学案19 椭圆、双曲线、抛物线

1.1.理解椭圆、抛物线的定义，几何图形理解椭圆、抛物线的定义，几何图形, ,标准方程及标准方程及 简单性质简单性质. .2.2.了解双曲线的定义、几何图形、标准方程、知道它了解双曲线的定义、几何图形、标准方程、知道它 的简单几何性质的简单几何性质. .3.3.理解数形结合思想理解数形结合思想. .4.4.掌握直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的掌握直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的 位置关系的判定及它们的解法位置关系的判定及它们的解法. .5.5.了解圆锥曲线的简单应用了解圆锥曲线的简单应用. .6.6.会解有关圆锥曲线的最值问题会解有关圆锥曲线的最值问题. .7.7.能根据条件求解有关轨迹问题及轨迹方程能根据条件求解有关轨迹问题及轨迹方程. . 学案学案19 19 椭圆、双曲线、抛物线椭圆、双曲线、抛物线 1.(20091.(2009湖南湖南) )抛物线抛物线y y2 2=-8=-8x x的焦点坐标是的焦点坐标是 ( )( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 解析解析 y y2 2=-8=-8x x,p p=4,=4,焦点坐标为焦点坐标为(-2,0).(-2,0).2.(20092.(2009江西江西) )过椭圆过椭圆 ( (a ab b0)0)的左焦点的左焦点 F F1 1作作x x轴的垂线交椭圆于点轴的垂线交椭圆于点P P, ,F F2 2为右焦点为右焦点, ,若若F F1 1PFPF2 2 =60=60, ,则椭圆的离心率为则椭圆的离心率为 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 12222byax22332131B B解析解析 由题意知点由题意知点P P的坐标为的坐标为 F F1 1PFPF2 2=60=60, ,答案答案 B B).(332, 322222cabacabc即),(),(22abcabc或).(333, 03232舍去或eeee3.(20093.(2009山东山东) )设双曲线设双曲线 的一条渐近线与的一条渐近线与 抛物线抛物线y y= =x x2 2+1+1只有一个公共点只有一个公共点, ,则双曲线的离心率为则双曲线的离心率为 ( )( ) A. B.5 C. D. A. B.5 C. D. 解析解析 不妨设双曲线不妨设双曲线 的一条渐近线为的一条渐近线为y y= = 由方程组由方程组 消去消去y y, ,得得x x2 2- +1=0- +1=0有有 唯一解唯一解, ,所以所以=12222byax12222byax, xab1,2xyxabyxab, 04)(2ab45255. 5)(1, 2222ababaaceab所以D D题型一题型一 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质【例【例1 1】已知椭圆】已知椭圆G G的中心在坐标原点的中心在坐标原点, ,长轴在长轴在x x轴上轴上, , 离心率为离心率为 两个焦点分别为两个焦点分别为F F1 1和和F F2 2, ,椭圆椭圆G G上一点到上一点到 F F1 1和和F F2 2的距离之和为的距离之和为12,12,圆圆C Ck k: :x x2 2+ +y y2 2+2+2kxkx-4-4y y-21=0(-21=0(k k R) R)的圆心为点的圆心为点A Ak k. . (1) (1)求椭圆求椭圆G G的方程的方程; ; (2) (2)求求A Ak kF F1 1F F2 2面积面积; ; (3) (3)问是否存在圆问是否存在圆C Ck k包围椭圆包围椭圆G G？请说明理由？请说明理由. . ,23解解 (1)(1)设椭圆设椭圆G G的方程为的方程为 ( (a ab b0),0),半焦半焦距为距为c c, ,则则所以所以b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=36-27=9.=36-27=9.所求椭圆所求椭圆G G的方程为的方程为(2)(2)点点A Ak k的坐标为的坐标为(-(-k k,2).,2).12222byax, 33, 623,122caaca解得. 193622yx. 36236212|212121FFSFFAk(3)(3)若若k k0,0,由由6 62 2+0+02 2+12+12k k-0-21=15+12-0-21=15+12k k0,0,可知右端点可知右端点(6,0)(6,0)在圆在圆C Ck k外外; ;若若k k0,0,由由(-6)(-6)2 2+0+02 2-12-12k k-0-21=15-12-0-21=15-12k k0,0,可知左端点可知左端点(-6,0)(-6,0)在圆在圆C Ck k外外. .所以不论所以不论k k为何值为何值, ,圆圆C Ck k都不能包围椭圆都不能包围椭圆G G. .【探究拓展探究拓展】本小题考查了椭圆的定义、方程、性质】本小题考查了椭圆的定义、方程、性质 及曲线与曲线的位置关系及曲线与曲线的位置关系, ,在解答这类问题时在解答这类问题时, ,应充应充 分利用定义与性质进行解答分利用定义与性质进行解答, ,才能使问题得以快速解才能使问题得以快速解 决决. . 变式训练变式训练1 1 设设b b0,0,椭圆方程为椭圆方程为 抛物线方程为抛物线方程为x x2 2=8(=8(y y - -b b).).如图所示如图所示, ,过点过点F F(0,(0,b b+2)+2)作作 x x轴的平行线轴的平行线, ,与抛物线在第一象与抛物线在第一象 限的交点为限的交点为G G, ,已知抛物线在点已知抛物线在点G G的切线经过椭圆的的切线经过椭圆的 右焦点右焦点F F1 1. . (1) (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; ; (2) (2)设设A A, ,B B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在 抛物线上是否存在点抛物线上是否存在点P P, ,使得使得ABPABP为直角三角形为直角三角形? ?若若 存在存在, ,请指出共有几个这样的点请指出共有几个这样的点? ?并说明理由并说明理由( (不必具不必具 体求出这些点的坐标体求出这些点的坐标). ). , 122222bybx解解 (1)(1)由由x x2 2=8(=8(y y- -b b),),得得当当y y= =b b+2,+2,得得x x= =4.4.G G点的坐标为点的坐标为(4,(4,b b+2),+2),y y= = x x, ,y y|x x=4=4=1,=1,过点过点G G的切线方程为的切线方程为y y-(-(b b+2)=+2)=x x-4,-4,即即y y= =x x+ +b b-2,-2,令令y y=0,=0,得得x x=2-=2-b b,F F1 1点的坐标为点的坐标为(2-(2-b b,0),0),由椭圆方程得由椭圆方程得F F1 1点的坐标为点的坐标为( (b b,0),0),2-2-b b= =b b, ,即即b b=1,=1,即椭圆和抛物线的方程分别为即椭圆和抛物线的方程分别为 和和x x2 2=8(=8(y y-1). -1). ,812bxy411222 yx(2)(2)过过A A作作x x轴的垂线与抛物线只有一个交点轴的垂线与抛物线只有一个交点P P, ,以以PABPAB为直角的为直角的RtRtABPABP只有一个只有一个, ,同理同理, ,以以PBAPBA为直角的为直角的RtRtABPABP只有一个只有一个. .若以若以APBAPB为直角为直角, ,设设P P点坐标为点坐标为A A、B B两点的坐标分别为两点的坐标分别为( ,0)( ,0)和和( ,0),( ,0),关于关于x x2 2的二次方程有一大于零的解的二次方程有一大于零的解,x x有两解有两解, ,即以即以APBAPB为直角的为直角的RtRtABPABP有两个有两个, ,因此抛物线上存因此抛物线上存在四个点使得在四个点使得ABPABP为直角三角形为直角三角形. . ),181,(2xx22. 0145641) 181(224222xxxxPBPA题型二题型二 直线与圆锥曲线之间的关系直线与圆锥曲线之间的关系【例【例2 2】(2009(2009全国全国)已知椭圆已知椭圆C C: : ( (a ab b0)0)的离心率为过右焦点的离心率为过右焦点F F的直线的直线l l与与C C相相 交于交于A A、B B两点两点, ,当当l l的斜率为的斜率为1 1时时, ,坐标原点坐标原点O O到到l l的距的距 离为离为 (1)(1)求求a a、b b的值的值; ; (2) (2)C C上是否存在点上是否存在点P P, ,使得当使得当l l绕绕F F转到某一位置时转到某一位置时, ,有有 成立成立? ?若存在若存在, ,求出所有的求出所有的P P的坐标与的坐标与l l 的方程的方程; ;若不存在若不存在, ,说明理由说明理由. . 12222byax,33.22OBOAOP解解 (1)(1)设设F F( (c c,0),0),当当l l的斜率为的斜率为1 1时时, ,其方程为其方程为x x- -y y- -c c=0,=0,坐标原点坐标原点O O到到l l的距离为的距离为(2)(2)C C上存在点上存在点P P, ,使得当使得当l l绕绕F F转到某一位置时，转到某一位置时，有有 成立成立. .由由(1)(1)知椭圆知椭圆C C的方程为的方程为2 2x x2 2+3+3y y2 2=6,=6,设设A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2).). 2, 3,33. 1,222,22|00|22cabaacecccc得由故OBOAOP当当l l不垂直于不垂直于x x轴时轴时, ,设设l l的方程为的方程为y y= =k k( (x x-1).-1).C C上的点上的点P P使使 成立的充要条件是成立的充要条件是P P点的坐标为点的坐标为( (x x1 1+ +x x2 2, ,y y1 1+ +y y2 2),),且且2(2(x x1 1+ +x x2 2) )2 2+3(+3(y y1 1+ +y y2 2) )2 2=6, =6, 整理得整理得 又又A A、B B在在C C上上, ,即即 故故2 2x x1 1x x2 2+3+3y y1 1y y2 2+3=0 +3=0 将将y y= =k k( (x x-1)-1)代入代入2 2x x2 2+3+3y y2 2=6,=6,并化简得并化简得(2+3(2+3k k2 2) )x x2 2-6-6k k2 2x x+3+3k k2 2-6=0,-6=0,于是于是x x1 1+ +x x2 2= = x x1 1x x2 2= = OBOAOP. 6643232212122222121yyxxyxyx. 632 , 63222222121yxyx,3222kk.326322kky y1 1y y2 2= =k k2 2( (x x1 1-1)(-1)(x x2 2-1)=-1)=代入代入解得解得, ,k k= = , ,此时此时, ,x x1 1+ +x x2 2= =于是于是y y1 1+ +y y2 2= =k k( (x x1 1+ +x x2 2-2)=-2)=因此因此, ,当当k k= = 时时, , l l的方程为的方程为当当k k= = 时时, , l l的方程为的方程为 .32422kk).2,23(,2kPk即,2322),22,23(P. 022 yx2),22,23(P. 022 yx当当l l垂直于垂直于x x轴时轴时, ,由由 = =（2,0)2,0)知知C C上不存在上不存在点点P P使使 成立成立. .综上综上, ,C C上存在点上存在点 使使 成立成立, ,此此时时l l的方程为的方程为【探究拓展探究拓展】本题以椭圆为背景考查了圆锥曲线与直】本题以椭圆为背景考查了圆锥曲线与直 线、与向量相结合的知识线、与向量相结合的知识, ,解决这类问题的关键是将解决这类问题的关键是将 向量坐标化向量坐标化, ,然后将题目中的条件转化为坐标之间的然后将题目中的条件转化为坐标之间的 关系关系, ,使问题得以解决使问题得以解决. . OBOAOBOAOP),22,23(POBOAOP. 022 yx变式训练变式训练2 2 已知中心在原点的双曲线已知中心在原点的双曲线C C的一个焦点是的一个焦点是 F F1 1(-3,0),(-3,0),一条渐近线的方程是一条渐近线的方程是5 5x x-2-2y y=0.=0. (1) (1)求双曲线求双曲线C C的方程的方程; ; (2) (2)若以若以k k( (k k0)0)为斜率的直线为斜率的直线l l与双曲线与双曲线C C相交于两相交于两 个不同的点个不同的点MM, ,N N, ,且线段且线段MNMN的垂直平分线与两坐标的垂直平分线与两坐标 轴围成的三角形的面积为轴围成的三角形的面积为 求求k k的取值范围的取值范围. . 解解 (1)(1)设双曲线设双曲线C C的方程为的方程为 ( (a a0,0,b b0).0). 由题设得由题设得 所以双曲线所以双曲线C C的方程为的方程为 ,28112222byax. 5, 4,25, 92222baabba解得. 15422yx(2)(2)设直线设直线l l的方程为的方程为y y= =kxkx+ +m m ( (k k0). 0). 点点MM( (x x1 1, ,y y1 1),),N N( (x x2 2, ,y y2 2) )的坐标满足方程组的坐标满足方程组 将将式代入式代入式式, ,得得 整理得整理得(5-4(5-4k k2 2) )x x2 2-8-8kmxkmx-4-4m m2 2-20=0.-20=0.此方程有两个不等实根此方程有两个不等实根, ,于是于是5-45-4k k2 20,0,且且=(-8=(-8kmkm) )2 2+4(5-4+4(5-4k k2 2)(4)(4m m2 2+20)+20)0,0,整理得整理得m m2 2+5-4+5-4k k2 20. 0. 由根与系数的关系可知线段由根与系数的关系可知线段MNMN的中点坐标的中点坐标( (x x0 0, ,y y0 0) )满满足足. 154,22yxmkxy, 15)(422mkxx.455,45422002210kmmkxykkmxxx从而线段从而线段MNMN的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为此直线与此直线与x x轴、轴、y y轴的交点坐标分别为轴的交点坐标分别为由题设可得由题设可得整理得整理得将上式代入将上式代入式得式得整理得整理得(4(4k k2 2-5)(4-5)(4k k2 2-|-|k k|-5)|-5)0,0,k k0.0.解得解得所以所以k k的取值范围是的取值范围是).454(145522kkmxkkmy).459, 0(),0 ,459(22kmkkm.281|459|459|2122kmkkm. 0,|)45(222kkkm, 045|)45(222kkk.45|25|0kk或).,45()25, 0()0 ,25()45,(题型三题型三 轨迹与最值轨迹与最值【例【例3 3】(2009(2009湖南湖南) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,点点P P到到 点点F F(3,0)(3,0)的距离的的距离的4 4倍与它到直线倍与它到直线x x=2=2的距离的的距离的3 3倍之倍之 和记为和记为d d. .当点当点P P运动时运动时, ,d d恒等于点恒等于点P P的横坐标与的横坐标与1818之之 和和. . (1) (1)求点求点P P的轨迹的轨迹C C； (2)(2)设过点设过点F F的直线的直线l l与轨迹与轨迹C C相交于相交于MM、N N两点两点, ,求线求线 段段MNMN长度的最大值长度的最大值. . 解解 (1)(1)设点设点P P的坐标为的坐标为( (x x, ,y y),), . |2|3)3(422xyxd则由题设由题设, ,d d=18+=18+x x, , 当当x x2 2时时, ,由由得得 化简得化简得 当当x x22时时, ,由由得得 化简得化简得y y2 2=12=12x x. .故点故点P P的轨迹的轨迹C C是由椭圆是由椭圆C C1 1 在直线在直线x x=2=2的右的右侧部分与抛物线侧部分与抛物线C C2 2y y2 2=12=12x x在直线在直线x x=2=2的左侧部分的左侧部分( (包括包括它与直线它与直线x x=2=2的交点的交点) )所组成的曲线所组成的曲线, ,如图如图(1)(1)所示所示. .18|2|3)3(422xxyx即.216)3(22xyx. 1273622yxxyx3)3(22. 1273622yx(2)(2)如图如图(2)(2)所示所示, ,易知直线易知直线x x=2=2与与C C1 1、C C2 2的交点都是的交点都是A A(2, ),(2, ),B B(2, ),(2, ),直线直线AFAF, ,BFBF的斜率分别为的斜率分别为k kAFAF= ,= ,k kBFBF= = 当点当点P P在在C C1 1上时上时, ,由由知知| |PFPF|= |= 当点当点P P在在C C2 2上时，上时，由由知知| |PFPF|=3+|=3+x x. . 若直线若直线l l的斜率的斜率k k存在存在, ,则直线则直线l l的方程的方程y y= =k k( (x x-3).-3).当当k kk kAFAF, ,或或k kk kBFBF, ,即即k k 或或k k 时时, ,直线直线l l与轨迹与轨迹C C的两个交点的两个交点MM( (x x1 1, ,y y1 1),),N N( (x x2 2, ,y y2 2) )都在都在C C1 1上上, ,此时此时由由知知| |MFMF|= |= |NFNF|=|=626262. 62.216x6262,2161x,2162x由由 得得(3+4(3+4k k2 2) )x x2 2-24-24k k2 2x x+36+36k k2 2-108=0.-108=0.则则x x1 1, ,x x2 2是这个方程的两根是这个方程的两根, ,所以所以因为当因为当k k 或或k k 时时, ,k k2 224,24,所以所以当且仅当当且仅当k k= = 时时, ,等号成立等号成立. .).(2112)216()216(|2121xxxxMN, 12736),3(22yxxky.1110042431212431212431212|222kkkMN6262.431212)(2112| ,432422212221kkxxMNkkxx62当当k kAEAEk kk kANAN, ,即或即或 时时, ,直线直线l l与轨迹与轨迹C C的两个交点的两个交点MM( (x x1 1, ,y y1 1),),N N( (x x2 2, ,y y2 2) )分别在分别在C C1 1, ,C C2 2上上, ,不妨不妨设点设点MM在在C C1 1上上, ,点点N N在在C C2 2上上. .则由则由知知,|,|MFMF|= |= |NFNF|=3+|=3+x x2 2, ,设直线设直线AFAF与椭圆与椭圆C C1 1的另一交点为的另一交点为E E( (x x0 0, ,y y0 0),),则则x x0 0 x x1 1, ,x x2 22.2.| |NFNF|=3+|=3+x x2 23+2=|3+2=|AFAF|,|,所以所以| |MNMN|=|=|MFMF|+|+|NFNF| | |EFEF|+|+|AFAF|=|=|AEAE|,|,而点而点A A、E E都在都在C C1 1上上, ,且且k kAEAE= = 6262k,2161x|,|216216|01EFxxMF. 62由由知知| |AEAE|= |= 所以所以| |MNMN| | 若直线若直线l l的斜率不存在的斜率不存在, ,则则x x1 1= =x x2 2=3.=3.此时此时| |MNMN|=12- (|=12- (x x1 1+ +x x2 2)=9)=9综上所述，线段综上所述，线段MNMN长度的最大值为长度的最大值为【探究拓展探究拓展】本小题考查了圆锥曲线的标准方程】本小题考查了圆锥曲线的标准方程, ,轨轨 迹方程以及求最值迹方程以及求最值, ,解析几何中的最值问题、定值问解析几何中的最值问题、定值问 题是近几年高考命题的一大热点，应引起高度重视题是近几年高考命题的一大热点，应引起高度重视. .,11100.11100.1110021.11100变式训练变式训练3 3 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy 中中, ,过定点过定点C C(0,(0,p p) )作直线与抛物线作直线与抛物线 x x2 2=2=2pypy ( (p p0)0)相交于相交于A A, ,B B两点两点. . (1) (1)若点若点N N是点是点C C关于坐标原点关于坐标原点O O的的 对称点对称点, ,求求ANBANB面积的最小值；面积的最小值； (2)(2)是否存在垂直于是否存在垂直于y y轴的直线轴的直线l l, ,使得使得l l被以被以ACAC为直径为直径 的圆截得的弦长恒为定值的圆截得的弦长恒为定值? ?若存在若存在, ,求出求出l l的方程的方程; ;若不若不 存在存在, ,说明理由说明理由. . 解解 (1)(1)依题意依题意, ,点点N N的坐标为的坐标为N N(0,-(0,-p p),), 可设可设A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2),), 直线直线ABAB的方程为的方程为y y= =kxkx+ +p p, ,与与x x2 2=2=2pypy, ,联立得联立得, ,消去消去y y得得x x2 2-2-2pkxpkx-2-2p p2 2=0.=0.由韦达定理得由韦达定理得x x1 1+ +x x2 2=2=2pkpk, ,x x1 1x x2 2=-2=-2p p2 2. .于是于是S SABNABN= =S SBCNBCN+ +S SACNACN= =22p p| |x x1 1- -x x2 2| |当当k k=0=0时时,(,(S SABNABN) )minmin= =(2)(2)假设满足条件的直线假设满足条件的直线l l存在存在, ,其方程为其方程为y y= =a a, ,ACAC的中点为的中点为O O,l l与与ACAC为直径的圆相交于点为直径的圆相交于点P P, ,Q Q, ,PQPQ的中点为的中点为H H, ,则则O OH HPQPQ, ,O O点的坐标为点的坐标为 .,22pkxypyx21,22844)(|222222122121kppkppxxxxpxxp.222p).2,2(11pyx|PHPH| |2 2=|=|O OP P| |2 2-|-|O OH H| |2 2令令 得得 此时此时| |PQPQ|=|=p p为定值，为定值，故存在满足条件的直线故存在满足条件的直线l l, ,其方程为其方程为y y= = 即抛物线的通即抛物线的通径所在的直线径所在的直线. . ).()2(4|)|2(|),()2()2(41)(41122121221apaypaPHPQapaypapyapy|,2|21|2|,21)(21|21|112212121pyapyaHOpypyxACPO, 02pa,2pa ,2p题型四题型四 直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题【例【例4 4】(2009(2009山东山东) )设椭圆设椭圆E E: (: (a a, ,b b0)0) 过点过点MM(2, ),(2, ),N N( ,1)( ,1)两点两点, ,O O为坐标原点为坐标原点. . (1) (1)求椭圆求椭圆E E的方程的方程; ; (2) (2)是否存在圆心在原点的圆是否存在圆心在原点的圆, ,使得该圆的任意一条使得该圆的任意一条 切线与椭圆切线与椭圆E E恒有两个交点恒有两个交点A A, ,B B, ,且且 ? ?若存在若存在, , 写出该圆的方程写出该圆的方程, ,并求并求| |ABAB| |的取值范围的取值范围; ;若不存在若不存在, ,说说 明理由明理由. . 12222byaxOBOA 26解解 (1)(1)将将MM、N N的坐标代入椭圆的坐标代入椭圆E E的方程得的方程得所以椭圆所以椭圆E E的方程为的方程为(2)(2)假设满足题意的圆存在假设满足题意的圆存在, ,其方程为其方程为x x2 2+ +y y2 2= =R R2 2, ,其中其中0 0R R2.2.设该圆的任意一条切线设该圆的任意一条切线ABAB和椭圆和椭圆E E交于交于A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2）两点）两点, ,当直线当直线ABAB的斜率存在时的斜率存在时, ,令直线令直线ABAB的的方程为方程为y y= =kxkx+ +m m, , 将其代入椭圆将其代入椭圆E E的方程并整理得的方程并整理得(2(2k k2 2+1)+1)x x2 2+4+4kmxkmx+2+2m m2 2-8=0.-8=0. . 4, 8. 116, 124222222bababa解得. 14822yx由韦达定理得由韦达定理得 因为因为 所以所以x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2=0. =0. 由由代入代入并整理得并整理得(1+(1+k k2 2) )x x1 1x x2 2+ +kmkm( (x x1 1+ +x x2 2)+)+m m2 2=0.=0.联立联立得得 因为直线因为直线ABAB和圆相切和圆相切, ,因此因此 由由得得 所以存在圆所以存在圆 满足题意满足题意. .当切线当切线ABAB的斜率不存在时的斜率不存在时, ,易得易得.1282,1242221221kmxxkkmxx,OBOA ).1 (3822km,362R3822 yx,382221 xx,1|2kmR由椭圆由椭圆E E的方程得的方程得显然显然 综上所述综上所述, ,存在圆存在圆 满足题意，满足题意，方法一方法一 当切线当切线ABAB的斜率存在时的斜率存在时, ,由由得得 ,382221 yy3822 yx1213211212412824)124(14)(1)(1)()(|2222222222122122212221221kkkkkmkkmkxxxxkxxkyyxxAB当切线当切线ABAB的斜率不存在时的斜率不存在时, ,易得易得| |ABAB|= |= 所以所以 综上所述综上所述, ,存在圆心在原点的圆存在圆心在原点的圆 满足题意满足题意, ,且且 . 32|364,12|332.12)43(364)321 (32|, 121,12122222ABABtttABtkkt即所以因此则令. 32|364 AB,364. 32|364 AB3822 yx方法二方法二 过原点过原点O O作作ODODABAB, ,垂足为垂足为D D, ,则则D D为切点为切点. . 设设OABOAB= ,= ,则则 为锐角为锐角, , . 32|364,)1(362| ,2, 1 ;)1(362| , 1 ,22:,tan. 2tan22,22|2),tan1(tan362|,tan362| ,tan362|ABxxABxxxABxxOAABBDAD所以单调递增时当单调递减时当易证令所以因为所以且变式训练变式训练4 4 如图所示如图所示, ,椭圆椭圆C C的方程的方程 为为 ( (a ab b0),0),A A是椭圆是椭圆 C C的短轴左顶点的短轴左顶点, ,过过A A点作斜率为点作斜率为-1-1 的直线交椭圆于的直线交椭圆于B B点点, ,点点P P(1,0),(1,0),且且 BPBPy y轴轴, ,APBAPB的面积为的面积为 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程; ; (2) (2)在直线在直线ABAB上求一点上求一点MM, ,使得以椭圆使得以椭圆C C的焦点为焦的焦点为焦 点点, ,且过且过MM的双曲线的双曲线E E的实轴最长的实轴最长, ,并求此双曲线并求此双曲线E E的的 方程方程. . 12222bxay.29解解 (1)(1)S SAPBAPB= = APAPPBPB= = 又又PABPAB=45=45, ,APAP= =PBPB, ,故故APAP= =BPBP=3.=3.P P(1,0),(1,0),A A(-2,0),(-2,0),B B(1,-3).(1,-3).b b=2,=2,将将B B(1,-3)(1,-3)代入椭圆方程代入椭圆方程, ,得得 解得解得a a2 2=12,=12,所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为 (2)(2)设椭圆设椭圆C C的焦点为的焦点为F F1 1, ,F F2 2, ,则易知则易知F F1 1(0, ),(0, ),F F2 2(0, ),(0, ),直线直线ABAB的方程为的方程为x x+ +y y+2=0,+2=0,因为因为MM在双曲线在双曲线E E上上, ,要使双要使双曲线曲线E E的实轴最长的实轴最长, ,只需只需|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|最大最大, ,21,29, 191, 222abb. 141222xy2222F F1 1(0, )(0, )关于直线关于直线ABAB的对称点为的对称点为F F1 1( ,( ,-2),-2),直线直线F F2 2F F1 1与直线与直线l l的交点为所求的交点为所求MMF F2 2F F1 1的方程为的方程为 联立联立又又2 2a a=|=|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|=|=|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|F F2 2F F1 1|故故a amaxmax= ,= ,b b= ,= ,故所求双曲线的方程为故所求双曲线的方程为22222, 022)223(xy),3, 1 (, 02, 022)223(Myxxy得,62)222()0222(2226. 12622xy【考题再现】【考题再现】(2009(2009辽宁辽宁) )已知已知, ,椭圆椭圆C C经过点经过点A(A(1, ),1, ),两个焦点为两个焦点为 (-1,0),(1,0).(-1,0),(1,0). (1) (1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程; ; (2) (2)E E、F F是椭圆是椭圆C C上的两个动点上的两个动点, ,如果直线如果直线AEAE的斜率的斜率 与与AFAF的斜率互为相反数的斜率互为相反数, ,证明证明: :直线直线EFEF的斜率为定值的斜率为定值, , 并求出这个定值并求出这个定值. .23【解题示范解题示范】解解 (1)(1)由题意由题意, ,知知c c=1,=1,可设椭圆方程为可设椭圆方程为 因为因为A A在椭圆上在椭圆上, ,所以所以 解得解得b b2 2=3,=3,b b2 2= (= (舍去舍去).).所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为 4 4分分(2)(2)设直线设直线AEAE的方程为的方程为y y= =k k( (x x-1)+ -1)+ 代入代入得得(3+4(3+4k k2 2) )x x2 2+4+4k k(3-2(3-2k k) )x x+4( -+4( -k k) )2 2-12=0.-12=0.设设E E( (x xE E, ,y yE E),),F F( (x xF F, ,y yF F),),因为点因为点A A(1, )(1, )在椭圆上在椭圆上, ,所以所以 8 8分分. 112222bybx, 1491122bb43. 13422yx,23. 13422yx2323.23,4312)23(422kkxykkxEEE又直线又直线AFAF的斜率与的斜率与AEAE的斜率互为相反数的斜率互为相反数, ,在上式中以在上式中以- -k k代代k k, ,可得可得所以直线所以直线EFEF的斜率的斜率即直线即直线EFEF的斜率为定值的斜率为定值, ,其值为其值为 1212分分,23,4312)23(422kkxykkxFFF.212)(EFFEEFEFEFxxkxxkxxyyk.211.1.理解椭圆的定义至关重要理解椭圆的定义至关重要, ,涉及到椭圆上的点到焦涉及到椭圆上的点到焦 点的距离时点的距离时, ,应首先联想到定义应首先联想到定义, ,椭圆的问题都是由椭圆的问题都是由 a a, ,b b, ,c c, ,e e四个参数决定的四个参数决定的, ,其关系链为其关系链为 a a2 2= =b b2 2+ +c c2 2, , 几何性质几何性质, ,在椭圆上一点在椭圆上一点P P与两焦点与两焦点 F F1 1、F F2 2, ,连结连结PFPF1 1、PFPF2 2, ,若若F F1 1PFPF2 2= ,= ,则则PFPF1 1F F2 2的的 面积为面积为 若若A A1 1、A A2 2是椭圆的左、右顶是椭圆的左、右顶 点点, ,则则221abace.2tan221bSFPF.2221abkkPAPA2.2.求轨迹的基本方法求轨迹的基本方法: :求动点的轨迹方程是一个综合求动点的轨迹方程是一个综合 性的课题性的课题, ,渗透性强、牵涉的知识面宽渗透性强、牵涉的知识面宽, ,其实质是将其实质是将 “ “形形”转化为转化为“数数”, ,将将“曲线曲线”转化为转化为“方程方程”, , 数、形结合体现数、形结合体现“转化转化”的数学思想的数学思想. .根据动点不同根据动点不同 的运动性质和规律的运动性质和规律, ,常用的解题方法有以下几种常用的解题方法有以下几种: : 直译法直译法定义法定义法( (基本轨迹法基本轨迹法) )代点法代点法( (动点转移动点转移 法法, ,相关点代入法相关点代入法) )参数法参数法. .3.3.求解最值常用的几种方法求解最值常用的几种方法: :利用圆锥曲线的定义利用圆锥曲线的定义 求最大求最大( (小小) )值值; ;利用二次函数求最值利用二次函数求最值; ;利用基本利用基本 不等式求最值不等式求最值; ;构造函数利用函数的单调性求最构造函数利用函数的单调性求最 值值; ;构造图形利用数形结合的方法求最值构造图形利用数形结合的方法求最值; ;三角三角 换元利用三角函数的有界性求最值换元利用三角函数的有界性求最值. .4.4.若方程组消元后若方程组消元后, ,得到一个一元二次方程得到一个一元二次方程, ,则根据判则根据判 别式别式“”的符号来讨论的符号来讨论, ,若若0,0,则直线与圆锥则直线与圆锥 曲线相交曲线相交, ,有两个交点有两个交点; ;若若=0,=0,则直线与圆锥曲线则直线与圆锥曲线 相切相切, ,有一个公共点有一个公共点; ;若若0,0,则直线与圆锥曲线则直线与圆锥曲线 相离，没有公共点相离，没有公共点. .5.5.若方程组消元后若方程组消元后, ,得到一个一元一次方程得到一个一元一次方程, ,则直线与则直线与 圆锥曲线有一个交点圆锥曲线有一个交点. .特别提醒直线与二次曲线仅有特别提醒直线与二次曲线仅有 一个交点时一个交点时, ,未必相切未必相切, ,如与抛物线对称轴平行的直如与抛物线对称轴平行的直 线线, ,与双曲线的渐近线的直线与双曲线的渐近线的直线, ,它们都只有一个交点它们都只有一个交点, , 但是不相切但是不相切, ,而是相交而是相交. . 6.6.涉及圆锥曲线的弦长涉及圆锥曲线的弦长, ,一般是用弦长公式结合韦达一般是用弦长公式结合韦达 定理解决定理解决, ,若是过焦点的弦利用圆锥曲线的定义解题若是过焦点的弦利用圆锥曲线的定义解题 较为方便较为方便, ,弦长公式弦长公式7.7.解决弦中点问题常用两种方法解决弦中点问题常用两种方法: :利用韦达定理利用韦达定理, ,及及 中点坐标公式构造中点坐标公式构造; ;利用端点在曲线上利用端点在曲线上, ,坐标满足坐标满足 方程方程, ,作差构造出中点坐标和斜率关系即作差构造出中点坐标和斜率关系即“点差法点差法”. .8.“8.“设而不求设而不求”的方法的方法: :若直线若直线l l与圆锥曲线有两个交与圆锥曲线有两个交 点点A A, ,B B, ,一般地一般地, ,首先设出交点坐标首先设出交点坐标A A( (x x1 1, ,y y1 1) ), ,B B( (x x2 2, ,y y2 2),), 其中有四个参数其中有四个参数x x1 1, ,y y1 1, ,x x2 2, ,y y2 2, ,它们只是过渡性符号它们只是过渡性符号, ,通通 常情况下不需要求出来常情况下不需要求出来, ,但有利于用韦达定理解决问但有利于用韦达定理解决问. |11|1|212212yykxxkAB题题, ,是直线与圆锥曲线位置关系中常用方法是直线与圆锥曲线位置关系中常用方法. .巧取特殊巧取特殊位置法位置法: :动点、动弦、动直线、动角、动轨迹常常是动点、动弦、动直线、动角、动轨迹常常是圆锥曲线问题中出现的动态图形圆锥曲线问题中出现的动态图形, ,利用这些动态图形利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助迅速解决选择题、填空题的特殊位置往往能帮助迅速解决选择题、填空题. .一、选择题一、选择题1.(20091.(2009天津天津) )设双曲线设双曲线 ( (a a0,0,b b0)0)的虚的虚 轴长为轴长为2,2,焦距为焦距为 则双曲线的渐近线方程为则双曲线的渐近线方程为 ( )( ) A. A. B.B.y y= =2 2x x C. C. D. D. 解析解析 由题意知由题意知,2,2b b=2,2=2,2c c= = 则则b b=1,=1,c c= = a a= = 双双 曲线的渐近线方程为曲线的渐近线方程为12222byax, 32, 32xy22xy21.22xyC Cxy2, 3,22.(20092.(2009山东山东) )设斜率为设斜率为2 2的直线的直线l l过抛物线过抛物线y y2 2= =axax( (a a 0) 0)的焦点的焦点F F, ,且和且和y y轴交于点轴交于点A A, ,若若OAFOAF( (O O为坐标原为坐标原 点点) )的面积为的面积为4,4,则抛物线方程为则抛物线方程为 ( )( ) A. A.y y2 2= =4 4x x B.B.y y2 2= =8 8x x C. C.y y2 2=4=4x x D.D.y y2 2=8=8x x 解析解析 y y2 2= =axax的焦点坐标为的焦点坐标为 过焦点且斜率为过焦点且斜率为2 2的的 直线方程为直线方程为 令令x x=0=0得得: : a a2 2=64,=64,a a= =8.8.),0 ,4(a),4(2axy.2ay, 42|4|21aaB B3.(20093.(2009全国全国)设双曲线设双曲线 ( (a a0,0,b b0)0)的的 渐近线与抛物线渐近线与抛物线y y= =x x2 2+1+1相切相切, ,则该双曲线的离心率等则该双曲线的离心率等 于于 ( )( ) A. B.2 C. D. A. B.2 C. D. 解析解析 双曲线双曲线 的渐近线方程为的渐近线方程为 因因 为为y y= =x x2 2+1+1与渐近线相切与渐近线相切, ,故故 只有一个实只有一个实 根根, ,12222byax12222byax, xaby012xabx. 5, 5, 4, 042222222eacaacabC C3564.(20084.(2008山东山东) )设椭圆设椭圆C C1 1的离心率为的离心率为 焦点在焦点在x x轴上轴上 且长轴长为且长轴长为26.26.若曲线若曲线C C2 2上的点到椭圆上的点到椭圆C C1 1的两个焦点的两个焦点 的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于8,8,则曲线则曲线C C2 2的标准方程为的标准方程为 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 由题意知由题意知2 2a a=26,=26,a a=13,=13,e e= = c c=5,=5,C C2 2为双为双 曲线曲线,2,2a a=8,=8,a a=4,=4,双曲线的焦点与椭圆的焦点双曲线的焦点与椭圆的焦点 相同相同, ,故故c c=5,=5,b b=3.=3.故其方程为故其方程为,135,1351342222yx15132222yx1432222yx112132222yx. 1342222yxA A5.(20095.(2009全国全国)已知直线已知直线y y= =k k( (x x+2) (+2) (k k0)0)与抛物线与抛物线 C C: :y y2 2=8=8x x相交相交A A, ,B B两点两点, ,F F为为C C的焦点的焦点. .若若| |FAFA|=2|=2|FBFB|,|, 则则k k的值为的值为 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由由| |FAFA|=2|=2|FBFB| |及定义知及定义知x xA A+2=2(+2=2(x xB B+2)+2)联立方联立方 程用根与系数关系可求程用根与系数关系可求 313232322.322kD D6.6.设设F F1 1, ,F F2 2是椭圆是椭圆 的左、右焦点的左、右焦点, ,过椭圆中过椭圆中 心任作一直线与椭圆交于心任作一直线与椭圆交于P P, ,Q Q两点两点, ,当四边形当四边形PFPF1 1QFQF2 2 面积最大时面积最大时, , 的值等于的值等于 ( )( ) A.0 B.1 C.2 D.4 A.0 B.1 C.2 D.4 解析解析 由题意可知由题意可知| |F F1 1F F2 2|=2,|=2, 因当四边形因当四边形PFPF1 1QFQF2 2面积最大面积最大 时时, ,P P, ,Q Q两点分别位于短轴两端点两点分别位于短轴两端点, ,由对称性不妨设由对称性不妨设 P P(0, ),(0, ),又又F F1 1(-1,0),(-1,0),F F2 2(1,0),(1,0),则则 13422yx21PFPF ,212121FQFFPFQFPFSSS. 231)3, 1 ()3, 1(),3, 1 (),3, 1(2121PFPFPFPF所以C C3二、填空题二、填空题7.(20097.(2009上海上海) )已知已知F F1 1、F F2 2是椭圆是椭圆C C: (: (a ab b 0)0)的两个焦点的两个焦点, ,P P为椭圆为椭圆C C上的一点上的一点, ,且且 若若 PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为9,9,则则b b=_.=_. 解析解析 由题意由题意,得得 解得解得a a2 2- -c c2 2=9,=9,即即b b2 2=9,=9,所以所以b b=3. =3. 12222byax,2|,)2(|, 9|21212222121aPFPFcPFPFPFPF3 3.21PFPF 8.(20098.(2009海南海南) )已知抛物线已知抛物线C C的顶点坐标为原点的顶点坐标为原点, ,焦点焦点 在在x x轴上轴上, ,直线直线y y= =x x与抛物线与抛物线C C交于交于A A, ,B B两点两点, ,若若P P(2,2)(2,2) 为为ABAB的中点的中点, ,则抛物线则抛物线C C的方程为的方程为_._. 解析解析 设抛物线方程为设抛物线方程为y y2 2= =axax, ,将将y y= =x x代入代入y y2 2= =axax, ,得得x x=0=0 或或x x= =a a, , a a=4.=4.抛物线方程为抛物线方程为y y2 2=4=4x x. .9.9.已知椭圆已知椭圆 则则m m=2=2x x- -y y的值域为的值域为_. _. 解析解析 由题意可设由题意可设, ,x x=2cos ,=2cos ,y y=3sin=3sin 即即(2(2x x- -y y) )maxmax=5,(2=5,(2x x- -y y) )minmin=-5. =-5. y y2 2=4=4x x. 22a-5,5-5,5, 19422yx),2 , 0(),43)(tancos(5sin3cos42yx所以10.10.已知已知A A(0,7),(0,7),B B(0,-7),(0,-7),C C(12,2),(12,2),以以C C为一个焦点作为一个焦点作 过过A A, ,B B的椭圆的椭圆, ,则该椭圆另一个焦点则该椭圆另一个焦点F F的轨迹方程是的轨迹方程是 _._. 解析解析 由题意知由题意知,|,|ACAC|+|+|AFAF|=|= | |BCBC|+|+|BFBF| |等于椭圆的长轴长等于椭圆的长轴长, , 所以所以| |AFAF|-|-|BFBF|=|=|BCBC|-|-|ACAC|=|= 15-13=2 15-13=214=|14=|ABAB|,|,所以点所以点F F的的 轨迹是以轨迹是以A A, ,B B为焦点为焦点, ,实轴长为实轴长为2 2的双曲线的下支的双曲线的下支, ,且且 c c=7,=7,a a=1,=1,所以所以b b2 2=48,=48,其方程为其方程为 ).1( 14822yxy) 1( 14822yxy三、解答题三、解答题11.(200911.(2009浙江浙江) )已知抛物线已知抛物线C C: :x x2 2=2=2pypy ( (p p0)0)上一点上一点A A( (m m,4),4)到其焦点的距离到其焦点的距离 为为 (1)(1)求求p p与与m m的值的值; ; (2) (2)抛物线抛物线C C上一点上一点P P的横坐标为的横坐标为t t( (t t0)0)过过P P的直线交的直线交 C C于另一点于另一点Q Q, ,交交x x轴于点轴于点MM, ,过点过点Q Q作作PQPQ的垂线交的垂线交C C于于 另一点另一点N N, ,若若MNMN是是C C的切线的切线, ,求求t t的最小值的最小值. . 解解 (1)(1)由抛物线的定义由抛物线的定义, , 又又m m2 2=8=8p p, ,所以所以p p= = m m= =2. 2. .417.417)2(4p得,21(2)(2)由由p p= = 得抛物线的方程为得抛物线的方程为y y= =x x2 2. .由题意可知由题意可知, ,直线直线PQPQ的斜率存在且不为的斜率存在且不为0,0,设直线设直线PQPQ的方程为的方程为: :y y- -t t2 2= =k k( (x x- -t t)()(k k0),0),令令y y=0,=0,得得解方程组解方程组由由NQNQPQPQ, ,得直线得直线NQNQ的方程为的方程为y y-(-(k k- -t t) )2 2= (= (x x+ +t t- -k k),),解方程组解方程组,21)0 ,(2kttM).)( ,(,),(222tktkQxytxkty得k1得22),(1)(xyktxktky于是抛物线于是抛物线C C在点在点N N处的切线方程为处的切线方程为 将点将点MM的坐标代入式的坐标代入式, ,得得 ).1)(1(2)1(2tkkxkktkkty, 021,012121, 0, 01,01. 0)21)(1(22kttkkkktkkkktkkktkktkttkkkkt得由式时当此时故时当)1( ,1(2kktkktN即即k k2 2+ +tk tk+1-2+1-2t t2 2=0,=0,此时此时,=9,=9t t2 2-40.-40.因为因为t t0,0,所以所以t t Q Q(-1,1),(-1,1),N N(4,16).(4,16).符合题符合题意意. .综上综上, ,t t的最小值为的最小值为 .32),94,32(,31,32Pkt时当.3212.(200912.(2009天津天津) )已知椭圆已知椭圆 ( (a ab b0)0)的两的两 个焦点分别为个焦点分别为F F1 1(-(-c c,0),0)、F F2 2( (c c,0) (,0) (c c0),0),过点过点 的直线与椭圆相交于的直线与椭圆相交于A A, ,B B两点两点, ,且且F F1 1A