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第四节数列求和总纲目录教材研读1.求数列的前n项和的方法考点突破2.常见的裂项公式考点二裂项相消法求和考点二裂项相消法求和考点一错位相减法求和考点三分组转化法求和考点三分组转化法求和1.求数列的前求数列的前n项和的方法项和的方法(1)公式法公式法(i)等差数列的前n项和公式Sn=na1+.(ii)等比数列的前n项和公式当q=1时,Sn=na1;1()2nn aa(1)2n nd教材研读教材研读当q1时,Sn=.(2)分组转化法分组转化法把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列之和,再求解.(3)裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是对等差数列求和公式的推导过程的推广.1(1)1naqq11naa qq(5)错位相减法错位相减法适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,错位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法并项求和法若一个数列的前n项和中,可两两合并求解,这种方法称为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.2.常见的裂项公式常见的裂项公式(1)=-;(2)=;(3)=-.1(1)n n1n11n1(21)(21)nn12112121nn11nn1nn1.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则它的前n项和Sn=()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n2-2答案答案CSn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5+(2n-1)=+=2n+1-2+n2.故选C.2(1 2 )1 2n1(21)2nnC2.已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31的值是()A.13B.-76C.46D.76答案答案BS15=1-5+9-13+(413-3)-(414-3)+(415-3)=7(-4)+57=29,BS22=1-5+9-13+(421-3)-(422-3)=11(-4)=-44,S31=1-5+9-13+(429-3)-(430-3)+(431-3)=15(-4)+121=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76.故选B.3.数列的前n项之和为,则n=.1(1)n n991003.数列的前n项之和为,则n=.1(1)n n99100答案答案99解析解析由题意得+=-+-+-+-=1-=,令=,解得n=99.11 212 313 41(1)nn1112121313141n11n11n1nn1nn99100994.已知数列an的前n项和为Sn,且an=n2n,则Sn=.(n-1)2n+1+2答案答案(n-1)2n+1+2解析解析an=n2n,Sn=121+222+323+n2n.2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1.-,得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+12(1 2 )1 2n=(1-n)2n+1-2.Sn=(n-1)2n+1+2.典例典例1(2015北京朝阳一模)设数列an的前n项和为Sn,且a1=4,an+1=Sn,nN*.(1)写出a2,a3,a4的值;(2)求数列an的通项公式;(3)已知等差数列bn中,有b2=a2,b3=a3,求数列anbn的前n项和Tn.考点一错位相减法求和考点一错位相减法求和考点突破考点突破(2)当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.又当n=1时,a1=S1=4.所以an=(3)设等差数列bn的公差为d,依题意,b2=a2=4,b3=a3=8,则由得b1=0,d=4,则bn=4(n-1).所以anbn=因为当n=1时,(n-1)2n+2=0,所以anbn=(n-1)2n+2(nN*).4,1,2 ,2.nnn114,28,bdbd20,1,(1)2,2.nnnn解析解析(1)因为a1=4,an+1=Sn,所以a2=S1=a1=4,a3=S2=a1+a2=4+4=8,a4=S3=a1+a2+a3=4+4+8=16.所以Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+an-1bn-1+anbn=0+124+225+326+(n-2)2n+1+(n-1)2n+2,2Tn=0+125+226+327+(n-2)2n+2+(n-1)2n+3,-,得-Tn=24+25+26+27+2n+2-(n-1)2n+3=-(n-1)2n+3=-16-(n-2)2n+3.所以Tn=16+(n-2)2n+3.412 (1 2)1 2n方法技巧方法技巧(1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列bn的公比,然后作差求解;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.1-1已知数列an是公差大于零的等差数列,数列bn为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.解析解析(1)设数列an的公差为d(d0),数列bn的公比为q,由已知得解得或d0,d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=22n-1=2n,即an=2n-1(nN*),bn=2n(nN*).(2)由(1)知cn=anbn=(2n-1)2n,Tn=12+322+523+(2n-1)2n,2Tn=122+323+524+(2n-1)2n+1,22(1)1,12213,qddq10,4dq 2,2.dq-得Tn=-12-222-223-22n+(2n-1)2n+1=-2-23-24-2n+1+(2n-1)2n+1=-2-+(2n-1)2n+1=6+(2n-3)2n+1.312(1 2)1 2n考点二裂项相消法求和考点二裂项相消法求和典例典例2(2016北京东城二模)已知等差数列an满足a3=7,a5+a7=26,其前n项和为Sn.(1)求an的通项公式及Sn;(2)令bn=(nN*),求数列bn的前8项和.1nSn解析解析(1)设等差数列an的公差为d,由a5+a7=26,得a6=13,又a6-a3=3d=6,故d=2.所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1.所以Sn=n=n=n2+2n.(2)由bn=,得bn=-.设bn的前n项和为Tn,则T8=+=1-=.故数列bn的前8项和为.12naa3212n1nSn21nn1(1)n n1n11n112112311341189198989易错警示易错警示利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.2-1(2018北京海淀高三期中)已知等比数列an满足a1a2a3=8,a5=16.(1)求an的通项公式及前n项和Sn;(2)设bn=log2an+1,求数列的前n项和Tn.11nnb b解析解析(1)设等比数列an的公比为q.因为a1a2a3=8,且a1a3=,所以=8,解得a2=2,又因为a5=a2q3=16,所以q3=8,解得q=2,所以a1=1.所以an=2n-1(nN+),所以Sn=2n-1.(2)因为an+1=2n,所以bn=log2an+1=n,所以=-.所以数列的前n项和Tn=+=1-=.22a32a1(1)1naqq1 21 2n11nnb b1(1)n n1n11n11nnb b1121123111nn11n1nn典例典例3(2017北京西城一模)已知an是等比数列,a1=3,a4=24.数列bn满足b1=1,b4=-8,且an+bn是等差数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.考点三分组转化法求和考点三分组转化法求和解析解析(1)设等比数列an的公比为q.由题意得q3=8,解得q=2.所以an=a1qn-1=32n-1.设等差数列an+bn的公差为d.由题意得d=4.所以an+bn=(a1+b1)+(n-1)d=4n.从而bn=4n-32n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=4n-32n-1.设bn的前n项和为Sn.41aa4411()()4 1abab1643则Sn=(4+42+4n)-(321-1+322-1+32n-1)=4(1+2+n)-3(20+21+2n-1)=2n(n+1)-3(1 2 )1 2n=2n2+2n+3-32n.所以,数列bn的前n项和为2n2+2n-32n+3.规律总结规律总结(1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组转化法求an的前n项和.(2)对于通项公式为an=的数列,其中bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和.(3)采用分组转化法求和是将所求数列和分解转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,这就需要通过对数列通项结构特点进行分析研究,将数列的通项合理分解转化.,nnb nc n为奇数为偶数3-1(2016北京海淀二模)已知等差数列an的通项公式为an=4n-2,各项都是正数的等比数列bn满足b1=a1,b2+b3=a3+2.(1)求数列bn的通项公式;(2)求数列an+bn的前n项和Sn.解析解析(1)设数列bn的公比为q,q0,因为b1=a1=2,所以b2+b3=2q+2q2=a3+2=12.解得q=2或q=-3(舍).所以bn=b1qn-1=2n.(2)记an的前n项和为Tn,bn的前n项和为Hn,所以Tn=n=n=2n2,12naa2422nHn=2n+1-2.1(1)1nbqq2(1 2 )1n所以Sn=Tn+Hn=2n2+2n+1-2.
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