高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2.3 指数函数与对数函数的关系 新人教B版必修1

3.2.33.2.3指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的关系目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.了解反函数的定义了解反函数的定义, ,知道指数函数知道指数函数y=ay=ax x与对数函数与对数函数y=y=logloga ax x互为反函数互为反函数. .2.2.能利用指、对函数的图象与性质解决一些简单问题能利用指、对函数的图象与性质解决一些简单问题. .素养达成素养达成通过指数函数与对数函数互为反函数的学习通过指数函数与对数函数互为反函数的学习, ,使学生养成使学生养成数形结合解决函数问题的习惯数形结合解决函数问题的习惯, ,借助指、对函数的对立统借助指、对函数的对立统一关系一关系, ,欣赏互为反函数的对称美欣赏互为反函数的对称美. .新知探求新知探求课堂探究课堂探究新知探求新知探求素养养成素养养成知识探究知识探究1.1.反函数反函数(1)(1)互为反函数的概念互为反函数的概念当一个函数当一个函数y=y=f(xf(x) )中中x x任取一个值时任取一个值时,y,y有唯一确定的值与之对应有唯一确定的值与之对应, ,反之反之,y,y任取一个值时任取一个值时,x,x有唯一确定的值与之对应有唯一确定的值与之对应, ,可以把这个函数的因变量作为可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的一个新的函数的 , ,而把这个函数的自变量作为新的函数的而把这个函数的自变量作为新的函数的 . .我们称这两个函数互为我们称这两个函数互为 . .(2)(2)反函数的记法反函数的记法: :函数函数y=y=f(xf(x) )的反函数通常用的反函数通常用 来表示来表示. .2.2.指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的关系函数函数y=y=a ax x(a(a0,a1)0,a1)与与y=y=logloga ax(ax(a0,a1)0,a1)互为互为 , ,互为反函数的互为反函数的两个图象在同一坐标系内关于直线两个图象在同一坐标系内关于直线 对称对称. .自变量自变量因变量因变量反函数反函数y=fy=f-1-1(x)(x)反函数反函数y=xy=x【拓展延伸拓展延伸】1.1.若点若点P(m,nP(m,n) )在函数在函数y=y=f(xf(x)()(或在反函数或在反函数y=fy=f-1-1(x)(x)的图象上的图象上, ,则点则点P(n,mP(n,m) )在反函数在反函数y=fy=f-1-1(x)(x)(或在函数或在函数y=y=f(xf(x)的图象上的图象上, ,利用这种对称性去解题利用这种对称性去解题, ,常常常可以避开求反函数的解析式常可以避开求反函数的解析式, ,从而达到简化运算的目的从而达到简化运算的目的. .2.2.指数函数指数函数y=ay=ax x与对数函数与对数函数y=y=logloga ax x的图象、性质对比的图象、性质对比名称名称指数函数指数函数对数函数对数函数一般形式一般形式y=y=a ax x(a(a0,a1)0,a1)y=y=logloga ax(ax(a0,a1)0,a1)定义域定义域(-,+)(-,+)(0,+)(0,+)值域值域(0,+)(0,+)(-,+)(-,+)图象图象自我检测自我检测B B 2.2.函数函数y=logy=log3 3x x的定义域为的定义域为(0,+),(0,+),则其反函数的值域是则其反函数的值域是( ( ) )(A)(0,+)(A)(0,+)(B)(B)R R(C)(-,0)(C)(-,0)(D)(0,1)(D)(0,1)A A解析解析: :原函数的定义域恰好是其反函数的值域原函数的定义域恰好是其反函数的值域. .3.y=23.y=2x x与与y=logy=log2 2x x的图象关于的图象关于( ( ) )(A)x(A)x轴对称轴对称(B)(B)直线直线y=xy=x对称对称(C)(C)原点对称原点对称(D)y(D)y轴对称轴对称解析解析: :由反函数的定义知由反函数的定义知y=2y=2x x与与y=logy=log2 2x x互为反函数互为反函数, ,所以它们的图象关所以它们的图象关于直线于直线y=xy=x对称对称, ,选选B.B.B B答案答案: :y=4y=4x x类型一类型一 指数函数与对数函数图象的关系指数函数与对数函数图象的关系课堂探究课堂探究素养提升素养提升【例例1 1】 已知已知a0,a0,且且a1,a1,则函数则函数y=ay=ax x与与y=logy=loga a(-x)(-x)的图象只能是的图象只能是( () )思路点拨思路点拨: : 可以从图象所在的位置及单调性来判别可以从图象所在的位置及单调性来判别, ,也可利用函数的性也可利用函数的性质识别图象质识别图象, ,特别要注意底数特别要注意底数a a对图象的影响对图象的影响. .解析解析: :法一法一首先首先, ,曲线曲线y=ay=ax x只可能在上半平面只可能在上半平面,y=log,y=loga a(-x)(-x)只可能在左半只可能在左半平面平面, ,从而排除从而排除A,C.A,C.其次其次, ,从单调性着眼从单调性着眼.y=a.y=ax x与与y=logy=loga a(-x)(-x)的增减性正好相反的增减性正好相反, ,又可排除又可排除D.D.故选故选B.B.法二法二若若0a1,0a1,a1,则曲线则曲线y=ay=ax x上升且过点上升且过点(0,1),(0,1),而曲线而曲线y=logy=loga a(-x)(-x)下降且过点下降且过点(-1, (-1, 0),0),只有只有B B满足条件满足条件. .故选故选B.B.法三法三如果注意到如果注意到y=logy=loga a(-x)(-x)的图象关于的图象关于y y轴的对称图象为轴的对称图象为y=logy=loga ax,x,又又y=logy=loga ax x与与y=ay=ax x互为反函数互为反函数( (图象关于直线图象关于直线y=xy=x对称对称),),则可直接选定则可直接选定B.B.方法技巧方法技巧 要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯, ,培养思维的培养思维的灵活性灵活性. .变式训练变式训练1 1- -1:1:在同一平面直角坐标系中在同一平面直角坐标系中, ,函数函数y y1 1=a=a-x-x,y,y2 2=-log=-loga ax(x(其中其中a0a0且且a1)a1)的图象只可能是的图象只可能是( () )类型二类型二 反函数性质的应用反函数性质的应用思路点拨思路点拨: :先由先由A(1,2)A(1,2)在函数在函数f(x)f(x)的反函数图象上得出的反函数图象上得出A(2,1)A(2,1)在在f(x)f(x)的图象上的图象上, ,然后建立关于然后建立关于a,ba,b的方程组求解的方程组求解. .方法技巧方法技巧 利用互为反函数的图象关于直线利用互为反函数的图象关于直线y=xy=x对称对称, ,可由反函数可由反函数图象过图象过A(1,2)A(1,2)点得原函数图象过点得原函数图象过(2,1)(2,1)点点, ,可简化运算过程可简化运算过程, ,达到事半功倍达到事半功倍之功效之功效. .变式训练变式训练2 2- -1:1:若若a0a0且且a1,a1,函数函数f(x)=af(x)=ax-2x-2-1-1的反函数图象过定点的反函数图象过定点M,M,则则M M的坐标为的坐标为. . 解析解析: :由题意可得由题意可得f(2)=0,f(2)=0,所以函数所以函数f(x)f(x)的反函数图象过定点的反函数图象过定点M(0,2).M(0,2).答案答案: :(0,2)(0,2)