0020017.1020027.3020037.5020047.6020057.7020067.9020078.1020088.3020098.50.根据数据我们可以得出 65 岁及以上人口占总人口比例的做出如图 1：y = 0.16x - 313.01R2 = 0.990901234567891998200020022004200620082010图 1 65 岁及以上人口所占比重6我们发现人口老龄化问题是大势所趋，并且人口老龄化对于我们各个方面的都有较大影响，就此我们考虑人口老龄化对储蓄率和消率的两个方面的影响。 1)首先我们考虑老龄人口数与储蓄率之间的关系如表 2：表 2 老龄人口数与储存率通过数据我们做了如下的散点图 2：y = -2E-09x3 + 5E-05x2 - 0.432x + 1366R2 = 0.93220.010.020.030.040.050.060.0020004000600080001000012000图 2 储蓄率与老龄人口关系图从图中我们可以看到两者之间存在一种变化趋势，我们就用三次模型年份储蓄率老龄人口数199538.4 7510199637.2 7833199737.7 8085199837.6 8359199936.6 8679200036.9 8821200137.7 9062200239.3 9377200342.1 9692200446.1 9857200547.5 10055200647.9 10419200749.9 10636200851.3 10956200946.0 113097Y=+.+，011x221x331x其中、为回归系数，服从均值为零的正态分布。运用统计工0123具里的 regress 得到如下数据:=1366, = -0.432 , =, = , =0.9322.01255*10392*102R结果分析：=0.9322 指的是有 93.22%可由模型确定,因而理解在一定时间范围内，2R人口老龄化人口数的增加对储蓄率有一定影响。2)考虑老龄人口对于消费上的影响：、建立消费函数根据有关人口统计指标的划分，可以把人口划分为三大年龄组：儿童、成年人（劳动人口） 、老年人。各年龄阶段对消费的需求不同，假定收入水平一定，则年龄结构会部分决定总消费需求。有研究认为，儿童和老年人的需求是成年人的 70%。也有人认为是一半的关系。根据这些研究结果，假设老年人口的消费需求比儿童要高。且在研究过程中通常以消费比例为依据，这个比例是根据各年龄组的不同需求分配给不同年龄组的人口的权数，即消费系数。根据现实生活的表现和有关研究，我们假设人口年龄结构的变化对消费水平产生影响。我们一是将儿童比重、老年人比重直接作为变量引入消费函数；二是我们寻找一个综合指标来表示人口年龄结构引入消费函数。直接引入人口年龄结构的变量的绝对收入假说的消费函数模型如下：如果直接给定消费水平的条件下，则最终消费函数为: . （1）tttCc P其中，为消费总额，为人均消费水平，为总人口。tCtctP这表明在消费水平给定的条件下，人口规模是最终消费规模的决定因素。然而，人均消费水平并非固定不变。影响其变化的因素有很多，人均收入水平或人均 GDP 水平、人口年龄结构等都是其中的影响因素。设人均消费与人均 GDP 和人口年龄结构具有以下关系：. （2）1234( )( )ttcaa ya aged ta ch t表示人均消费，表示人均 GDP，表示老年人口比重，表示儿童tcty( )aged t( )ch t人口比重。（2）式两边同乘以总人口，则最终消费函数模型为：tP . （3）1234( )( )tttttCa Pa Ya p aged ta Pch t（3）式表明，最终消费是总人口、老年人口、儿童和国内生产总值的线性函数。引入人口年龄结构综合指标（标准消费人）的消费模型如下：我们就将 1465 的成年人作为一个标准消费人设 014 岁儿童人口的平均消费水平相当于 1564 岁成年人口的倍。65 岁以上老年人口的平均消费水平相8当于 1564 成年人口平均消费水平的倍。若一个人口 P 中有 014 岁人口总数为 Ch，1564 人口为 L，65 岁以上人口为 Aged，则他们的标准消费人总消费水平为。当等式两端同时除以总人口 P 可以得到该人*SCPChLAged口每 100 人所相当的标准消费人数：，( *)*100SCPchlagedP 其中 ch,l,aged 分别代表儿童，成年人口，老年人口的比重。令 C 代总消费额，则代表标准消费水平。CscSCP根据此标准消费人的计算过程，为简化计算过程，我们不考虑消费习惯，可以得到如下的标准消费人消费函数为：. （4）12tttscaa yu其中，为 t 年标准消费人消费水平，区别与 t 年的人均消费水平，为人tsctcty均 GDP。这个模型反应了当排除人口年龄结构的影响后，消费函数中影响消费水平的因素将大大简化，且消费习惯不在标准消费人消费水平的考虑之内。 （4）式两边同乘以 t 年标准消费人规模得到总消费函数：tSCP. （5）1212ttttttttttSCPYSCPCa Pa y SCPa PaSCPPPP然后，变形采用人口年龄结构表示标准消费人，得到：. (6)12(.) 100tttttttttCa Pchlageda Ychlaged将代入(6)式，得：1ttlchaged . (7)121212(1.1.) 100tttttttttCa Pa Ya Pa Yageda Pa Ych或 . (8)121212(1.1.) 100ttttttCaa yaa yagedaa ych由（6）式可见，当老年人口和儿童的消费水平与成年消费水平越是接近,即（和接近 1） ，人口年龄结构对消费的影响越小。反之，当老年人口和儿童的消费水平与成年消费水平差异越大（即和比 1 小得多） ，人口年龄结构对消费的影响越大。由此可见，只要对（4）式略作变化，就可以将人口的年龄结构间接的引入消费函数。由（8）式可知，当人口规模一定时，老年人口和少年人口的边际消费倾向是一个与人均 GDP(或人均收入)有关的量；同时，也与老年人口和儿童人口的消费系数有关。9根据以上的分析，我们从中国统计局的数据得到我国历年有关 GDP、人口、消费等数据资料(见表 3)。在题中，为了得到标准消费方面的数据，我们已经假设一个 15-64 岁成年人为一个标准消费人，将 15-64 的成年人的消费水平看作标准消费人水平。按一定比例把儿童和老年人折算成标准消费人。根据各学者所得结论，得出可按 0.7 和 0.8 两个消费系数将老年人折算为标准人，同时将少年儿童的标准消费系数分别定为 0.7 和 0.6,因此我们将表 4 转化成标准消费人（见表 5）. 由表 4 可见，如果把老年人和少年儿童的消费系数都定为 0.7，则随着老年人口比重的上升，每 100 人的标准消费人由 1978 年 86.42 上升到 2003 年的90.48.这表明在人口由成年向老年转变的人口老龄化进程中，劳动年龄人口比重和老年人口比重都在增大，而少年儿童比重则在降低，使得每 100 人的标准消费人增加。那么，如果产出或收入水平不变、总消费额不变，则消费水平将因人口老龄化的发展而降低。根据计算得到的标准消费人总量和 1978 年不变价的消费总额，可计算得到按标准消费人计算的标准消费水平，由此可以计算得到老年人口的消费规模和占总消费额的比重。如果将老年人看做 0.7 个标准消费人的话，我国老年人口消费总额由 1978 年 79 元增长到 2003 年的 1046 元，年平均增长速度达到 10.87%，大于消费总额的增长速度。比较表 4 和表 5，如果把老年人的消费系数增加到 0.8 而少年儿童的消费系数定为 0.6，则随着老年人口比重的上升，每 100 人得标准消费人由 1978 年的83.31上升到 2003 年的 89.34，尽管标准消费人总规模略有减小但是增加幅度增大了。根据计算得到的标准消费人总量和 1978 年不变的价的消费总额，计算得到按标准消费人得消费水平，继而可以计算得到老年人口的消费规模和其所占总消费额比重（见表格） 。如果将老年人看作 0.8 个标准消费人的话，我国老年人口的消费总额由 1978 年 94 元增长到 2003 年的 1216 元，年平均增长达到 10.77%，也大于消费总额的增长速度。同时，老年人消费规模占总消费额的比重也有较大幅度的增加。表 3 GDP、消费、人均水平年份0-14岁15-64岁65 岁以上人均GDP老少比消费人均消费（元/人）197838.00357.5844.413374.5711.612239.1232.61197936.86958.7224.409397.7411.962494.6255.75198035.74158.8524.406423.7412.332735.4277.12198134.34760.9394.714439.5713.722969.2296.71198233.58261.6214.798473.3314.293186.6313.82198332.76362.7964.441521.3413.553537.4345.13198431.58464.2854.131595.513.084036.1390.05198530.70865.4673.825667.4412.464583.8438.51198629.50265.6774.82705.7216.344889455.9198728.92666.2394.835774.5316.725334.5489.51198828.33566.8054.86848.6617.155983.1540.59198927.60866.6694.723864.2120.736274.9553.9610199027.44667.225.334892.4719.436326.4553.33199127.19867.4045.398961.319.856880.9594.08199226.96267.5655.4731083.7920.37835.2668.7199326.80967.5965.5951212.0420.878403.4709.04199426.56467.7245.7121349.8821.59286.4774.83199526.41967.7225.861455.9822.1810140.1837.19199626.36267.6625.9751581.4222.6711322.6925.13199726.03167.8516.1181700.0523.512231.9989.43199825.71267.9776.3111816.1224.5413300.31066.06199925.34368.156.5071930.4925.68145941160.22200024.84168.4736.6862076.7126.92160.86.11269.19200124.1768.966.872210.9328.4216865.11321.44200223.3669.587.062392.3630.2217885.21392.35200322.5770.187.252615.7532.1218760.41451.74表 4 标准消费人及消费水平（消费系数：（少年，成年人，老年人）=(0.7,1,0.7)）年份标准人每100 人标准消费人总量标准消费人消费水平老年人消费规模老年人消费占消费的比重197886.4283183269793.54197986.8984756294883.52198087.3186182317963.51198187.51875743391113.74198287.74890973581213.8198388.43906373901243.5198489.16922534381313.24198589.83938984881372.99198689.24957045111843.76198789.49975265472013.77198889.69992646032263.78198989.111009446222794.45199089.651025046172624.14199189.741039356622884.19199289.81052157453334.24199389.811064437893654.34199489.841076748624114.43199589.851088249324614.54199689.8210992810305244.63199789.8711109911015804.74199889.9111217111866504.89199989.9611315912907355.04200090.0511413514098325.1711我们根据以上的相关数据对人均消费水平与人均 GDP、少年儿童比重、老年人口比重建立函数，利用 MATLAB 的到函数为：, （9）3729.70.153258.861( )477.99*( )ttcych tagedt 其中,.其中置信区间的数据如表 6 所示：20.998R 1669.9F 表 5 标准消费人及消费水平（消费系数：（少儿，成年人，老年人）=(0.6,1,0.8)）年份标准消费人总标准消费人标准人消费水平老年人消费规模比重197883.318019027994.24.21197983.9181849305104.34.18198084.4783372328113.74.16198184.8284882350131.24.42198285.1586462369142.94.48198385.9488081402146.14.13198486.889819449154.13.82198587.5891554501161.33.52198687.1393434523216.14.42198787.4595297560235.94.43198887.2397086616265.35.21198987.898805635327.24.85199087.8100390630306.94.85199187.93101839676337.54.90 199288.03103144760389.34.97199388.08104393805426.75.08199488.16105655879480.95.18199588.20 106823949538.65.31199688.191079361049613.25.42199788.291091491121677.55.54199888.381102631206759.25.71199988.481130001311857.85.88200088.641123421432969.76.03200188.8511339414871041.36.17200289.10 114453156311326.33200389.3411545216251215.86.48由此可见，模型中老年人口比重与人均消费水平有相关关系，老龄人口数会对降低消费水平产生一定的影响，这对于经济的发展是不利的，人口老龄化对消200190.1811506014658945.3200290.3311603515419735.44200390.48116926160410465.5812费减退在某种程度上抑制了经济发展。、采用标准消费人消费水平的消费函数模型的检验在不考虑前期消费水平影响的情况下，我们利用表 3 中的数据对（3）式和（4）式两个模型进行回归检验估计。不考虑消费习惯即前期消费水平的影响（绝对收入的假设）的模型（4）式的检验估计：, （10）168.6960.432tscy其中参数见表 7，模型总体检验为=0.946，F=404.175.2R表 6 置信区间参数参数的置信区间0-5153.2,-2306.21-0.038576,0.34497228.434,89.2883297.85,958.13表 7 参数表参数参数的置信区间00.072,1.89110,20.104由此可见，模型（10）式高度拟合我国 19782003 年期间消费水平与人均GDP 水平的关系，模型（10）式显著性检验通过，各参数也均通过显著性检验。当考虑当前期的消费水平对当期有影响时，模型（10）式的估计检验结果为： （11）138.0050.2960.584tttscysc表 8 参数表参数参数的置信区间00.014,2.67110.034,2.3031320.009,2.851其中的参数见表 8，模型总体检验为：=0.997，F=4683.135.2R由此可见，该模型（11）式也高度拟合我国 19782003 年期间消费水平与人均 GDP 水平和前期消费水平的关系，显著性通过，各参数也均通过显著性检验。利用把老年人的消费系数定为 0.8，少年消费系数定为 0.6 所计算的到的标准消费人及消费水平的数据对上述两个模型进行估计检验，其结果与利用表 3 中的数据进行估计检验得到结果非常接近，所不同的是，模型拟合优度和检验效果略比前者差一些。结果如下：在不考虑前期消费水平影响的情况下，我们再利用表 4 中数据对上述模型（4）式和模型（5）式进行回归检验。 不考虑消费习惯影响（绝对收入假设）的模型估计： . （10）*144.2730.567ttscy表 9 参数表参数参数的置信区间00.014,2.66110,18.276其中参数见表 9，模型总体检验为：=0.935，F=334.022.2R当考虑当前期消费水平对当期有影响时，模型的估计检验结果为： . (11) *141.911 0.2990.582tttscysc表 10 参数表参数参数的置信区间00.015,2.62910.035,2.25020.011,2.782其中参数见表 10，模型的总体检验为：=0.997，F=4503.386.2R从模型（10）式和模型（10）*的估计检验结果可见，以标准消费人为基数的消费水平预计绝对收入之间具有非常显著地线性关系，从模型的拟合优度可知模型对实际的解释程度达到 95%以上；从模型（11）式和模型（11）*式的估计检验可见，在考虑前期消费水平影响的消费函数也有较强的解释程度，达到 94%以上。以模型（10）式为例，将估计得到的参数代入（8）式，可以得到人口的年龄结构的消费函数：14. 68.6960.4320.3(68.6960.432)0.3(68.6960.432)ttttttcyy agedy ch（12） （8）式表明随着人均 FDP 或人均收入的提高，人口老龄化对消费需求影响将加大，同时，由于年龄结构变动（人口抚养系数提高）的影响，人均收入提高所带来的消费水平提高的速度减小为.()0.4320.1296()ttttcyagedch总之，通过数据分析以及模型的检验分析证明，人口老龄化对消费水平、消费规模和消费结构均有一定的影响。4.4 问题二的模型4.4.1 建立最优储蓄率模型：我们选择构建了一个简单的两期迭代模型。该模型最早由 Smuelson 在 1958年提出(文献9)，并经 Diamond 在 1965 年(文献9)改进得到。在此模型中，我们假设代表性消费的生命划为两期，青年期（工作期）和老年期（养老期） ，每期存在一代年轻人和一代老年人，年轻人除消费外可以从事生产而老年人只能进行消费。为第一期的年轻人的消费，这部分人在第二期变为老年人，他们在11c第二期的消费用表示：为效用函数，满足，：为12c.u.0u.0u0,1主观贴现率；s为第一期储蓄，第二期储蓄为 0；w为第一期工资收入，第二期工资收入为 0；为第二期利率水平。根据以上假设，第一期年轻人的最优消费方2r程可表为： ,Max 1112 u cu c.11122. .,1stcsw crs另一方面，假设得到企业的生产函数： ，满足，,tttyf k l0kf 0lf ，其中为 t 期产出；为 t 期资本投入； 为 t 期劳动投入。0kkf0llf tytktl在完全竞争市场中，利率和工资将分别取决于资本和劳动的边际生产率，即有，.为了进一步简单假设企业数量与第一期年轻人数222,krfk l11,lwfk l量相等，均为，第二期数量为，同时假设资本使用一期后完全折旧。于是在1n2n均衡的状态下，由劳动力市场出清有：.由资本市场出清有：221/lnn221/ksnn进一步规范第一期的数量为 1，并令，则上述最优消费方程的约束条1n21/nnn件可化为：，.1111,lcsfk l12(,1)kcs fsn n15考虑到中国个人账户已经建立，为简便起见，基于个人基金式养老保险制度，政府向第一期年轻人征税d以用于支付第二期老年人的养老金。则约束21rd条件变为：，.1111,lcsdfk l 12(,1)kcsdfsnd n令，由于在第一期的储蓄s与税收d之和可视为第(,1)/(,1)kk fk lf k l二期的资本投入，于是有2k,12(,1)(,1)kcsdfsnd nf snd n综合上述分析，消费者的最优化问题变为：， 1112, s nu cu cMax111. .,1lstcsdfk ，.12c (,1)f snd n关于 的一阶条件为：s. 1112,0ku cu cfsd n对上式进行全微分，得到：. 12111220kklkkklucdsucff dsfdnu cf dsf dn 变形为：. 11122212121122/1klklklkkku cff f ucu cfdsdnucucfu cf 由，并结合相对风险规避系.0u.0u0kkf0klf12/klklcf ff数，即有.sgnsgn 1dsdn 由上式可见，当时，未来劳动力的数量（n）与当期劳动力的最优储蓄1（s）正相关；当，未来劳动力的数量与当期劳动力的最优储蓄负相关；当1时，则未来劳动力的数量与当期劳动力的最优储蓄无关。可见，消费的相对1风险系数是决定人口老龄化与最优储蓄相关性的关键因素。对于的倒数，即消费的跨期替代弹性，不少经济学家都对其作出估计，结果表明，故1,10有，我们可以得出结论：未来劳动力的下降可能引起当期最优储蓄的上升。0dsdn16 所以考虑发到最优的储蓄率的情况，在建立一个固定的退休年龄的模式下，退休后的生活期变长而能使储蓄率的上升。政府的社会保障体系完善基本养老保险制度，提供退休激励。4.4.2 最优消费增长率1) 人口年龄结构加权变量不同年龄的人有不同的需求，假设人口数处于众位数的年龄所对应的的人*i叫做标准消费人（比如整个国家中 45 岁的人最多，年龄在 45 岁的人就被假定为标准消费人） ，并把消费量正规化为 1，即，那么我们可以把 t 年总人口数*1is 调整为标准消费人总数，表示 t 年年龄为 i 的人口数，则 ttPtiitiPS NitN年的人口总量为。从而我们可以推导出 t 年平均每人所代表的标准消titiNN费人 ：，tSiitittttS NPSNN这称为人口年龄结构加权变量。人口年均增长率为：;11titittitttitdNNNnNdtNN N标准消费人人口年均增长率为：;1ittptttitPdNnPdN则最优消费增长率为：. 1itipttitttdNSnnndS N以上的式子来自于文献4. 2) 最优人均消费增长率的求解t 年人均消费量为,，那标准消费人的人均消费量可以表示tc1titititcN cN为：。最优人均消费增长率可以通过最大化预算约束条件下标准消费人效用ttcs的一阶条件来求解。求解过程如下.假设没有初始资产存量，采用替代弹性效用函数：11111ttttcUs，17其中是消费的边际效用弹性，假定其为常数，在已有文献中一般有以下取值：2,0.5,2.5，-3,1/3,1/5,1/7。 ；是时间偏好率，在拉姆齐模型中，值一般理解为一种消费心理预期，即延晚一期消费在心理上引起的一种效用折扣。参考各文献，一般有以下取值：0.01.0.02.0.1.0.15.0.2.预算约束条件为：，r 为不变利率.111tttcr通过求解得出效用最大化的一阶条件是：，又因为1/1/ttUcrUc ，1111/1/ttttttUcscUcsc可以得出：，从而有：1111/11/ttttttUcscrUcsc ， （13）111111ttttcSrcS对（13）式两边同时取对数，可得最优人均消费增长率，cc，11csrcs又因，所以有：spns ， （14）11crpnc根据（14）可得：，又因/1c cp，1itipttitttNsnnnNs所以，可以进一步得知每一年龄阶段的人口年均增长率变化对最优人均消费增长率的影响程度为： ，/111itittNsc cpNs其中为消费的边际效用弹性。说明：由于数据的取值复杂，所以选择简化模型，只考虑三大年龄组：儿is18童、成年人（劳动人口） 、老年人。在研究表明：儿童的消费量大约是成年人的 0.6倍，老年人的消费量大约是成年人的 0.8 倍。所以=0.6，=1，=0.8，1s2s3s，1230.60.8iittttits NNNN其中,，分别表示 t 年儿童（014） 、成年人（1564） 、老年人1tN2tN3tN（65 岁以上）的人口数。计算居民人均消费增长率的所需原始数据主要包括：各年人口总数，居民消费支出总额，居民消费价格指数。分别比较这些取值所对应的最优人均消费增长率模拟值与人均消费增长率实际值，当=2，=0.02 时，达到最优人均消费增长率。根据以上的求解，考虑到人口老龄化对消费方面影响，我们所得出的对策为：积极发展老龄产业，开拓老年消费市场，根据老年人口的特殊需求发展服务行业，推动老龄产业发展。我国人民生活水平逐步提高，城乡居民收入稳定增长，而地区间差异较大，需求层次较多，为发展老龄产业提供了多种选择。政府从多方面创造条件支持老龄产业发展，包括给予政策上的优惠和扶持，而后考虑到当前老年人口总体收入水平较低，对老年人生活服务市场政策中采取低税或免税优惠政策，促进老年消费市场，也就从整体上改变了年龄结构上的消费层次，从而在一定程度上改善了消费状况。4.5 问题三的模型建立差分阻滞模型考虑到外界的一些条件和因素对老龄人口的增长起着阻滞作用，人口的增加，阻滞作用越大，所以我们建立差分阻滞模型分析。当研究老龄人口数量演变的时候，记为老龄人数在时段的数量，如果假kxk设用前差公式计算的增长率为常数 即假设r，1kkkxxrx0,1,2,.k 从 1995 到 2009 的老龄人口数量分别记为 xk（万人）(k=1,2，.15，16,17),其中 x1,x2,.x15已知的统计数据，x16，x17待预测。通过 中国统计局中的数据我们得到表 11。通过表 11 的数据得出散点图 3.然后计算=xk+1-xk， ，用前差公式： kx，k=1,2，15. 1kkkkxxrx计算出老龄人口的年增长率，绘制 rk随着 xk变化的散点图 4、图 5kr表 11 历年老年人数及增长率19老龄人数 xk（万人）xk+1-xk增长率 rk199575103230.043009199678332520.032172199780852740.03389199883593200.038282199986791420.016361200088212410.027321200190623150.034761200293773150.033593200396921650.017024200498571980.0200872005100553640.0362012006104192170.0208272007106363200.0300862008109563530.03222200911309 y = 4E-21e0.0281xR2 = 0.995902000400060008000100001200019901995200020052010图 3 老龄人口数变化趋势20y = -0.0033x + 0.044R2 = 0.853900.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.050246810图 4 rk对于 xk的散点图和拟合线性曲线y = 0.0484e-0.1232xR2 = 0.884300.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.050246810图 5 rk对于 xk的散点图和拟合指数曲线根据散点图 4、图 5 我们选择 rk对于 xk的散点图和拟合指数曲线，假设指数衰减函数 。在资源和环境有限条件下，假设用前差公式计算的年213ka xkra ea增长率 rk随着老龄人口数 xk的增加而呈指数衰减，即 =, k=0,1,2,1kkkkxxrx213ka xa ea21其中，均为正数，即建立指数常系数差分方程模型：1a2a3axk+1=xk+xk(), k=0,1,2,213ka xa ea当 xk =0 时，有= + ，即+ 相当于离散组滞增长模型的固有增长率 r。kr1a3a1a3a之后我们根据软件 matlab 统计工具箱非线性拟合函数 nlinfit 计算得出参数：=0.0484,= 0.1232，=0. 将数据带入式子1a2a3a， .0.12321(0.0484)kxkkkxxxe1kkkkxxrx根据以上的这两个式子得出了表 12 的未来 20 年的老龄人口的预测及人口老龄化的增长率的情况。我们通过图表 12 看出在未来的几年里，通过外界的政策和一些因素的限制之后可以看出虽然老龄人数依然是在上涨，但是增长率逐渐地减慢，呈下降的趋势有所缓解。表 12 未来 20 年老龄人口预测老龄人数（万人）xk+1-xk增长率200911309246.39710.021788201011555.4249.77340.021615201111805.17253.10940.021441201212058.28256.40080.021263201312314.68259.64370.021084201512574.32262.83380.020902201612837.16265.9670.020719201713103.13269.03920.020532201813372.16272.04610.020344201913644.21274.98370.020154202013919.19277.84770.019961202114197.04280.63420.019767202214477.68283.33890.019571202314761.01285.95780.019373202415046.97288.48710.019172202515335.46290.92280.018971202615626.38293.26120.018767202715919.64295.49840.018562202816215.14297.6310.018355202916512.77299.65550.018147203016812.4322五、模型优缺点及其改进 模型的优点：在问题一中，针对人口老龄化对储蓄率的影响，我们建立了三次统计回归模型，根据图表以及计算的结果，=0.9322，可以看出这个模型是可2R行的，并且比较简单、直观；针对人口老龄化对消费的影响，我们建立了一个消费函数，得到了一个人均消费和人均 GDP、儿童比重、老年人比重的关系式，然后将其通过改变消费系数来进行分析，并采用标准消费人消费水平的消费函数模型的检验。在问题二中，我们针对最优储蓄建立了两期迭代模型，这个模型是将代表性消费的生命期划分为两期，一个是青年工作期和老年消费期，过程比较简单，计算也不复杂。针对最优消费，我们是用拉姆齐模型的，这个模型可以计算每个年龄阶段人口年均增长率对最优人均消费增长率的影响程度。在问题三中，我们采用的是差分阻滞模型，该模型是考虑到外界的因素如资源环境和一些政策对老龄人口数增长的阻滞作用来进行预测的，在模型中，我们建立了一个指数函数， ，所以该模型比较适用，因此我们进行了逐年的计算，对未来 20 年进行预测。模型的缺点:在建立消费函数模型时，我们就只是单单考虑几个因素的来进行建立的，并且采取一些学者所到得参数值作为标准，这就使得模型不够的准确，在建立最优储蓄率模型时将模型中分为代表性的青年期（工作期）和老年期（养老期） ，这里存在着漏洞与不足，在建立最有消费模型上，我们是从在已有文献中一般有以下取值：2,0.5,2.5，-3,1/3,1/5,1/7.一般有以下取值：0.01.0.02.0.1.0.15.0.2.在这些值中选取最优的，这里也是存在着漏洞和不足。模型的改进：在假设中，我们还需更加的弱化条件，使得模型能够更适用于一般情况；对于一些参数值的选取需要进行更为准确地研究，尽量多地取值；这里我们未对模型进行误差分析、稳健性分析，所以我们需朝着这方面进行深入研究。六、参考文献1 姜启源,数学模型M,北京：高等教育出版社，1998.2 王金营，付秀彬。考虑人口年龄结构变动的中国消费函数计量分析兼论中国人口老龄化对消费的影响J.人口研究，2006, 5-24.3 于学军.中国人口老化的经济学研究M.北京：中国人口出版社，1995.4 李建民.老年人消费需求影响因素分析及我国老年人消费需求增长预测J.人口 与经济，2001, 8-23.5 李本公.中国人口老龄化发展趋势百年预测M.北京：华龄出版社，2006.6 李文杰.甘肃城镇居民消费与收入关系的协整研究J.兰州商学院学报，2003 23,20-34.7 贺菊煌.一个符合生命周期假说的总和消费函数J.数学经济技术经济研究,1996,16-26.8 宋健，田雪原，于景元.人口预测和人口控制M.北京：人民出版社,1982,14-22.9 邓国华封闭式基金折价之谜研究综述J当代财经：2005,19-25.