数学总第一章 数与式 第一节 实数及其运算

第一章数与式第一节实数及其运算知识点一知识点一 实数的分类实数的分类 知识点二知识点二 实数的有关概念实数的有关概念 1 1数轴：规定了数轴：规定了 _ _ 、 _、 _的直线的直线叫做数轴，实数与数轴上的点是一一对应的叫做数轴，实数与数轴上的点是一一对应的2 2相反数：只有相反数：只有 _ _ 不同的两个数叫做互为相反数不同的两个数叫做互为相反数特别地，特别地，0 0的相反数还是的相反数还是0 0；a ab b0 0a a，b b互为相反数；互为相反数；在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离点的距离 _ _ 原点原点单位长度单位长度正方向正方向符号符号相等相等3 3绝对值：一般地，数轴上表示数绝对值：一般地，数轴上表示数a a的点与原点的的点与原点的 _ _ 叫做数叫做数a a的绝对值的绝对值距离距离非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数4 4倒数：乘积是倒数：乘积是1 1的两个数互为倒数用数学语言表述的两个数互为倒数用数学语言表述为：为：abab1 1，则，则a a，b b互为倒数特别地，互为倒数特别地，1 1和和1 1的倒数的倒数还是它本身，还是它本身，0 0没有倒数没有倒数平方根等于它本身的数有平方根等于它本身的数有0 0；算术平方根等于它本身的数；算术平方根等于它本身的数有有0 0和和1 1；立方根等于它本身的数有；立方根等于它本身的数有1 1，0 0和和1.1.知识点三知识点三 科学记数法科学记数法 科学记数法：把一个大于科学记数法：把一个大于1010的数表示成的数表示成a a1010n n的形式的形式( (其中其中a a大于或等于大于或等于1 1且小于且小于1010，n n是正整数是正整数) )，使用的是，使用的是科学记数法科学记数法用科学记数法表示数，要注意单位换算对于没有单位用科学记数法表示数，要注意单位换算对于没有单位的数直接确定的数直接确定a a和和n n的值即可；对于有单位的数，要先换的值即可；对于有单位的数，要先换算计数单位，然后再确定算计数单位，然后再确定a a和和n n的值的值知识点四知识点四 实数的大小比较实数的大小比较 1 1数轴比较法：在数轴上，右边点表示的数比左边点数轴比较法：在数轴上，右边点表示的数比左边点表示的数表示的数 _ _ 2 2法则比较法：正数法则比较法：正数 _ 0_ 0，负数，负数 _0_0，正数，正数 _ _ 一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小大大 大于大于3 3作差比较法：作差比较法：(1)(1)若若a ab0b0，则，则a _ ba _ b；(2)(2)若若a ab b0 0，则，则a _ ba _ b；(3)(3)若若a ab0b0，则，则a _ b.a _ b.4 4平方法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理平方法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理数时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数数时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数转化为有理数，再进行比较或估值转化为有理数，再进行比较或估值知识点五知识点五 实数的运算实数的运算 1 1运算顺序运算顺序在实数范围内的运算中，先算乘方、开方，再算乘除，在实数范围内的运算中，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的要先算括号内的；没有括号，在最后算加减；有括号的要先算括号内的；没有括号，在同一级运算中，要按从左至右的顺序依次运算同一级运算中，要按从左至右的顺序依次运算在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，保证结果正确算，保证结果正确2 2运算律运算律(1)(1)加法的交换律：加法的交换律：a ab b _(2)(2)加法的结合律：加法的结合律：(a(ab)b)c c _(3)(3)乘法的交换律：乘法的交换律：abab _ _ (4)(4)乘法的结合律：乘法的结合律：(ab)c(ab)c _(5)(5)乘法对加法的分配律：乘法对加法的分配律：a(ba(bc)c) _b ba aa a(b(bc)c)babaa(bca(bc) )ababacac考点一考点一 实数的有关概念实数的有关概念 (5(5年年5 5考考) )命题角度命题角度实数及其分类实数及其分类 (2017(2017河北河北) )如图为张小亮的如图为张小亮的答卷，他的得分应是答卷，他的得分应是( )( )A A100100分分 B B8080分分 C C6060分分 D D4040分分【分析】【分析】 根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数的定义进行计算即可均数的定义进行计算即可(1)(1)求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出；有时需要化简得出；(2)(2)一个负数的绝对值等于它的相反一个负数的绝对值等于它的相反数，反之一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是数，反之一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数；非正数；(3)(3)正数的平方根有正数的平方根有2 2个，互为相反数；非负数个，互为相反数；非负数的算术平方根只有一个的算术平方根只有一个1 1(2015(2015河北河北) )下列说法正确的是下列说法正确的是( )( )A A1 1的相反数是的相反数是1 1 B B1 1的倒数是的倒数是1 1C C1 1的立方根是的立方根是1 1 D D1 1是无理数是无理数A A2 2(2014(2014河北河北) )2 2是是2 2的的( )( )A A倒数倒数 B B相反数相反数 C C绝对值绝对值 D D平方根平方根B B命题角度命题角度数轴数轴 (2017(2017河北河北) )如图，在一条不完整的数轴上从如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点左到右有点A A，B B，C C，其中，其中ABAB2 2，BCBC1 1，设点，设点A A，B B，C C所对应数的和是所对应数的和是p.p.(1)(1)若以若以B B为原点，写出点为原点，写出点A A，C C所对应的数，并计算所对应的数，并计算p p的值；的值；若以若以C C为原点，为原点，p p又是多少？又是多少？(2)(2)若原点若原点O O在图中数轴上点在图中数轴上点C C的右边，且的右边，且COCO2828，求，求p.p.【分析】【分析】 (1)(1)若以若以B B为原点，则可得出为原点，则可得出A A，C C对应的数，对应的数，从而得到从而得到p p的值；若以的值；若以C C为原点，则可得出为原点，则可得出A A，B B对应的数，对应的数，从而得到从而得到p p的值；的值；(2)(2)根据原点根据原点O O在图中数轴上点在图中数轴上点C C的右边，的右边，且且COCO2828，可得，可得A A，B B，C C对应的数，据此可得对应的数，据此可得p p的值的值【自主解答】【自主解答】 (1)(1)以以B B为原点，点为原点，点A A，C C分别对应分别对应2 2，1 1，p p2 20 01 11 1；以以C C为原点，点为原点，点A A，B B分别对应分别对应3 3，1 1，p p3 3( (1)1)0 04.4.(2)p(2)p( (28281 12)2)( (28281)1)( (28)28)88.88.5 5(2017(2017邯郸一模邯郸一模) )数轴上点数轴上点A A，B B表示的数分别是表示的数分别是a a，b b，则点，则点A A，B B之间的距离为之间的距离为( )( )A Aa ab Bb Ba ab bC C|a|ab| Db| D|a|ab|b|D D考点二考点二 科学记数法科学记数法 (5(5年年3 3考考) ) (2017 (2017河北河北) )把把0.081 30.081 3写成写成a a10n(1a1010n(1a10，n n为整数为整数) )的形式，则的形式，则a a为为( )( )A A1 B1 B2 C2 C0.813 D0.813 D8.138.13【分析【分析】 根据科学记数法的表示方法将其表示出来，根据科学记数法的表示方法将其表示出来，然后确定然后确定a a的值即可的值即可【自主解答【自主解答】 0.081 30.081 38.138.1310102 2，故，故a a8.13.8.13.故选故选D.D.对于科学记数法表示有理数对于科学记数法表示有理数x x的问题，方法梳理如下表：的问题，方法梳理如下表：7 7(2017(2017济宁济宁) )某桑蚕丝的直径约为某桑蚕丝的直径约为0.000 0160.000 016米，米，将将 0.000 016 0.000 016 用科学记数法表示是用科学记数法表示是( )( )A A1.61.610104 4 B B1.61.610105 5C C1.61.610106 6 D D161610106 6B B8 8(2013(2013河北河北) )截至截至20132013年年3 3月底，某市人口总数已达到月底，某市人口总数已达到4 230 0004 230 000人将人将4 230 0004 230 000用科学记数法表示为用科学记数法表示为( )( )A A0.4230.42310107 7 B B4.234.2310106 6 C C42.342.310105 5 D D42342310104 4B B考点三考点三 实数的大小比较实数的大小比较 (5(5年年3 3考考) )命题角度命题角度实数比较大小实数比较大小 (2017(2017路南区一模路南区一模) )在在3 3，0 0，2 2，1 1四个数中，四个数中，最小的数是最小的数是( )( )A A3 B3 B0 C0 C2 D2 D1 1【分析】【分析】 将这四个数从小到大排列即可得出答案将这四个数从小到大排列即可得出答案【自主解答】【自主解答】 3 32 20 01 1，最小的数为最小的数为3.3.故选故选A.A.在一组既有负数，又有在一组既有负数，又有0 0和正数的数中，若要求最小的和正数的数中，若要求最小的数，只要在负数中比较，找其最小的数即可；若要求最数，只要在负数中比较，找其最小的数即可；若要求最大的数，只要在正数中比较，找其最大的数即可当一大的数，只要在正数中比较，找其最大的数即可当一组数中有无理数时，通常先把无理数转化为有理数再进组数中有无理数时，通常先把无理数转化为有理数再进行比较行比较9 9(2017(2017长安区一模长安区一模) )比比2 2的相反数小的是的相反数小的是( )( )A A5 B5 B3 C3 C0 D0 D1 1B B命题角度命题角度无理数的估算无理数的估算【分析】【分析】 根据数的平方，即可解答根据数的平方，即可解答无理数的估算，可将平方根平方之后与被开方数进行比无理数的估算，可将平方根平方之后与被开方数进行比较，如遇无理数与有理数大小比较问题，也可同时平方较，如遇无理数与有理数大小比较问题，也可同时平方进行比较进行比较考点四考点四 实数的运算实数的运算 (5(5年年5 5考考) )【分析】【分析】 根据实数的运算法则，求出每个选项中左根据实数的运算法则，求出每个选项中左边算式的结果，即可判断出哪个算式错误边算式的结果，即可判断出哪个算式错误实数的运算要熟练掌握，解答此类题的关键是要明确：实数的运算要熟练掌握，解答此类题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用1313(2015(2015河北河北) )计算：计算：3 32 2( (1)1)( )( )A A5 B5 B1 C1 C1 D1 D6 61414(2013(2013河北河北) )气温由气温由1 1 上升上升2 2 后是后是( )( )A A1 B1 B1 C1 C2 D2 D3 3 A AB B1616(2016(2016河北河北) )请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：