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第三章导数及其应用章末复习课1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函 数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的 极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一在xx0处的导数斜率知识点二导函数当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的 (简称 )，f(x)y .导函数导数知识点三基本初等函数的导数公式原函数导函数yC(C为常数)y_yxu(uQ*)y_ysin xy_ycos xy_yaxy (a0，a1)0uxu1cos xsin xaxln ayexy_ylogaxy (a0且a1，x0)yln xy_ex知识点四导数的运算法则和差的导数f(x)g(x)_积的导数f(x)g(x)_商的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)知识点五函数的单调性、极值与导数1.函数的单调性与导数如果在(a，b)内， ，则f(x)在此区间内单调递增； ，则f(x)在此区间内单调递减.2.函数的极值与导数已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极大值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.f(x)0f(x)0f(x)f(x0)极小值知识点六求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤1.求f(x)在开区间(a，b)内所有 .2.计算函数f(x)在极值点和 ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.极值点端点的函数值题型探究类型一导数几何意义的应用解答例例1已知函数f(x)xaln x(aR).(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；f(1)1，f(1)1, yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1), 即xy20.(2)求函数f(x)的极值.解答当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa.当x(0，a)时，f(x)0，f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；解答因为f(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由.解答因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线yg(x)相切的直线方程.当x01时，g(1)12，g(1)21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y12x9；当x01时，g(1)0，g(1)9，切点坐标为(1,9)，所以切线方程为y9.下面求曲线yf(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.当x0时，f(0)11，此时切线方程为y12x11；当x1时，f(1)2，此时切线方程为y12x10.所以y12x9不是公切线.由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.当x1时，f(1)18，此时切线方程为y18；当x2时，f(2)9，此时切线方程为y9，所以y9是公切线.综上所述，当k0时，y9是两曲线的公切线.类型二函数的单调性与导数解答由f(x)0，得x2，由f(x)2.故f(x)的单调递增区间为(，2)，单调递减区间为(2，).解答反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.(4)求参数的范围时常用到分离参数法.跟踪训练跟踪训练2已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；解答求导得f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立.即3x2a0在R上恒成立，即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上单调递增，符合题意.所以a的取值范围是(，0.(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立.即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0；所以f(x)在区间3,1上的最大值为13.反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负.(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.解答(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解答令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去.当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数.所以函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.类型四分类讨论思想解答函数f(x)的定义域是(0，).令f(x)0，得1ln x0，所以xe.所以函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减.(2)设m0，求f(x)在m,2m上的最大值；解答由(1)知函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减，f(x)在m,2m上单调递增，当me时，f(x)在m,2m上单调递减.当mx0，当ex2m时，f(x)3，a3x20，即f(x)0.f(x)在(0,1上单调递增.(2)若a3，试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论；解答(3)是否存在a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值1?解答当a3时，f(x)在(0,1上单调递增，f(x)maxf(1)a11.a2与a3矛盾.当0a3时，令f(x)a3x20，当a0时，f(x)a3x20，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值为 .答案解析12345解答12345(2)求函数f(x)的极值.解答当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数.故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，无极大值.规律与方法1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0).明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点.2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.本课结束
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