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第35练用样本估计总体题型一频率分布直方图的应用例1某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445破题切入点(1)根据样本频率之和为1，求出参数a的值(2)根据频率分布直方图和平均值的计算公式，求出样本平均值(3)由直方图可计算语文成绩在每分段上的频数，再根据语文和数学成绩在同一段上的人数比，便可计算数学成绩在50,90)之间的人数，进而求解解(1)由频率分布直方图知(2a)101，解得a0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为5510651075108510951073(分)(3)由频率分布直方图知语文成绩在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)101005,1010040,1010030,1010020.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,4020,3040,2025.故数学成绩在50,90)之外的人数为100(5204025)10.题型二茎叶图的应用例2从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则它们的大小关系分别为_破题切入点由茎叶图观察求解比较两组数据的平均数和中位数答案甲乙，m甲s，故甲更稳定，故填甲总结提高(1)众数、中位数、平均数的异同众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，而中位数和众数都不具备此性质众数考查各数据出现的频率，当一组数据中有不少数据多次出现时，众数往往更能反映问题中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势(2)茎叶图刻画数据的优点所有数据信息都可以在茎叶图中看到茎叶图便于记录和表示，且能够展示数据的分布情况(3)利用频率分布直方图估计样本的数字特征中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值平均数：平均数的频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标1某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(kg)数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图(如图)根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦已知图中从左到右第一、第三、第四、,，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为_答案1 000,解析据题意，得第二小组的频率为1()0.40，且其频数为400，设高三年级男生总数为n，则有0.40，n1 000.体重正常的学生所占的频率为第二和第三小组频率之和，即0.200.400.60.2. 已知记录7名运动员选手身高(单位：cm)的茎叶图如图，其平均身高为177 cm，因有一名运动员的身高记录看不清楚，设其末位数为x，那么推断x的值为_答案8解析据茎叶图可知177，解得x8.3在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形若中间一个小矩形的面积等于其余(n1)个小矩形面积之和的，且样本容量为240，则中间一组的频数是_答案40解析设中间小矩形的面积为S，则由题意知，解得S，即频率为，所以中间一组的频数为24040.4样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为_答案2解析由题意知(a0123)1，解得a1，所以样本方差为s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.5(2014山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为_答案12解析志愿者的总人数为50，所以第三组人数为500.3618，有疗效的人数为18612.6在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列an，已知a22a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为_答案160解析小长方形的面积由小到大构成等比数列an，且a22a1，样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，a12a14a18a115a1300，a120，小长方形面积最大的一组的频数为8a1160.7(2014江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有_株树木的底部周长小于100 cm.答案24解析底部周长在80,90)100.15，底部周长在90,100)100.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为()6024.8如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别是_答案18,23解析根据茎叶图分别将甲、乙得分按从小到大顺序排起来，根据中位数定义易知甲、乙中位数分别为18,23.9甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)品种第1年第2年第3年第4年第5年甲10乙其中产量比较稳定的小麦品种是_答案甲解析甲()10.0，乙()10.0；s(22)1020.02，s(22)1020.2440.02.10为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是_答案48解析据频率分布直方图可得第四与第五小组的频率之和为5()0.25，又其频数为12，故总人数为48人11(2014北京)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数10,2)622,4)834,6)1746,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)解(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是10.9.从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组4,6) 的有17人，频率为0.17，所以a0.085.课外阅读时间落在组8,10)的有25人，频率为0.25，所以b0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组12(2014广东)某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差解(1)这20名工人年龄的众数为30；这20名工人年龄的极差为401921.(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：(3)这20名工人年龄的平均数为：(1928329330531432340)2030；所以这20名工人年龄的方差为：(3019)2(3028)2(3029)2(3030)2(3031)2(3032)2(3040)212.6.
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