第9讲-回归旋转设计(共10页)

精选优质文档-倾情为你奉上第九讲 回归旋转设计分析方法REGRESSION ROTATABLE DESIGN回归旋转设计是在回归正交设计的基础上发展而来的。但后者的预测值的方差很大程度上依赖于试验点在因子空间的位置。由于误差的干扰，试验不能根据预测值直接寻找最优区域。若使用二次设计具有旋转性，便能使与试验中心点距离相等的试验点上的预测值方差相等。将有助于克服回归正交设计的不足。故此，本讲着重讨论二次回归旋转设计及分析。第一节 二次通用旋转设计的方法一、试验点的确定二次旋转设计也是一种组合设计（为克服试验规模过于庞大，在因素空间中选择n类具有不同特点的点，把它们适当组合起来而形成试验计划）。它的试验处理数目N由三部分组成，即：N=mc+2P+m0 （91）其中：mc为所选用正交表中的全试验数；p为试验因素的个数；m0为各因素零水平组成的中心试验点的重复数。N个试验点是分布在三个半径不相等的球面上。其中mc个点分布在半径pc=的球面上；2p个点分布在半径p=的球面上；m0个点集中在半径p0=0的球面上。因此，它满足了旋转性和非退化性。有关m0的重复次数，二次旋转组合设计对m0的选择是自由的，即使中心点的试验一次也不做，也不会影响旋转性，但中心点附近区域往往是我们所关心的区域，而且中心点重复试验能给出回归方程在中心点的拟合情况。所以，中心点m0的重复试验是很有必要的。 m0因p不同而不同。现将通用旋转设计的一些有关参数列于表91，供设计时查用。表91 二次通用旋转设计的参数表因素个数（p） N mc 2p m0 2 3 4 5（1/2实施） 6（1/2实施） 7（1/2实施） 8（1/2实施） 8（1/4实施） 13 4 4 5 1.44 20 8 6 6 1.682 31 16 8 7 2.000 32 16 10 6 2.000 53 32 12 9 2.378 92 64 14 14 2.828 165 128 16 21 3.364 93 64 16 13 2.828表91中值可按下式计算 (92)式中：p为因素个数；i为实施情况，当试验全实施时i=0，1/2实施时i=1；1/4实施时i=2。二、二次旋转计划的安排设为研究的因素有p个，分别以Z1、Z2、Zp表示，每因素的上水平为Zi2，下水平为Zi1，零水平为Zi0，变动区间（i）为： 其中r值可按p的个数及实施情况查表91或按92式计算，然后编制因素水平的编码表92。表92 因素水平的编码表xiaZ1Z2Zp101Z12Z10+1Z10Z101Z11Z22Z20+2Z20Z202Z21Zp2ZP0+PZP0ZP0pZP1第二节 二次通用旋转设计的结果分析一、回归系数的计算在二次通用旋转设计中，回归系数按下列各式计算：式中各常数e，k，E，F，G等按下式计算： （96）式中的N ，mc，p，r值均按p的个数查表91所得，如p=2时，查表91，得N=13，mc=4，r=1.414，代入（96）式得：e = 4+2(1.414)2 = 8f = 4+2(1.414)4=11.995H = 2(1.414)41311.995+（2-1）134282=639.094为方便见，一些常用的数据列于表93中，以供查用。表93 二次通用旋转组合设计的一些常数 因素个数P K E F G e2345（1/2实施）56（1/2实施）7（1/2实施）0.20000 0.1000 0.1437 0.0187 8.0000.1663 0.0568 0.0694 0.0069 13.6560.1428 0.00357 0.0350 0.0037 24.0000.1591 0.0341 0.0341 0.0028 24.0000.0988 0.0191 0.0180 0.0015 43.3140.01108 0.0187 0.0168 0.0012 43.3140.0703 0.0098 0.0083 0.0005 80.000二、回归方程的显著性检验设二次通用旋转设计N个组合的试验结果为Y1，Y2，Yn，则它们的总平方和与自由度为：剩余平方和与自由度为： (98）回归平方和与自由度为： （99）误差平方和与自由度为： （910）失拟平方和与自由度为： （911）检验时先对失拟均方进行显著性检验，即： （912）若不显著，可对回归方程进行显著性检验；若F 值显著或极显著，则要进一步考察原因，改变二次回归模型，说明存在着不可忽略因素的影响。对回归方程进行显著性检验，即： （913）三、回归系数的显著性检验可采用t测验，即： （914）若不显著（9-12）可用代（9-14）第三节 二次通用旋转设计的实例分析一、编制编码表安排试验有一个三因素的试验，各个因素的水平编码如表94，由表91 查得 =1.628，于是，表94中的变动区间i为：1=2=3=Z1（+1）=Z10+1=55+15=70Z1（-1）=Z10-1=55-15=40Z2（+1）=Z20+2=70+305=100Z2（-1）=Z20-2=70-305=40Z3（+1）=Z30+3=150+89=239Z3（-1）=Z30-3=150-89=61表94 三个因素水平编码表 因素xiaZ1 Z2 Z3+10-1- 80 120 300 70 100 239 55 70 150 40 40 61 30 20 0i 15 30 89 按通用旋转设计，查表91，三个因素的处理组合N=20，其中mc=8，2p=6，m0=6，于是可得表9-5的20个处理组合，其中：处理1为： x1=70，x2=100，x3=239处理2为： x1=70，x2=100，x3=61 处理9为： x1=80，x2=70，x3=150处理10为： x1=30，x2=70，x3=150 处理15-20为：x1=55 ，x2=70，x3=150经试验后，把试验结果列于表9-5中的最后一列（y）。表9-5 三因素二次通用旋转设计结果二、试验结果分析（一）由表（9-3）中查得有关常数代入（9-5）式计算各回归系数于是得到回归方程为：（二）回归方程的显著性检验，依公式可得下列各平方和及自由度。SS失=SSQSSe=13.9743.108=10.866dfT=N1=201=19dfQ=N=2010=10dfU=1=9dfe=m01=61=5df失=20106+1=5对失拟均方进行显著性检验依查F值表，F0.05(5，5)=5.05，p0.05，说明不存在其它有影响的因素，故可作方差分析。表9-6 回归结果的方差分析F检验结果表明：二次回归方程与实际情况拟合很好，可用来预测，试验误差方差的估计值为：，相关指数R2=3693.676/3707.65=0.9962。（三）回归系数的显著性检验 查t值表，t0.05(10)=2.228，t0.01(10)=3.169，故最优回归方程为：由于在计算过程中对x1、x2、x3的水平进行了标准化处理，故x1、x2、x3应该分别用（x155）/15、（x270）/30、（x3150）/89取代。整理后的最优回归方程为：该最优回归方程的估测误差为：Sy。e=，相关指数R2=3704.9045/3707.65=0.9993。说明用该回归方程估测y的准确性极高。习题 9.1 为研究不同营养成份对奶牛产奶量的影响，试验设饲料中3种营养成份（因素）x1、x2、x3的水平变化范围： x1为300400、x2为100150、x3为1.21.8，试验采用二次旋转设计，各个因素的水平编码如表9-7。试验结果（产奶量）列于表9-8中的最后一列（y）。试作试验结果的分析。 表97 三个因素水平编码表 因素xia x1 x2 x3+10-1- 400 150 1.8 380 140 1.7 350 125 1.5 320 110 1.3 300 100 1.2i 30 15 0.2 表98 三因素二次通用旋转设计结果（答案：，其中，x1=（x1-350）/50，x2=（x2-125）/25，整理后的最优回归方程为：，其中，b1，p0.01；b4，P0.05；b2、b3，P0.1；R2=0.7885。）9.2 有一再生稻的栽培试验，考察因素分别为播量（x1，kg）、秧龄（x2，天）、密度（x3，万株/亩）、N肥（x4，kg）、P肥（x5，kg）。试验采用5因素二次旋转设计， 1/2实施。各考察因素所设的上、下水平及水平编码如表9-9。试验结果（产量，公斤/亩）列于表9-10中的最后一列（y）。试作试验结果的分析。（答案：在x1=（x1-20）/5，x2=（x2-30）/5，x3=x3-3，x4=（x4-10）/2.5，x5=（x5-5）/2.5时，R2=0.8667）。 表99 三个因素水平编码表 因素xiax1 x2 x3 x4 x5+10-1- 30 40 5 15.0 10.0 25 35 4 12.5 7.5 20 30 3 10.0 5.0 15 25 2 7.5 2.5 10 20 1 5.0 0i 5 5 1 2.5 2.5专心-专注-专业表910 五因素二次通用旋转设计结果12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353611111111111111111111111111111111111111111111-1-1-1-1-1-1-1-1-220000000000000000001111-1-1-1-11111-1-1-1-100-22000000000000000011-1-111-1-111-1-111-1-11100-22000000000000001-11-11-11-11-11-11-11-1000000-220000000000001-1-11-111-1-111-11-1-1100000000-2200000000001111-1-1-1-1-1-1-1-111110000000000000000000011-1-111-1-1-1-111-1-111000000000000000000001-11-11-11-1-11-11-11-11000000000000000000001-1-11-111-11-1-11-111-10000000000000000000011-1-1-1-11111-1-1-1-111000000000000000000001-11-1-11-111-11-1-11-11000000000000000000001-1-111-1-11-111-1-111-1000000000000000000001-1-111-1-111-1-111-1-11000000000000000000001-11-1-11-11-11-111-11-10000000000000000000011-1-1-1-111-1-11111-1-100000000000000000000111111111111111144000000000000000000111111111111111100440000000000000000111111111111111100004400000000000000111111111111111100000044000000000000111111111111111100000000440000000000505.7442.2446.1453.7459.7470.2447.5442.6425.3453.7472.6432.9469.4457.2449.9442.6426.0430.6477.1481.5463.4482.7463.7468.5447.2477.9468.5470.8468.5475.6475.6475.6470.8496.9482.7456.6