数学第七章 不等式 第41讲 简单的线性规划

第第41讲简单的线性规划讲简单的线性规划考试要求1.从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)，二元一次不等式的几何意义(A级要求)；2.用平面区域表示二元一次不等式组(A级要求)；3.从实际情况中抽象出一些简单的线性规划问题，并加以解决(A级要求).1.(教材改编)已知点A(1，0)，B(2，m)，若A，B两点在直线x2y30的同侧，则m的取值集合是_.诊诊 断断 自自 测测2.(教材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是_.解析可行域如图阴影部分所示，当直线y2xz取到点(6，3)时，所求最小值为15.答案15解析作出可行域如图中阴影部分所示，zx2y2的最小值表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的最小值的平方，由图可知直线xy10与直线x1的交点(1，2)到原点的距离最近，故zx2y2的最小值为12225.答案51.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的_.我们把直线画成虚线以表示区域_边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应_边界直线，则把边界直线画成_.(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都_，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的_即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域.知知 识识 梳梳 理理平面区域不包括包括实线相同符号2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的_不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求_或_的函数线性目标函数关于x，y的_解析式可行解满足_的解可行域所有_组成的集合最优解使目标函数取得_或_的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的_或_问题一次最大值最小值一次线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.4.判断区域方法(1)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的下方.(2)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域C点横坐标xC2m，(2)不等式组表示的平面区域如图所示.规律方法(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.(2)不等式xy50和0 x2表示的平面区域如图所示.因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5a7.答案(1)1(2)5，7)考点二求目标函数的最值问题解析(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2，0)，由zaxy，得yaxz.当a0时，zaxy在A(2，0)或B(1，1)处取得最大值，2a4或a14，a2，a3(经检验舍去)，则a2满足题意.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，规律方法(1)此题中与z有关量的几何意义不再是纵截距，而是点到点的距离、斜率、点到直线的距离.(2)在第(3)问中才是点到直线的距离.考点三可转化线性规划的问题答案e，7作出可行域如图中阴影部分所示，考点四线性规划的实际应用问题【例4】 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100 xy，所以利润5x6y3(100 xy)2x3y300.作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，最优解为A(50，50)，此时max550元.故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.规律方法解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验：根据结果，检验反馈.