2022年北师大版中考数学一轮复习：压轴题 专项练习题[含答案]

2022年北师大版中考数学一轮复习：压轴题 专项练习题1如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，ABx轴，AOAD，AOAD过点A作AECD，垂足为E，DE4CE反比例函数y（x0）的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF若SEOF，则k的值为（）ABC7D2在ABC中，ABAC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得DAE+BAC180（1）如图1，当BAC90时，连接BE，交AC于点F若BE平分ABC，BD2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE若BAC120，当BDCD，AEC150时，请直接写出的值3有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由4在ABCD中，BAD，DE平分ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转得线段EP（1）如图1，当120时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当90时，过点B作BFEP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当120时，连接AP，若BEAB，请直接写出APE与CDG面积的比值5已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”（1）猜想验证如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是 （2）探究证明如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展延伸如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；若COD60，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系6如图，在矩形ABCD中，AB3cm，ADcm动点P从点A出发沿折线ABBC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且PQD60，连接PD，BD设点P的运动时间为x（s），DPQ与DBC重合部分图形的面积为y（cm2）（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围7在等腰ADE中，AEDE，ABC是直角三角形，CAB90，ABCAED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF（1）当EAD45，点B在边AE上时，如图所示，求证：EFCD；（2）当EAD45，把ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图所示，当EAD60，点B在边AE上时，如图所示，猜想图、图中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明8如图，已知ABC是等边三角形，P是ABC内部的一点，连接BP，CP（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作BCDBAP，CDAP，连接DP，求CPD的度数；（2）如图2，E是BC边上一点，且EC3BE，当BPCP时，连接EP并延长，交AC于点F，若AB4BP，求证：4EF3AB；（3）如图3，M是AC边上一点，当AM2MC时，连接MP若CMP150，AB6a，MPa，ABC的面积为S1，BCP的面积为S2，求S1S2的值（用含a的代数式表示）9（1）已知ABC，ADE如图摆放，点B，C，D在同一条直线上，BACDAE90，ABCADE45连接BE，过点A作AFBD，垂足为点F，直线AF交BE于点G求证：BGEG（2）已知ABC，ADE如图摆放，BACDAE90，ACBADE30连接BE，CD，过点A作AFBE，垂足为点F，直线AF交CD于点G求的值10已知ABC和DEC都为等腰三角形，ABAC，DEDC，BACEDCn（1）当n60时，如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：；如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n90时，如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；当BEAC，AB3，AD1时，请直接写出DC的长11如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想（3）解决问题：如图3，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE已知AC4，AB5，求GE的长12如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AFCE（1）求证：DCEDAF；（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DHEF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC求证：HDHB；若DKHC，求HE的长13综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1（1）EAF，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；转一转：将图1中的EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4（4）求证：BM2+DN2MN214实践与探究操作一：如图，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则EAF度操作二：如图，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则AEF度在图中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P求证：ANPFNE；（2）若AB，则线段AP的长为 15【阅读理解】如图，l1l2，ABC的面积与DBC的面积相等吗？为什么？解：相等在ABC和DBC中，分别作AEl2，DFl2，垂足分别为E，FAEFDFC90，AEDFl1l2，四边形AEFD是平行四边形，AEDF又SABCBCAE，SDBCBCDFSABCSDBC【类比探究】如图，在正方形ABCD的右侧作等腰CDE，CEDE，AD4，连接AE，求ADE的面积解：过点E作EFCD于点F，连接AF请将余下的求解步骤补充完整【拓展应用】如图，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD4，连接BD，BF，DF，直接写出BDF的面积16如图，在ABC中，ADBC于点D，BC14，AD8，BD6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DEx，连接BE（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；（2）设ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如图，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求OMN面积的最小值，并说明理由17下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OCOD，OEOF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为AOB的平分线简述理由如下：由作图知，PGOPHO90，OGOH，OPOP，所以RtPGORtPHO，则POGPOH，即射线OP是AOB的平分线小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OCOD，OEOF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP射线OP即为AOB的平分线任务：（1）小明得出RtPGORtPHO的依据是 （填序号）SSSSASAASASAHL（2）小军作图得到的射线OP是AOB的平分线吗？请判断并说明理由（3）如图3，已知AOB60，点E，F分别在射线OA，OB上，且OEOF+1点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OCOD，连接DE，CF，交点为P，当CPE30时，直接写出线段OC的长18如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABCD，ABC90，点E、F分别在线段BC、AD上，且EFCD，ABAF，CDDF（1）求证：CFFB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF2，DFE120，求ADE的面积19已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，AEF90，设BEm（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，当m时，求线段CF的长；在PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式20【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G（1）求证：BCECDG【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H若，CE9，求线段DE的长【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若k，求的值（用含k的代数式表示）21如图，在ABC中，ABAC，BAC，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转得到线段AE，连接BE，DE（1）比较BAE与CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明22如图1，在ABC中，ACB90，ACBC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EFBE，连接AF、BF（1）求证：ABFCBE；（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN求PMN的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若BC，直接写出PMN面积的最大值23某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DECF，则的值为 ；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD7，CD4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CEBD，则的值为 ；【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB90，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DEABCFAD；【拓展延伸】（4）如图4，在RtABD中，BAD90，AD9，tanADB，将ABD沿BD翻折，点A落在点C处得CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DECF求的值；连接BF，若AE1，直接写出BF的长度24在平面直角坐标系中，O为原点，OAB是等腰直角三角形，OBA90，BOBA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B（）如图，求点B的坐标；（）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形OCDE，点O，C，D，E的对应点分别为O，C，D，E设OOt，矩形OCDE与OAB重叠部分的面积为S如图，当点E在x轴正半轴上，且矩形OCDE与OAB重叠部分为四边形时，DE与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当t时，求S的取值范围（直接写出结果即可）25如图1，在ABC中，ABAC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且ATBN，连接BT（1）求证：BNCN；（2）在图1中AN上取一点O，使AOOC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2求证：TOMAOC；设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PDCM，PDCM26问题提出如图（1），在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCAC，ECDC，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立问题拓展如图（3），在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCkAC，ECkDC（k是常数），点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系27【证明体验】（1）如图1，AD为ABC的角平分线，ADC60，点E在AB上，AEAC求证：DE平分ADB【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G若FBFC，DG2，CD3，求BD的长【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，BCA2DCA，点E在AC上，EDCABC若BC5，CD2，AD2AE，求AC的长28已知，在ABC中，BAC90，ABAC（1）如图1，已知点D在BC边上，DAE90，ADAE，连结CE试探究BD与CE的关系；（2）如图2，已知点D在BC下方，DAE90，ADAE，连结CE若BDAD，AB2，CE2，AD交BC于点F，求AF的长；（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD若CBD30，BAD15，AB26，AD24+，求sinBCD的值29在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点B在直线l：yx上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D若BABO，求证：CDCO若CBO45，求四边形ABOC的面积（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由30如图，OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动过点Q作MNOB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN设运动时间为t（秒）（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP，当OAPBPN时，求点N到OA的距离参考答案1解：延长EA交x轴于点G，过点F作FHx轴于点H，如图，ABx轴，AECD，ABCD，AGx轴AOAD，DAE+OAG90AECD，DAE+D90DOAG在DAE和AOG中，DAEAOG（AAS）DEAG，AEOG四边形ABCD是菱形，DE4CE，ADCDDE设DE4a，则ADOA5aOGAEEGAE+AG7aE（3a，7a）反比例函数y（x0）的图象经过点E，k21a2AGGH，FHGH，AFAG，四边形AGHF为矩形HFAG4a点F在反比例函数y（x0）的图象上，xF（）OHa，FH4aGHOHOGSOEFSOEG+S梯形EGHFSOFH，SEOF，解得：a2k21a221故选：A2解：（1）连接CE，过点F作FQBC于Q，BE平分ABC，BAC90，FAFQ，ABAC，ABCACB45，FQCF，BAC+DAE180，DAEBAC90，BADCAE，由旋转知，ADAE，ABDACE（SAS），BDCE2，ABDACE45，BCE90，CBF+BEC90，BE平分ABC，ABFCBF，ABF+BEC90，BAC90，ABF+AFB90，AFBBEC，AFBCFE，BECCFE，CFCE2，AFFQCF；（2）AGCD，理由：延长BA至点M，使AMAB，连接EM，G是BE的中点，AGME，BAC+DAEBAC+CAM180，DAECAM，DACEAM，ABAM，ABAC，ACAM，ADAE，ADCAEM（SAS），CDEM，AGCD；（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，BAC+DAE180，BAC120，DAE60，ADAE，ADE是等边三角形，AEDE，ADEAED60，AEC150，DECAECAED90，在ABC中，ABAC，BAC120，ACBABC30，AEC150，ABC+AEC180，点A，B，C，E四点共圆，BECBAC120，BEDBECDEC30，DNE180BEDADE90，AEDE，ANDN，BE是AD的垂直平分线，AGDG，BABDAC，ABEDBEABC15，ACEABE15，DCE45，DEC90，EDC45DCE，DECE，ADDE，设AGa，则DGa，由（2）知，AGCD，CD2AG2a，CEDECDa，ADa，DNADa，过点D作DHAC于H，在RtDHC中，ACB30，CD2a，DHa，根据勾股定理得，CHa，在RtAHD中，根据勾股定理得，AHa，ACAH+CHa+a，BDa+a，3解：（1）四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，ADAB，AFAE，DAEBAF90，DAEBAF（SAS），DEBF，ADEABF，ABF+AFB90，ADE+AFB90，在RtBAF中，M是BF的中点，AMFMBMBF，DE2AMAMFM，AFBMAF，又ADE+AFB90，ADE+MAF90，AND180（ADE+MAF）90，即ANDN；故答案为DE2AM，DEAM（2）仍然成立，证明如下：延长AM至点H，使得AMMH，连接FH，M是BF的中点，BMFM，又AMBHMF，AMBHMF（SAS），ABHF，ABMHFM，ABHF，HFGAGF，四边形ABCD和四边形AEGF是正方形，DABAFG90，AEAF，ADABFH，EAGAGF，EADEAG+DABAFG+AGFAFG+HFGAFH，EADAFH（SAS），DEAH，又AMMH，DEAM+MH2AM，EADAFH，ADEFHA，AMBHMF，FHABAM，ADEBAM，又BAM+DAMDAB90，ADE+DAM90，AND180（ADE+DAM）90，即ANDN故线段DE与AM之间的数量关系是DE2AM线段DE与AM之间的位置关系是DEAM4解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ADBC，120，即BAD120，BADC60，BEP60B，由旋转知：EPEB，BPE是等边三角形，BPEP，EBPBPE60，CBPABC+EBP120，AEP180BEP120，AEPCBP，DE平分ADC，ADECDE30，AEDCDE30ADE，ADAE，AEBC，APECPB（SAS），APCP，APECPB，APE+CPECPB+CPE，即APCBPE60，APC是等边三角形，APAC；方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，120，即BAD120，BADC60，BEP60B，PEBCAD，四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，DE平分ADC，ADECDE30，AEDCDE30ADE，ADAE，四边形ADQE是菱形，EAQAEQ60，AEQ是等边三角形，AEAQ，AQE60，四边形BCQE是平行四边形，PEBECQ，BCQE60，AEP120，AQCAQE+CQE120，AEPAQC，AEPAQC（SAS），APAC；（2）AB2+AD22AF2，理由：如图2，连接CF，在ABCD中，BAD90，ADCABCBAD90，ADBC，DE平分ADC，ADECDE45，AEDADE45，ADAE，AEBC，BFEP，BFE90，BEFBAD9045，EBFBEF45，BFEF，FBCFBE+ABC45+90135，AEF180FEB135，CBFAEF，BCFEAF（SAS），CFAF，CFBAFE，AFCAFE+CFECFB+CFEBFE90，ACFCAF45，sinACF，ACAF，在RtABC中，AB2+BC2AC2，AB2+AD22AF2；（3）方法一：由（1）知，BCADAEABBE，BEAB，ABCD，ABCD2BE，设BEa，则PEADAEa，ABCD2a，当点E在AB上时，如图3，过点G作GMAD于点M，作GNCD于点N，过点C作CKAD于点K，过点A作AHPE的延长线于点H，当120时，BADC60，DE平分ADC，GMAD，GNCD，GMGN，SACDADCKa2asin60a2，2，SCDG2SADG，SCDGSACDa2，由（1）知PEBC，AEHB60，H90，AHAEsin60a，SAPEPEAHaaa2，如图4，当点E在AB延长线上时，由同理可得：SCDGSACD2a3aa2，SAPEPHAEa3aa2，综上所述，APE与CDG面积的比值为或方法二：如图3，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ABCD，AEGCDG，（）2，当点E在AB上时，BEAB，AEBEABCD，（）2，又，即3，3，当120时，BADC60，DE平分ADC，ADE30，AED180BADADE30ADE，AEAD，EPEBAE，EPAD，EPADAE，AEPDAE120，AEDEAP（SAS），SAEDSEAP，3；如图4，当点E在AB延长线上时，BEAB，AEABCD，由知，ADAECD，EPBEAEAD，EPAD，（）2（）2，；综上所述，APE与CDG面积的比值为或5解：（1）猜想：OCOD理由：如图1中，ACCD，BDCD，ACOBDO90在AOC与BOD中，AOCBOD（AAS），OCOD，故答案为：OCOD；（2）数量关系依然成立理由：过点O作直线EFCD，交AC的延长线于点E，EFCD，DCEECDF90，四边形CEFD为矩形，OFD90，CEDF，由（1）知，OEOF，在COE与DOF中，COEDOF（SAS），OCOD；（3）结论成立理由：如图3中，延长CO交BD的延长线于点E，ACCD，BDCD，ACBD，ACOE，点O为AB的中点，AOBO，又AOCBOE，AOCBOE（AAS），COOE，CDE90，ODOCOE，OCOD结论：AC+BDOC理由：如图3中，COD60，ODOC，COD是等边三角形，CDOC，OCD60，CDE90，tan60，DECD，AOCBOE，ACBE，AC+BDBD+BEDECD，AC+BDOC6解：（1）如图，在RtPDQ中，ADcm，PQD60，tan60，DQAD1cm（2）点P在AB上运动时间为313（s），点P在BC上时PB（x3）（3）当0x3时，点P在AB上，作PMCD于点M，PQ交AB于点E，作ENCD于点N，同（1）可得MQAD1cmDQDM+MQAP+MQ（x+1）cm，当x+13时x2，0x2时，点Q在DC上，tanBDC，DBC30，PQD60，DEQ90sin30，EQDQ，sin60，ENEQ（x+1）cm，yDQEN（x+1）（x+1）（x+1）2x2+x+（0x2）当2x3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，CQDQDCx+13x2，tan60，CFCQtan60（x2）cm，SCQFCQCF（x2）（x2）（x22x+2） cm2，ySDEQSCQFx2+x+（x22x+2）（x2+x） cm2（2x3）当3x4时，点P在BC上，如图，CPCBBP（x3）（4x） cm，yDCCP3（4x）6x（3x4）综上所述，y7（1）证明：如图中，EAED，EAD45，EADEDA45，AED90，BFFD，EFDB，CAB90，CADBAD45，ABCAED45，ACBABC45，ACAB，AD垂直平分线段BC，DCDB，EFCD（2）解：如图中，结论：EFCD理由：取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点OCAD90，CTDT，ATCTDT，EAED，ET垂直平分线段AD，AOOD，AED90，OEOAOD，CTTD，BFDF，BCFT，ABCOFT45，TOF90，OTFOFT45，OTOF，AFET，FTTF，AFTETF，FATE，AFTETF（SAS），EFAT，EFCD如图中，结论：EFCD理由：取AD的中点O，连接OF，OEEAED，AED60，ADE是等边三角形，AOOD，OEAD，AEOOED30，tanAEO，ABCAED30，BAC90，ABAC，AOOD，BFFD，OFAB，OFAB，DOFDAB，DOF+EOF90，DAB+DAC90，EOFDAC，EOFDAC，EFCD8解：（1）如图1，连接BD，ABC是等边三角形，ABBC，ABC60，在BAP和BCD中，BAPBCD（SAS），BPBD，ABPCBD，ABP+PBC60，CBD+PBC60，即PBD60，BDP是等边三角形，BPD60，BC是O的直径，BPC90，CPDBPCBPD906030；（2）如图2，连接AP交BC于D，ABC是等边三角形，ABACBC，ABCACB60，BPCP，ADBC，BDCDBCAB，ADABsinABCABsin60AB，AB4BP，BPAB，PDAB，PDAD，即点P是AD的中点，EC3BE，BEBC，BC4BE，BDBC，BEBD，即点E是BD的中点，EP是ABD的中位线，EFAB，CEFCBA，4EF3AB；（3）如图3，过点A作ADBC于点D，过点P作PEBC于点E，交AC于点F，作PHAC于点H，由（2）得：ADAB3a，ACB60，BCACAB6a，CMP150，PMF180CMP18015030，CHP90，PHPMsinPMFasin30a，MHPMcosPMFacos30a，EFBC，CEF90，CFE90ACB906030，CFEPMF，PFPMa，FHPFcosPFHacos30a，AM2MC，CMAC6a2a，CFCM+MH+HF5a，EFCFsinACB5asin60a，PEEFPFaaa，S1S2SABCSBCPBCADBCPEBC（ADPE）6a（3aa）a29（1）证明：如图，连接EC，BACDAE90，ABCADE45，ABC和ADE为等腰直角三角形，ABAC，ADAE，BAC+CADDAE+CAD，即BADCAE，在BAD与CAE中，BADCAE（SAS），ABDACE45，ACB+ACE90，则CEBD，AFBD，AFCE，BFFC，1，BGEG（2）解：如图，过点D作DMAG，垂足为点M，过点C作CNAG，交AG的延长线于点N，在ABC和AED中，BACDAE90，ACBADE30，设AEa，ABb，则ADa，ACb，1+EAF90，2+EAF90，12，sin1sin2，即，同理可证34，DMCN，在DGM和CGN中，有：，DGMCGN（AAS），DGCG，110解：（1）当n60时，ABC和DEC均为等边三角形，BCAC，ECDC，又BEBCEC，ADACDC，BEAD，故答案为：BEAD；BEAD，理由如下：当点D不在AC上时，ACBACD+DCB60，DCEBCE+DCB60，ACDBCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），ADBE；（2）BEAD，理由如下：当n90时，在等腰直角三角形DEC中：sin45，在等腰直角三角形ABC中：，ACBACE+ECB45，DCEACE+DCA45，ECBDCA在DCA和ECB中，DCAECB，BE，DC5或，理由如下：当点D在ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示：AB3，AD1由上可知：ACAB3，BE，又BEAC，EBFCAF90，而EFBCFA，EFBCFA，AF3BF，而ABBF+AF3，BF，在RtEBF中：EF，又CF3EF3，ECEF+CF5（或EC4EF5），在等腰直角三角形DEC中，DCECcos4555当点D在ABC内部时，过点D作DHAC于HAC3，AD1，DAC45AHDH，CHACAH，CD，综上所述，满足条件的CD的值为5或11解：（1）四边形ABCD是垂美四边形理由如下：如图2，连接AC、BD，ABAD，点A在线段BD的垂直平分线上，CBCD，点C在线段BD的垂直平分线上，直线AC是线段BD的垂直平分线，ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）AB2+CD2AD2+BC2，理由如下：如图1中，ACBD，AODAOBBOCCOD90，由勾股定理得，AD2+BC2AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2AB2+CD2；（3）如图3，连接CG、BE，正方形ACFG和正方形ABDE，AGAC，ABAE，CAGBAE90，CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE，在GAB和CAE中，GABCAE（SAS），ABGAEC，AEC+AME90，ABG+AME90，AMEBMN，ABG+BMN90，即CEBG，四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2CB2+GE2，AC4，AB5，BC3，CG4，BE5，GE2CG2+BE2CB2（4）2+（5）23273，GE12解：（1）四边形ABCD为正方形，CDAD，DCEDAF90，CEAF，DCEDAF（SAS）；（2）DCEDAF，DEDF，CDEADF，FDEADF+ADECDE+ADEADC90，DFE为等腰直角三角形，DHEF，点H是EF的中点，DHEF，同理，由HB是RtEBF的中线得：HBEF，HDHB；四边形ABCD为正方形，故CDCB，HDHB，CHCH，DCHBCH（SSS），DCHBCH45，DEF为等腰直角三角形，DFE45，HCEDFK，四边形ABCD为正方形，ADBC，DKFHEC，DKFHEC，DKHCDFHE，在等腰直角三角形DFH中，DFHFHE，DKHCDFHEHE2，HE113（1）解：如图1中，四边形ABCD是正方形，ABADBCCD，BAD90，ABC，ADC都是等腰三角形，BAECAE，DAFCAF，EAF（BAC+DAC）45，BAEDAF22.5，BD90，ABAD，BAEDAF（ASA），BEDF，AEAF，CBCD，CECF，AEF，CEF都是等腰三角形，故答案为：45，AEF，EFC，ABC，ADC（2）解：结论：PQBP+DQ理由：如图2中，延长CB到T，使得BTDQADAB，ADQABT90，DQBT，ADQABT（SAS），ATAQ，DAQBAT，PAQ45，PATBAP+BATBAP+DAQ45，PATPAQ45，APAP，PATPAQ（SAS），PQPT，PTPB+BTPB+DQ，PQBP+DQ故答案为：PQBP+DQ（3）解：如图3中，四边形ABCD是正方形，ABMACQBAC45，ACAB，BACPAQ45，BAMCAQ，CAQBAM，故答案为：（4）证明：如图4中，将ADN绕点A顺时针旋转90得到ABR，连接RMBAD90，MAN45，DAN+BAM45，DANBAR，BAM+BAR45，MARMAN45，ARAN，AMAM，AMRAMN（SAS），RMMN，DABRABD45，RBM90，RM2BR2+BM2，DNBR，MNRM，BM2+DN2MN214操作一：解：四边形ABCD是正方形，CBAD90，由折叠的性质得：BAEMAE，DAFMAF，MAE+MAFBAE+DAFBAD45，即EAF45，故答案为：45；操作二：解：四边形ABCD是正方形，BC90，由折叠的性质得：NFECFE，ENFC90，AFDAFM，ANF1809090，由操作一得：EAF45，ANF是等腰直角三角形，AFN45，AFDAFM45+NFE，2（45+NFE）+CFE180，NFECFE30，AEF903060，故答案为：60；（1）证明：ANF是等腰直角三角形，ANFN，AMFANF90，APNFPM，NAPNFE30，在ANP和FNE中，ANPFNE（ASA）；（2）由（1）得：ANPFNE，APFE，PNEN，NFECFE30，ENFC90，NEFCEF60，AEB60，B90，BAE30，BEAB1，AE2BE2，设PNENa，ANP90，NAP30，ANPNa，AP2PN2a，AN+ENAE，a+a2，解得：a1，AP2a22，故答案为：2215解：【类比探究】过点E作EFCD于点F，连接AF，四边形ABCD是正方形，ADCD4，ADC90，DECE，EFCD，DFCFCD2，ADCEFD90，ADEF，SADESADF，SADEADDF424；【拓展应用】如图，连接CF，四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，BDC45，GCF45，BDCGCF，BDCF，SBDFSBCD，SBDFBCBC816解：（1）设EFmBC14，BD6，CDBCBD1468，AD8，ADDC8，ADBC，ADC90，ACAD8，四边形EFGH是正方形，EHFGGHEFm，EHGFGH90，AHEFGC90，DACC45，AEHEAH45，GFCC45，AHEHm，CGFGm，3m8，m，EF（2）四边形EFGH是矩形，EFAC，DEFDAC，DFEC，DACC，DEFDFE，DEDFx，DADC8，AECF8x，EHAE（8x），EFDEx，y，y（0x8）（3）如图中，由（2）可知点P在y上，设直线MN的解析式为ykx+b，把P