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三垂线定理三垂线定理复习目标：复习目标：三垂线定理是反映三种垂直之间关系三垂线定理是反映三种垂直之间关系定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此能够进行推理、论证和定理，并据此能够进行推理、论证和解决有关问题。解决有关问题。一、课题引入一、课题引入 引例：如图，已知引例：如图，已知PA平面平面ABCABC，ABC=90ABC=90，求证：求证：BCPBBCPB。PACB思考：（1）证明线线垂直的方法有哪些？（2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。 证明：证明： PA平面ABC，BC在平面ABC内，PABC，又ABC=90， BCAB，BC平面PAB，PB在平面PAB内，BCPB线线垂直的方法 ：（1）a ,b在 内，则ab（2）ab，mb，则am （3）三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在三垂线定理：在平面内平面内的一条的一条直线直线，如果和这个平面，如果和这个平面的一条的一条斜线的射影斜线的射影垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条斜线斜线垂直。垂直。三垂线逆定理：在三垂线逆定理：在平面内平面内的一条的一条直线直线，如果和这个平，如果和这个平面内的一条面内的一条斜线斜线垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条斜线的射影斜线的射影垂垂直。直。二、定理内容阐述：二、定理内容阐述：1、三垂线定理包括、三垂线定理包括5个要素：一面个要素：一面“垂面垂面”；四线（；四线（斜线斜线、垂线垂线、射影射影和和平面内的直线平面内的直线。 顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。便。2、“三垂线三垂线”的含义：的含义：（1）垂线与平面垂直）垂线与平面垂直（2）射影与平面内的直线垂直）射影与平面内的直线垂直（3）斜线与平面内的直线垂直）斜线与平面内的直线垂直三、定理巩固性练习：1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ ）（A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（ ）（A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形（C）可能都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形DCPACB四、例题分析：四、例题分析：例例1：如图所示，已知如图所示，已知PA 平面平面ABCABC，ACB= 90ACB= 90， AQPCAQPC，ARPBARPB，试证，试证PBCPBC、 PQRPQR为直角三角形。为直角三角形。证明：PA 平面ABC， ACB= 90， ACBC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，BCPC（三垂线定理），PBC是直角三角形；BC平面PAC，AQ在平面PAC内，BCAQ，又PCAQ，AQ平面PBC，QR是AR在平面PBC的射影，又ARPB，QRPB（三垂线逆定理），PQR是直角三角形。QPBCRA小结：凡用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质证明，我们的学习目标应该是直接熟悉这两个定理的应用。OABCD例题例题2、空间四边形空间四边形ABCD中，中，AB垂直于垂直于CD，BC垂直于垂直于AD，求证：，求证：AC BDBD。证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过A作AO平面BCD于O，连结BO，ABCD，CDBO（三垂线逆定理），同理可得BCOD，则O为BCD的垂心，BDOC，OC是AC的射影，BDAC（三垂线定理）。若AB 平面BCD，垂线即是AB，由条件BCAD，则BCBD（三垂线逆定理），而BC是AC的射影， BDAC（三垂线定理）小结：小结：运用三垂线定理及逆定理，必然运用三垂线定理及逆定理，必然要涉及平面的斜线，此题的讨论是必要要涉及平面的斜线，此题的讨论是必要的。的。例题例题3、如图示，已知如图示，已知DB、EC都垂直于正三角都垂直于正三角ABC所所在的平面，且在的平面，且BC=EC=2DB，求平面，求平面ADE与平面与平面ABC所所成二面角的平面角。成二面角的平面角。AECBDF解：解：延长ED、BC交于F，连AF，则AF为二面角的棱，由已知DB、EC都垂直正三角ABC， DB/EC，又BC=EC=2DB FB=BC=AB， FAC为Rt ，且FAAC，而EC 平面ABC， AFAE（三垂线定理），于是EAC为平面ABC与平面ADE的平面角，又EC=AC， EAC= 45， 二面角的平面角为45。 思考：思考：本题还可以用什么方法求二本题还可以用什么方法求二面角的平面角？面角的平面角？（用 ）cosABCADEsS小结：小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角的方法有面角的平面角的方法有（1）定义法，（）定义法，（2）三垂线定理法，（三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面）作垂面法。此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。积定理也是求二面角大小的一种常用方法。例题例题4、直角三角形直角三角形ABC中，中，B= 90B= 90， C= 30C= 30，D D是是BCBC的中点，的中点，AC=2AC=2，DEDE平面平面ABCABC且且DE=1DE=1，求，求E E到斜线到斜线ACAC的距离？的距离？解：解：BACDEF过点D作DF AC于F，连结EF， DE平面ABC，由三垂线定理知EFAC，即E到斜线AC的距离为EF，在Rt ABC中， B= 90，C= 30，AC=2， BC=，DFAC， 在Rt EDF中 为所求33,2CD34CD 22194EFDFDE小结：小结：求点到直线的距离，常运用三垂线求点到直线的距离，常运用三垂线定理（或逆定理）把它作出，按定理（或逆定理）把它作出，按“一作、一作、二证、三计算二证、三计算”的步骤求解。的步骤求解。方法规律：方法规律：三垂线定理及其逆定理的应用：（三垂线定理及其逆定理的应用：（1）证明两条异面直线垂直；（证明两条异面直线垂直；（2）确定二）确定二面角的平面角；（面角的平面角；（3）确定点到直线的）确定点到直线的垂线段。垂线段。运用定理时要习惯非常规位置图形上应运用定理时要习惯非常规位置图形上应用，不能只习惯于水平放置的平面上运用，不能只习惯于水平放置的平面上运用。用。能力拓展：能力拓展：1、如图所示：已知直三棱柱、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中，中， ACB= 90ACB= 90，BAC=30BAC=30，BC=1BC=1， ，M M是是CFCF的中点，求证的中点，求证AEDMAEDM。6AD DEABCFM证明：连结AF， Rt AFC Rt MDF， AFC= MDF ， DMF+AFC=DMF+MDF= 90， DM AF，又ABC-DEF为直三棱柱， CFEF，又EFDF， EF平面AF，由三垂线定理知AEDM362,2622ACCFMFAF能力拓展：能力拓展：2、过、过Rt BPCBPC的直角顶点的直角顶点P P作线段作线段PA PA 平面平面BPCBPC，求证：，求证： ABCABC的垂心的垂心H H是是P P点在平面点在平面ABCABC内的射影。内的射影。APCBEHD证明：H是ABC的垂心，连结AH延长交BC于D，连结BH延长交AC于E，ADBC，BEAC，AP平面PBC，BCPD，ADPD=D，BC平面ADP，BCPH，又AP面PBC，APPB，由已知BPPC，PB面APC，又BEAC，PEAC，AC面PBE，PHAC，ACBC=C，PH面ABC，H是P点在平面ABC的射影。
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