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第三章1 知识网络 系统盘点，提炼主干2 要点归纳 整合要点，诠释疑点3 题型研修 突破重点，提升能力章末复习提升2.曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线yf(x)在P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为xx0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f(x0).3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.4.判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件.5.利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的.(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号.6.求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间a，b上连续的函数 f(x)，在a，b上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)x3，x(1,1).(2)求函数最值的步骤一般地，求函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值及端点处的函数值f(a)，f(b)；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.7.应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个极值点x0，则 f(x0)是函数的最值.题型一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题.例例1已知函数 f(x)xaln x(aR).(1)当a2时，求曲线yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；f(1)1，f(1)1, yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1), 即xy20.(2)求函数f(x)的极值.当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa; x(0，a)时，f(x)0 f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.跟踪演练跟踪演练1点P(2,0)是函数 f(x)x3ax与 g(x)bx2c的图象的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值.解解因为点P(2,0)是函数 f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，所以232a04bc0由得a4.所以f(x)x34x.又因为两条曲线在点P处有相同的切线，所以 f(2)g(2)，而由 f(x)3x24得到f(2)8，由g(x)2bx得到g(2)4b，所以84b，即b2，代入得到c8.综上所述，a4，b2，c8.题型二应用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内单调递减.例例2已知函数 f(x)x a(2ln x)，a0.讨论f(x)的单调性.解解由题知，f(x)的定义域是(0，)，设 g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式 a28.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值跟踪演练跟踪演练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)(x3)ex，x(0，)；解解 f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，又x(0，)，所以函数的单调增区间(2，)，函数的单调减区间(0,2)，当ax2，当a0时，f(x)3x20，函数f(x)的单调区间为(，)，即f(x)在R上是递增的.a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，).题型三利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f(x)0的根；(3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.特别地，当f(x)在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处 f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值， 这里(a，b)也可以是(，).因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0；当x(2，)，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，则a4.(2)求f(x)的单调区间；所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，).所以g(x)在x(1，)上为增函数，跟踪演练跟踪演练3已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行.(1)求函数f(x)的解析式；解解因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；解解由f(x)x33x22得，f(x)3x26x.由f(x)0得，x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上 f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x) 0 f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.又f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以 f(x)maxf(0)2.综上可知，在区间0，t(0t3)上f(x)max2，(3)在(1)的结论下，关于x的方程 f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.解解令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2).在x1,2)上，g(x)0.g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，解得2c0.即c的取值范围为(2,0.题型四导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)在(，a)和(3a，)上是减函数，在(a,3a)上是增函数.当xa时，f(x)取得极小值，当x3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值f(3a)b.(2)若当xa1，a2时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围；解解 f(x)x24ax3a2，其对称轴为x2a.因为0a1，所以2aa1.所以 f(x)在区间a1，a2上是减函数.当xa1时，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；当xa2时，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.又因为0a1，f(x)0在1,3上恒有两个相异实根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，则f(x)x24.因为x2,1，所以 f(x)0，即函数f(x)在区间2,1上单调递减.课堂小结1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围.这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围.2.在解决问题的过程中要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f(x)0(或f(x)0)，且f(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可.
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