（江苏金陵中学物理名师工作室）中学物理习题中几种常见的极值类型——朱建廉

中学物理习题中几种常见的极值类型朱建廉南京市 金陵中学 （210005）一、“”的极值类型图例1：如图1所示，理想变压器输入端接在电动势为、内阻为的交流电源上，输出端接上负载，则变压器原、副线圈的匝数之比为多大时，负载上获得的电功率最大？最大功率为多少？解：设原、副线圈的匝数、电压、电流依次分别为和、和、和，则于是可把负载上获得的电功率表示为原线圈电流的函数为这是一个形如“”的二次函牧。由此知：当时，有最大值为（）此时有而于是有即（）所以，当变压器原、副线圈匝数之比为（）式所给出时负载获得的电功率最大，最大值如（）式所给出。二、“”的极值类型图例：如图所示，长2、重为的光滑均匀杆AB，其A端用光滑铰链铰接在水平地面上，B端搁在高度为的物体上。当用水平力把物体缓慢向左推时，求物体给杆的最大支持力。图q解：设把物体推到使杆与水平面夹角时，杆除了在A端受到的力外，只受如图所示的重力和物体的支持力。另外，由于物体是被缓慢向左移的，因此杆在这一过程中的任一状态均可视为平衡状态。于是就有即这是一个形如“”的三角函数。显然当（）时，有最大值，为（）所以，在物体刚开始向左移时，杆与水平面间的夹角为当推到使杆与水平面的夹角如（）式所给出时，物体对杆的支持力最大，最大支持力如（）式所给出。三、“”的极值类型例：如图4所示，半径为的绝缘光滑圆环被固定在方向水平的匀强电场中，圆环面在竖直平面内且平行于电力线，一个质量为的带正电的小球套在圆环上。小球受到的电场力的大小等于其重力的0.75倍。当把小球从圆环最低点处由静止释放后，小球所能获得的最大动能是多少？图图NqEmgq解：设小球静止释放后运动到图所示的位置处时获得动能为。这过程中小球受到重力、电场力和圆环的弹力。做负功、做正功、而不做功。根据动能定理有而把代入后并整理后可得这是一个形如“”的函数（本例中的函数又加上了一个常数），在对这类函数的极值问题的分析时可取而将函数转化为后，再计算其极值。于是有显然，当（）时，有极大值，为（）所以，小球从圆环最低点处静止释放后，当运动到和圆环中心的连线与竖直方向间夹角如（）式所给出时所获得的动能最大，最大动能如（）式所给出。四、“两数和为常数，则两数相等时其积最大”的极值类型图h例4：如图6所示，粗细均匀的玻璃管长，开口向上竖直放置时，上端齐管口有一段的水银柱封闭着27的空气柱，大气压强为。现使空气柱温度逐渐升高，问：欲使管内水银全部溢出，温度至少升到多高?解：设管内空气柱温度升到时，管内水银柱柱长度为，取管的横截面积为S。则将数据代入并整理，得由于为常数，所以当时，即当（）时，有极大值，为（）也就是说，在水银缓慢溢出的过程中，温度并不是呈单调变化，而是当管内水银柱长度如（）式所给出时，温度取得极大值如（）式所给出。所以，若用逐渐升高空气柱温度的方式使水银全部溢出，温度至少要升到（）式所给出的值。五、“两数积为常数，则两数相等时其和最小”的极值类型例：如图7所示，点光源到屏的距离为，焦距为、半径为的凸透镜位于和之间，其主轴过而垂直于，如，则透镜距为多远可使上的光斑最小？光斑的最小半径为多大？LSOMS/uv图8LSOM图7解：设透镜半径为，与相R距为，当时，成虚像，此时屏上光斑半径必大于，这种情况可以不予考虑。当时，另外由于，所以成的实像必在屏的后面（如图8所示），此时屏上的光斑半径必小于，于是有 由此可得考虑到：此式中、均为常量，而亦为常量，所以当时，即当 （9）时，有最小值，为 （10）所以，当透镜与点光源的距离如（9）式所给出时，屏上的光斑最小；且光斑的最小半径如（10）式所给出。六、“函数形式复杂，但可借助于对物理过程的分析找到极值点”的极值类型例6如图9所示，质量为的小球从光滑的半径为的1/4圆弧形轨道上的A点静止释放（A点与圆弧轨道的圆心O等高），则小球从A运动到B的过程中；重力对小球做功的最大功率为多大? 解：设小球从A点静止释放后运动到C点时速度为(如图10所示)，则根据机械能守恒定律有此时重力对小球做功的功率为由此可把表为的函数为显然，这个函数形式较为复杂，直接针对这个函数求极值比较困难。下面我们通过对小球运动过程的分析来确定极值点，进而求出极值。分析：重力做功的功率等于重力与小球运动的竖直分速度的乘积，因此求最大功率的关键在于求小球的最大竖直分速度。不妨就设小球运动到C点时其竖直分速度达到最大，于是：小球从A到C时，轨道弹力的竖直分力小于重力，小球的竖直分速度从零逐渐增到；小球从C到B时，轨道弹力的竖直分力大于重力，小球的竖直分速度又从逐渐减到零。因此在C点处必有另外 而此时所对应的重力做功的功率即为所求的最大功率由此可解得：当 （11）时，重力做功的最大功率取得最大值，为 （12）所以，当小球运动到和圆轨道的圆心连线与水平方向间夹角如（11）所给出时，重力做功的功率取得最大值，其最大功率如（12）式所给出。 发表于中学物理教学参考1994年第3期 转载于中学物理教学7