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复习：复习：列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。 上一节，我们学习了解决上一节，我们学习了解决“平均增长平均增长( (下降下降) )率率问题问题”，现在，我们要学习解决，现在，我们要学习解决“面积、体积问题面积、体积问题”。实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 面积、体积问题面积、体积问题 一、复习引入一、复习引入 1 1直角三角形的面积公式是什么？一般三角形直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？的面积公式是什么呢？ 2 2正方形的面积公式是什么呢？正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？长方形的面积公式又是什么？ 3 3梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？ 4 4菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？ 5 5平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？ 6 6圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？探究探究1 1要设计一本书的封面要设计一本书的封面, ,封面长封面长2727, ,宽宽2121, ,正中央是一个与整个封面长宽比正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形例相同的矩形, ,如果要使四周的边衬所如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一占面积是封面面积的四分之一, ,上、下上、下边衬等宽边衬等宽, ,左、右边衬等宽左、右边衬等宽, ,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度? ?2721分析分析: :这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,9:7,依题知正中央的矩依题知正中央的矩形两边之比也为形两边之比也为9:79:7 解法一解法一: :设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm9xcm,7xcm 依题意得依题意得21274379 xx解得解得 2331x 故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为: : 左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为: :8 . 143275422339272927 x4 . 143214222337212721x),(2332舍去不合题意-=x 要设计一本书的封面要设计一本书的封面, ,封面长封面长2727, ,宽宽2121, ,正中央是一个与整个封面长正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形宽比例相同的矩形, ,如果要使四周的如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一边衬所占面积是封面面积的四分之一, ,上、下边衬等宽上、下边衬等宽, ,左、右边衬等宽左、右边衬等宽, ,应应如何设计四周边衬的宽度如何设计四周边衬的宽度? ?27272121分析分析: :这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,9:7,正中央的矩形两边正中央的矩形两边之比也为之比也为9:7,9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为之比也为9:79:7212743)1421)(1827(xx解方程得解方程得4336 x( (以下请自己完成以下请自己完成) ) 方程的哪个方程的哪个根合乎实际意义根合乎实际意义? ?为什么为什么? ?解法二解法二: :设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm7xcm依题意得依题意得例例1. 1. 学校为了美化校园环境，在一块长学校为了美化校园环境，在一块长4040米、宽米、宽2020米的米的长方形空地上计划新建一块长长方形空地上计划新建一块长9 9米、宽米、宽7 7米的长方形花圃米的长方形花圃. .（1 1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1 1平方米，平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案请你给出你认为合适的三种不同的方案. .（2 2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加长方形花圃的面积能否增加2 2平方米？如果能，请求出平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由. .解解: : (1)(1)方案方案1 1：长为：长为 米，宽为米，宽为7 7米米; ;719方案方案2 2：长为：长为1616米，宽为米，宽为4 4米米; ;方案方案3 3：长：长= =宽宽=8=8米米; ;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种（2 2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面 积不能增加积不能增加2 2平方米平方米. .由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为1616米米. .设长方形花圃的设长方形花圃的长为长为x x米，则宽为（米，则宽为（16-16-x x）米）米. .x x(16-(16-x x)=63+2)=63+2， x x2 2-16-16x x+65=0+65=0，046514)16(422acb此方程无解此方程无解. .在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加加2 2平方米平方米练习：练习：1 1、用、用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形, ,若若能够能够, ,求它的长与宽求它的长与宽; ;若不能若不能, ,请说明理由请说明理由. .解解: :设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcmxcm, ,则宽为则宽为 cm,cm,)220(x30)220( xx即即x x2 2-10 x+30=0-10 x+30=0这里这里a=1,b=a=1,b=10,c=30,10,c=30,0203014)10(422acb此方程无解此方程无解. .用用20cm20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形. .例例2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园, ,准备在一块长准备在一块长3232米米, ,宽宽2020米米的长方形场地上修筑若干条道路的长方形场地上修筑若干条道路, ,余下部分作草坪余下部分作草坪, ,并并请全校同学参与设计请全校同学参与设计, ,现在有两位学生各设计了一种现在有两位学生各设计了一种方案方案( (如图如图),),根据两种设计方案各列出方程根据两种设计方案各列出方程, ,求图中道求图中道路的宽分别是多少路的宽分别是多少? ?使图使图(1),(2)(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2. .(1)(1)(2)(2)(1)(1)解解: :(1)(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，则则540)220)(232(xx化简得，化简得，025262xx0) 1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去. .图图(1)(1)中道路的宽为中道路的宽为1 1米米. . 则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩形面分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于积减去道路面积等于540540米米2 2。解法一、解法一、 如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是3220(3220 )540 xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2 2。(2)(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是m m2 2所以正确的方程是：所以正确的方程是：232203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，时，道路总面积为：道路总面积为： =100 ( =100 (米米2 2) )草坪面积草坪面积= = 540= 540（米（米2 2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。122,50 xx()32 20 x+ x-x2()32 2 20 2 22+ -+ -()32 20 100 -解法二：解法二： 我们利用我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改图形经过移动，它的面积大小不会改变变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）原图的位置修路）横向路面横向路面: :如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，32x32x米米2 2纵向路面面积为纵向路面面积为: :20 x20 x米米2 2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为: :草坪矩形的宽（纵向草坪矩形的宽（纵向: :）为：）为：相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即3220540.xx化简得：化简得：21252100 0,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同。相同。1.1.如图是宽为如图是宽为2020米米, ,长为长为3232米的矩形耕地米的矩形耕地, ,要修筑同要修筑同样宽的三条道路样宽的三条道路( (两条纵向两条纵向, ,一条横向一条横向, ,且互相垂直且互相垂直),),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地, ,要使试验地的要使试验地的面积为面积为570570平方米平方米, ,问问: :道路宽为多少米道路宽为多少米? ?解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米，570)220)(232(xx化简得，化简得，035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去. .答答: :道路的宽为道路的宽为1 1米米. .则则2.2.如图如图, ,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着四周外围环绕着宽度相等的小路宽度相等的小路, ,已知小路的面积为已知小路的面积为246m246m2 2, ,求小路的宽求小路的宽度度. .A AB BC CD D化简得，化简得，01233522xx0)412)(3(xx241,321xx?其中其中x=-20.5x=-20.5应舍去应舍去答答: :小路的宽为小路的宽为3 3米米. .解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则2015246)215)(220(xx41例例3. 3. 如图，有长为如图，有长为2424米的篱笆，一面利用墙（墙米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度的最大可用长度a a为为1010米），围成中间隔有一道篱米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽笆的长方形花圃。设花圃的宽ABAB为为x x米，面积为米，面积为S S米米2 2，（1 1）求）求S S与与x x的函数关系式的函数关系式; ;（2 2）如果要围成面积为）如果要围成面积为4545米米2 2的花圃，的花圃，ABAB的长是的长是 多少米？多少米？【解析【解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得14/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5 5米米1.1.如图，用长为如图，用长为18m18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃. .要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m81m2 2, ,应应该怎么设计该怎么设计? ?解解: :设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xmxm, ,则则81)18( xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x921xx答答: :应围成一个边长为应围成一个边长为9 9米的正方形米的正方形. . 例例4 4某林场计划修一条长某林场计划修一条长750m750m，断面为等腰梯形，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为的渠道，断面面积为1.6m1.6m2 2， 上口宽比渠深多上口宽比渠深多2m2m，渠底比渠深多渠底比渠深多0.4m0.4m （1 1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2 2）如果计划每天挖土）如果计划每天挖土48m48m3 3，需要多少天才能，需要多少天才能把这条渠道挖完？把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为为xmxm，则上口宽为（，则上口宽为（x+2x+2）m m， 渠底为（渠底为（x+0.4x+0.4）m m，那么，根据梯形的面积公式便可建模那么，根据梯形的面积公式便可建模解：解：（1 1）设渠深为）设渠深为xmxm 则渠底为（则渠底为（x+0.4x+0.4）m m，上口宽为（，上口宽为（x+2x+2）m m依题意，得：依题意，得：6 . 1)4 . 02(21xxx整理，得：整理，得：5x5x2 2+6x-8=0+6x-8=0 解得：解得：x x1 1=0.8m=0.8m，x x2 2=-2=-2（不合题意（不合题意, ,舍去）舍去）上口宽为上口宽为2.8m2.8m，渠底为，渠底为1.2m1.2m（天）25487501.6(2)答：渠道的上口宽与渠底深各是答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m2.8m和和1.2m1.2m；需要；需要2525天才能挖完渠道天才能挖完渠道1.1.如图，宽为如图，宽为50cm50cm的矩形图案由的矩形图案由1010个全等的小长方个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为形拼成，则每个小长方形的面积为【 】 A A400cm400cm2 2 B B500cm500cm2 2 C C600cm600cm2 2 D D4000cm4000cm2 2A A2. 在一幅长在一幅长80cm80cm，宽，宽50cm50cm的矩形风景画的四周镶一的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是要使整个挂图的面积是5400cm5400cm2 2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为x xcmcm，那么，那么x x满足的方程是满足的方程是【 】A Ax x2 2+130+130 x x-1400=0 B-1400=0 Bx x2 2+65+65x x-350=0-350=0C Cx x2 2-130-130 x x-1400=0 D-1400=0 Dx x2 2-65-65x x-350=0-350=0B B80cm80cmxxxx50cm50cm3.3.如图，面积为如图，面积为30m30m2 2的正方形的四个角是面积为的正方形的四个角是面积为2m2m2 2的小正方形，用计算器求得的小正方形，用计算器求得a a的长为（保留的长为（保留3 3个个有效数字）有效数字）【 】A A2.70m B2.70m B2.66m C2.66m C2.65m D2.65m D2.60m2.60mC Ca a4 4如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m35m，所，所围的面积为围的面积为150m150m2 2，则此长方形鸡场的长、宽分别，则此长方形鸡场的长、宽分别为为_5 5、围绕长方形公园的栅栏长、围绕长方形公园的栅栏长280m.280m.已知该公园的已知该公园的面积为面积为4800m4800m2 2. .求这个公园的长与宽求这个公园的长与宽. . 280248002xx列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用 题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答 这里要特别注意这里要特别注意: :在列一元二次方程解应用题时，由于所在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求题的要求
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