数学第二部分 一 第二讲 分类讨论、转化与化归思想

分类讨论思想的含义分类讨论思想的含义分类讨论思想在解题中的应用分类讨论思想在解题中的应用分类讨论的思想是将一分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解个较复杂的数学问题分解(或或分割分割)成若干个基础性问题，成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将条件，实现了有效增设，将大问题大问题(或综合性问题或综合性问题)分解为分解为小问题小问题(或基础性问题或基础性问题)，优化，优化解题思路，降低问题难度解题思路，降低问题难度.1由数学概念而引起的分类讨论：由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的义、二次函数的定义、直线的倾斜角等倾斜角等2由数学运算要求而引起的分类由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列三角函数的定义域，等比数列an的前的前n项和公式等项和公式等函数与方程思想的含义函数与方程思想的含义分类讨论思想在解题中的应用分类讨论思想在解题中的应用分类讨论的思想是将分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分一个较复杂的数学问题分解解(或分割或分割)成若干个基础成若干个基础性问题，通过对基础性问性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问实现了有效增设，将大问题题(或综合性问题或综合性问题)分解为分解为小问题小问题(或基础性问题或基础性问题)，优化解题思路，降低问题优化解题思路，降低问题难度难度.3由性质、定理、公式的限制由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等的单调性、基本不等式等4由图形的不确定性而引起的由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图指数函数图象、对数函数图象等象等5由参数的变化而引起的分类由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等不同的求解或证明方法等.转化与化归思想的含义转化与化归思想的含义转化与化归思想在解题中的类型转化与化归思想在解题中的类型转化与化归思想方法，就转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的换使之转化，进而解决问题的一种方法化归与转化的原则一种方法化归与转化的原则有：熟悉化、简单化、直观化有：熟悉化、简单化、直观化以及正难则反等；化归与转化以及正难则反等；化归与转化的方法常见的有：直接转化法、的方法常见的有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、坐标法、类比法、特殊化方法、等价问题法、加强命题法等等等价问题法、加强命题法等等.1在三角函数中，涉及三角式的在三角函数中，涉及三角式的变形，一般通过转化与化归将变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公为明的作用，主要的方法有公式的式的“三用三用”(顺用、逆用、顺用、逆用、变形用变形用)、角度的转化、函数、角度的转化、函数的转化等的转化等2在函数、不等式等问题中常将在函数、不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式等悉的函数、方程、不等式等转化与化归思想的含义转化与化归思想的含义转化与化归思想在解题中的类型转化与化归思想在解题中的类型转化与化归思想方法，就转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的换使之转化，进而解决问题的一种方法化归与转化的原则一种方法化归与转化的原则有：熟悉化、简单化、直观化有：熟悉化、简单化、直观化以及正难则反等；化归与转化以及正难则反等；化归与转化的方法常见的有：直接转化法、的方法常见的有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、坐标法、类比法、特殊化方法、等价问题法、加强命题法等等等价问题法、加强命题法等等.3在解决平面向量与三角函数、在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化析几何语言进行转化4在解决数列问题时，常将一般在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数数列转化为等差数列或等比数列求解列求解5在解决解析几何、立体几何问在解决解析几何、立体几何问题时常常在数与形之间进行转题时常常在数与形之间进行转化化.