数学第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第七章不等式基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线，以表示区域 边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应 边界直线，则把边界直线画成 .(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都 ，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的 即可断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域.知识梳理平面区域不包括包括实线相同符号名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的 不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求 或 的函数线性目标函数关于x，y的 解析式可行解满足 的解可行域所有 组成的集合最优解使目标函数取得 或 的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题2.线性规划相关概念线性规划相关概念一次最大值最小值一次线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值3.重要结论重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方.( )(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.( )题组一思考题组一思考辨析辨析基础自测124563(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示.( )(5)线性目标函数的最优解是唯一的.( )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( )(7)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距.( )124563题组二教材改编题组二教材改编12456解析3答案解析解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.12456答案解析3.P91T2投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)3124563解析解析用表格列出各数据所以不难看出，x0，y0,200 x300y1 400,200 x100y900.AB总数产品吨数xy 资金200 x300y1 400场地200 x100y900题组三易错自纠题组三易错自纠4.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是 A.(0,0) B.(1,1)C.(1,3) D.(2，3)解析12456答案3解析解析把各点的坐标代入可得(1,3)不适合，故选C.12456答案3解析解析作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，解析由图知直线m2xy经过点A(1,2)时，m取得最大值，解析12456答案31解析解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线zaxy和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，akAB1，a1.题型分类深度剖析命题点命题点1不含参数的平面区域问题不含参数的平面区域问题典例典例 (2017黄冈模拟)在平面直角坐标系中，已知平面区域A(x，y)|xy1，且x0，y0，则平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积为 题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域多维探究多维探究解析答案解析解析对于集合B，令mxy，nxy，解析答案由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3).故选D.(1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 (1)不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的 解析解析解析由(x2y1)(xy3)0，答案解析解析由于x1与xy40不可能垂直，所以只有可能xy40与kxy0垂直或x1与kxy0垂直.当xy40与kxy0垂直时，k1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求.当x1与kxy0垂直时，k0，检验不符合要求.解析答案解析题型二求目标函数的最值问题多维探究多维探究答案解析解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.将目标函数z2xy化为y2xz，作出直线y2x，并平移该直线知，当直线y2xz经过点A(6，3)时，z有最小值，且zmin2(6)315.故选A. 解析答案x2y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x3，y1时，x2y2取得最大值，最大值为10.故选C.解析答案解析解析对于选项A，当m2时，可行域如图(1)，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；对于选项B，当m1时，mxy0等同于xy0，可行域如图(2)，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；对于选项C，当m1时，可行域如图(3)，当直线y2xz过点A(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；对于选项D，当m2时，可行域如图(4)，直线y2xz与直线OB平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确.故选C.(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有思维升华思维升华(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.解析答案解析答案解析解析根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示.由zaxy，得yaxz，直线的斜率ka.当0k1，即1a1，即a1时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此时z0，不合题意；当1k0，即0a1时，无选项满足此范围；当k1时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时z2a04，得a2.解答题型三线性规划的实际应用问题师生共研师生共研典例典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；解解依题意每天生产的伞兵个数为100 xy，所以利润5x6y3(100 xy)2x3y300.解答(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？目标函数为2x3y300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，最优解为A(50,50)，此时max550元.故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验：根据结果，检验反馈.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 (2016全国)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元.答案216 000解析解析解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z2 100 x900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元).线性规划是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有三类：目标函数是线性的；目标函数是非线性的；已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题.线性规划问题高频小考点高频小考点答案解析考点分析解析解析由约束条件作出可行域如图(阴影部分)所示，平移该直线，易知经过点A时z最小.又知点A的坐标为(3,0)，zmin23506.故选B.课时作业1.下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是 基础保分练12345678910111213141516解析解析将原点坐标(0,0)代入2xy2，得20，于是2xy20所表示的平面区域在直线2xy20的右下方，结合所给图形可知C正确.解析答案答案12345678910111213141516解析解析画出可行域，如图中阴影所示.解析由目标函数zxy，结合图象易知yxz过(0,3)点时z取得最大值，即zmax033.故选D.答案12345678910111213141516解析12345678910111213141516解析解析由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示.直线2xy100恰过点A(5,0)，且其斜率k2kAB ，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5,0).解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A点纵坐标yA1m，m1或m3，又当m3时，不满足题意，应舍去，m1.5.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 A.1 800元 B.2 400元C.2 800元 D.3 100元解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，设获利z元，则z300 x400y.画出可行域如图阴影部分.画出直线l：300 x400y0，即3x4y0.平移直线l，从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值.zmax300440042 800(元).故选C.解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，解析12345678910111213141516解析解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，答案即4a2时，仅在点(1,0)处取得最小值，故选B.12345678910111213141516解析解析解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)， 答案412345678910111213141516答案1解析12345678910111213141516表示的可行域如图阴影部分所示.由z3x4y，A(1,1).zmin341.解析12345678910111213141516答案312345678910111213141516解析解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数z2xy过点C(1，1)时，z2xy取得最大值3.12345678910111213141516解析答案112345678910111213141516当直线xm从如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值.m的最大值为1.12345678910111213141516解析答案1,412345678910111213141516则m2n2表示区域上的点到原点的距离的平方，所以1m2n24.技能提升练12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析解析作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知，当点(x，y)与点P的连线与圆x2y2r2相切时斜率最小.设切线方程为y2k(x3)，解析12345678910111213141516答案12345678910111213141516解析解析首先根据已知约束条件画出其所在的平面区域，如图阴影部分所示.所以令z2(x2y)2(xy)x3y，最后根据图形可得在点B处取得最大值，即zmax(2)max1325.拓展冲刺练12345678910111213141516解析答案如图中阴影部分所示，其中B(1，1)，C(0,1).12345678910111213141516由图可知AOCAOB，12345678910111213141516如图中阴影部分所示，其中B(1，1)，C(0,1)，设POx，1234567891011121314151612345678910111213141516答案解析12345678910111213141516设此时切点为P(x0，y0)，12345678910111213141516