选修4—1几何证明选讲（B）教材分析

选修41几何证明选讲（B）教材分析 北京十三中聂勇一、内容分析第一章 相似三角形定理与圆幂定理；第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线（圆锥曲线性质的探讨）第一章分三个单元。第一单元是先给出相似三角形定义，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理、平行截割定理，并用锐角三角函数研究了射影定理。第二单元以“圆的切线概念”为起点，介绍了圆的切线的有关性质、圆周角定理和弦切角定理。教材在处理圆周角定理和弦切角定理的证明时，突出了分类讨论的思想（A版强调用从特殊到一般的思想方法研究）。第三单元是利用相似三角形的性质引入了相交弦定理、切割线定理和圆幂定理。第二章以“平行射影”为起点，充分利用图形直观，对圆锥曲线的性质进行讨论，用综合几何的方法认识圆锥曲线，这是以往教材中没有涉及的内容。同时，教材内容之间又有紧密的逻辑联系。例如，在讨论“与圆有关的比例线段”（相交弦定理、割线定理、切割线定理）时，用到了相似三角形的判定与性质定理；第二章中利用Dandelin双球研究圆锥曲线的性质时用到了切线长定理。重点：通过直线与圆的位置关系的讨论，平面与柱面、锥面位置关系的讨论，体会运用综合几何的方法，发现、提出、分析和解决几何问题。难点：运用综合几何方法讨论圆锥曲线性质。二、教学要求1复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。2证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。3证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。4了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。5通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：定理在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，其夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l交角为（与l平行，记0），则：（1），平面与圆锥的交线为椭圆；（2），平面与圆锥的交线为抛物线；（3），平面与圆锥的交线为双曲线。6利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况。7试证明以下结果：在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为；如果平面与平面的交线为m，在5（1）中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。）8探索定理中（3）的证明，体会当无限接近时平面的极限结果。9完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学证明的认识。（2）拓展。通过查阅资料、独立思考，对某些内容和应用进行进一步探讨。（3）学习本专题的感受、体会。三、教学建议第一章 相似三角形定理与圆幂定理1.1 相似三角形：课时（教参4课时，建议2-3课时）本单元大部分内容学生在初中都学过，所以教学方法及教材处理要灵活掌握，教学重点放在平行截割定理和射影定理上。相似三角形的判定和性质的证明也不用一一都给学生证，有些可以让学生课下自己看。射影定理可以放手让学生自己探究发现。射影定理教材只安排了一个例题（证明题），教师可以适当补充一个计算题。通过射影定理的教学， 使学生能够熟练地用射影定理计算直角三角形中相应的线段。另外本单元教学也可以按A版的方式处理，即：平行线相似三角形射影定理。1.2圆周角与弦切角：课时（教参3课时，建议2-3课时） 在初中，圆的切线及圆周角学生都学过，教学还是按复习课的模式设计较好。1.2.1圆的切线的性质定理的证明按A版讲学生比较好理解。 教材的例1和例2是作图题，是否换成利用性质定理和判定定理的证明题和计算题， 同时布置作业时可以选用一些解析几何中直线与圆的相应的高考试题。 1.2.2圆周角定理教材安排了3个例题，其中例题3基础较好的学校是否关注一下，解析几何中有些问题用例3解决还是比较方便的。 如：附录（1）（08江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）A B C D（2）在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（原点除外）上给定两点A（0，a）、B（0，b）（ab0）.试在x轴的正半轴（原点除外）上求点C，使ACB取得最大值，并求出这个最大值. （C（，0）；arctan）。1.2.3弦切角定理对学生来说是新内容。教材先是从运动变化的角度引入弦切角，然后又利用分类讨论的思想证明了弦切角定理。而A 版安排的顺序是：圆周角圆内结四边形的性质与判定圆的切线的性质与判定弦切角。A版强调合情推理（特殊到一般）。但无论按哪个体系讲，教学都必需注重证明、强调过程、突出思想、加强探究。1.3圆幂定理与圆内接四边形：课时（教参课时，建议课时）1.3.1圆幂定理版教材在定理的教学上还是遵循了注重证明、强调过程、突出思想、加强探究这四条基本原则，但在例题的选编上还是比较注重圆幂定理的计算应用，四个例题除第二题是作图外，其它三个例题都是计算题。版的例题安排了一道计算题、三道证明题、一道探究题（分别提出个小问题去探究，相当于三道大题）。对于一般学校来说，还是按板讲比较好。1.3.2圆内接四边形的性质与判定这部分内容引入按版处理较好。首先通过“思考”，类比“任意三角形都有外接圆”，提出“任意四边形是否都有外接圆”的问题，再引导学生从正方形、矩形等特殊四边形出发，考察内接于圆的四边形会有怎样的共同特征，从而得出圆内接四边形性质的猜想和证明。在得出性质定理后，再考察其逆命题是否成立，即证明圆内接四边形的判定定理。在证明过程中，应用分类思想对对角互补的四边形与圆的位置关系进行讨论，在每一种情形中都运用了反证法。知识的发生是在类比“任意三角形都有外接圆”而提出的，做到了自然而水到渠成；其次，从性质到判定，因为有较多的条件可以使用，使学生容易发现四边形内接于圆时的特征，再考察其“逆定理”判定定理，就有更好的方向了，这就使认知台阶适合于学生的已有认知基础；再有，性质定理的考察中，运用了从特殊到一般的思路，因为正方形、矩形等特例中包含了更强、更突出的信息，使学生更容易发现相应的特点，为圆内接四边形性质的发现奠定了很好的基础，再推广到一般情形就容易了判定定理的证明中要同时用到分类讨论和反证法，这对学生来说比较困难，因此教学中采取启发式讲授法，先讲解定理的证明，再归纳总结思想方法。另外，是否考虑和A版一样将“如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆”作为圆内接四边形判定定理的一个推论交给学生。第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线 课时（教参6课时，建议4课时）本章是比较新的内容。按照课标的要求，应该让学生在谈论这些问题时经历一个探索的过程。学习这部分内容对空间观念和空间想象力的培养，是非常重要的。在这部分内容的教学中，教学应重视信息技术的使用。因为平面与圆锥曲面相截的情况对学生来讲是较为复杂的，所以，如果能借助直观模型或多媒体向学生展示平面与圆锥曲面相截时的运动变化过程，以及截面和截线的各种情况，可以使学生在一定的直观的基础上抽象地对问题有所认识和了解。这部分的重难点落在Dandelin双球问题上。但是学生在以前的学习中，对于球的掌握并不深刻，所以在Dandelin双球这个内容的学习上还是应该有些吃力的，因此，这部分内容的教学方式可以灵活多样，如选择开设相关讲座或指导学生阅读等另外版教材的练习题较多，共23题（版仅有2题），所以教师一定要根据本校学生的具体情况有选择性的做。结合、板教材和我校的学情，这部分内容安排了四个讲座，具体安排如下：第一讲预备知识（平行投影的性质、圆柱面的平面截线、球的切线与切平面）本讲首先和学生一起复习了平行投影和正射影的相关概念，而对平行投影的性质不过多地纠缠（板没讲）。选一些题，让学生直观地体会一下一些平面图形在平面上的平行投影（包括“一个圆在平面上的平行投影是什么图形？”），从而引入圆柱面的平面截线（不证明）。由于在立体几何的教学中，不常涉及“球”的内容，而本章内容较多的需要用球的性质，所以本讲预备知识，安排了“球的性质”。利用合情推理，让学生自己概括出球的切线与切平面概念及相关性质。第二讲平面与圆柱面的截线本讲是这一章的重点。通过研究平面与圆柱面的截线，让学生重新认识椭圆及相关的几何性质。附录：相关的证明（仅供参考）设，母线与平面的交角为。（）（Dandelin双球的球心距等于椭圆的长轴）（）（离心率）（）（第二定义）（）（两准线间距离）附录：（08浙江）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( B )（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线第三讲平面与圆锥面的截线本讲教师可以按版处理，只研究交线为椭圆时的证明。第四讲圆锥曲线的统一定义（版没讲）附录：几个勘误（）教材第4页练习#3题有问题，相似三角形的各边的比不可能是1：2：3。（）教材页有问题。（）页倒数第行“在平面内”应改为“在平面内”（）页圆锥曲线的统一定义第九行“锥线”应该为“锥面”，第行“面”改为“面”。四、参考题目（一）填空题1（07广东）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则 ，线段的长为 ；3。2（08广东）已知是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交于点，则圆的半径 3（2007广州一模文、理）如图所示，圆上一点在直径上的射影为，则圆的半径等于 题 题题4（2007深圳二模文）如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则CBD= 。30o5如图，和O相交于和， 切O于，交于和，交的延长线于，,15，则 _135R18030题6（2007深圳一模）如图，为的直径，弦、交于点，若，则 题7如图为一物体的轴截面图,则图中R的值是。（二）选择题8如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则DAC =( )A. B. C. D.9在中,、分别是斜边上的高和中线,是该图中共有个三角形与相似,则( )A.0 B.1 C.2D.310一个圆的两弦相交,一条弦被分为12和18两段,另一弦被分为,则另一弦的长为( )A. B.C. D.ABCDE11如图,在和中,若与的周长之差为,则的周长为( )A. B. C.D.2512的割线交于两点,割线经过圆心,已知,则的半径为( )第题图A.4 B. C. D.813如图,是半圆的直径,点在半圆上,于点,且,设,则( )A. B. C. D.第1题图14在中,分别为上的点,且,的面积是,梯形的面积为,则的值为( ) A. B. C. D.15如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm,若所用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为( )A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm16如图,用与底面成角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为 ( )第1题图A B C D非上述结论【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭圆所在平面与底面成角,则离心率.故选A.（三）解答题和证明题17.如图:是的两条切线,是切点,是上两点,如果,试求的度数.（）ACPDOEF B18如图,的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为O上一点,交于点,且,求的长度.19（07海南宁夏）选修41：几何证明选讲如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点（）证明四点共圆；（）求的大小 20（08海南宁夏）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。（1）证明：；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：OKM = 90。BCEDA21（08江苏）如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D求证：22如图,是以为直径的上一点,于点,过点作的切线,与的延长线相交于点是的中点,连结并延长与相交于点,第22题图ODGCAEFBP延长与的延长线相交于点.(1)求证:；(2)求证:是的切线；(3)若,且的半径长为,求和的长度.；.注意：1、了解学生初中学习的实际情况。 学过“相似三角形的判定定理和性质定理”（性质中不含相似三角形高、中线、周长之比等于相似比）； 射影定理部分学生学习过； 学习过圆的切线的判定和性质；学习过切线长相等，圆心与圆外一点的连线平分过这点的两条切线所成的角。 学过圆周角定理。 2、控制难度尤其第二章。3、给一些计算、证明平面几何问题的基本方法-识别、利用、构造基本图形。