三章弹性力学应变分析

的位移分量为坐标的函数，即为此首先研究物体中任意微段的变形状态，进一步引出应变的概念。如图3.2所示，在oxy平面内变形前物体相邻两点Po(xo,yo)和p(x,y)间的线段为p0p= sP(x,y)变形后该线段两端 分别移到PAy。) 和P(x, y)用线段P)P =s表示s沿x,y轴的分量为s丄Wu丄旬）u -uo +Sx *Sydxcy(3.3)V =Vo 十丁Sx +Sy excyJ将Po点的位移分量表达式（ 点的位移分量表达式（3.2）（3.3），可得u（x -X）-（Xo - Xo）sxX：（yy） （yo yo） =Sx 十宁 Sy;x :y另外，由 Sx = Sx，SxSy = Sy . ：Sy3.1 ）及 P代入式Sy y.:v可知，矢量s相对s的变化量为Sx = Sx S S2变形前分别平行于 ox、oy轴S = iSiS2 = jS2变形后为s| s2Si 二 i ( Six Si) + j、Sly同时:其中:S2SiyT*才S2xoSis “、S2x + j ( S2yS2)TSyx令3与32的夹角为;：则由两矢量的内积定义，有III IS 邑=3S2 cossi S2 二(sixisiyj) (S2xiS2yj)=SSiy 二LyxSi 电=(Si +Six)屜x +(S2 +S2y)的 y因S、S?均为小量，故略去 S S的二次微量后，得IIS S2 = SrS2x - y已知：3与S2的矢量内积为SiPx S2py、Sx-Gy = *rS2s:cosSl S2另一方面，令 S| , s2间夹角的改变为并注意到二I为一微小量，则有，j. - sin二=-ot由于纯变形为对称张量,“，所以yx = 2 ；xy= COS 即=；：xy；yx(3.i6 )由此可知，-xy表示变形前与坐标轴正交线段在变形后的夹角减小量之半，即x , y正方向一致的两1-xy -y 2Oy轴正向一致的相互如将变形前与Ox,垂直的两线段在变形过程中发生的夹角改变量称为剪应变Xy，则 _ 1 丫xyxy2剪应变的正负号规定为：当两个正向（或负向）坐标轴间的直角减小时为正，反之为负0于是，我们得到二维应变情况下的全部（三个）应变分量CU、:xx =dv；y柯西方程xy对于平面问题，一点处的应变状态就由这三个应变分量完全确定三维的Cauchy方程用张量可以缩写为；ij 二 1(Ui,jUj,i)( i, j = X, y,z)( 3.19)由于1丄衙=2(U,j +Uj,i)当i = j时为正应变，当i对切应变有ij=E.ji(3.20)因此，一点的应变张量称为Cauchy应变张量2xy，表示为2 yx2 zx；y2 zy2 xz 丄丫2 yz(3.21)