学案15 点、直线、平面之间的位置关系

1.1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解四个理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解四个 公理及等角定理可作为理论依据公理及等角定理可作为理论依据. .2 2. .以立以立体几何的定义体几何的定义、公理和定理为出发点公理和定理为出发点, ,认识和理认识和理 解空间中线解空间中线、面平行面平行、垂直的有关性质与判定定理垂直的有关性质与判定定理. .3.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图 形的位置关系的简单命题形的位置关系的简单命题. . 学案学案15 15 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 1.(20091.(2009湖南湖南) )平行六面体平行六面体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,既与既与 ABAB共面也与共面也与CCCC1 1共面的棱的条数为共面的棱的条数为 ( )( ) A.3 B.4 C.5 D.6 A.3 B.4 C.5 D.6 解析解析 如图所示如图所示, ,用列举法知用列举法知 符合要求的棱为符合要求的棱为 BCBC、CDCD、C C1 1D D1 1、BBBB1 1、AAAA1 1. . C C2.(20092.(2009湖南湖南) )正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱上到异的棱上到异 面直线面直线ABAB、CCCC1 1的距离相等的点的个数为的距离相等的点的个数为 ( )( ) A.2 B.3 C.4 D.5 A.2 B.3 C.4 D.5 解析解析 如图所示如图所示, ,棱棱BCBC的中点的中点MM 到异面直线到异面直线ABAB、CCCC1 1的距离都等的距离都等 于棱长的一半于棱长的一半, ,点点D D、B B1 1到异面直到异面直 线线ABAB、CCCC1 1的距离都等于棱长的距离都等于棱长, ,棱棱 A A1 1D D1 1的中点到异面直线的中点到异面直线ABAB、CCCC1 1 的距离都等于棱长的的距离都等于棱长的 倍倍. . 25C C3.3.平面平面 平面平面 的一个充分条件是的一个充分条件是 ( )( ) A. A.存在一条直线存在一条直线a a, , B. B.存在一条直线存在一条直线a a, , C. C.存在两条平行直线存在两条平行直线a a, ,b b, , D. D.存在两条异面直线存在两条异面直线a a, ,b b, , 解析解析 故排故排 除除A.A. 故排除故排除B.B. 故故 排除排除C. C. /,/aa/,aa /,/,baba/,/,baba,/,/,/,aaaalal若,/,/,alaal则若,/,/,/,/,balbblaal则若D D4.4.已知两条直线已知两条直线m m, ,n n, ,两个平面两个平面 给出下面四个命给出下面四个命 题题: : 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是 ( )( ) A. A. B. B. C. C. D. D. 解析解析 中中, ,m m, ,n n有可能是异面直线有可能是异面直线; ;中中, ,n n有可能在有可能在 上上, ,都不对都不对, ,故选故选C. C. nmnm,/,/nmnmnmnm/,/nmnm,/,/C C,题型一题型一 空间点、线、平面之间的位置关系空间点、线、平面之间的位置关系【例【例1 1】如图所示】如图所示, ,平面平面ABEFABEF平平 面面ABCDABCD, ,四边形四边形ABEFABEF与与ABCDABCD都都 是直角梯形是直角梯形,BADBAD=FABFAB=90=90, , G G, ,H H分别为分别为 FAFA, ,FDFD的中点的中点. . (1) (1)证明证明: :四边形四边形BCHGBCHG是平行四边形；是平行四边形； (2)(2)C C, ,D D, ,F F, ,E E四点是否共面四点是否共面? ?为什么为什么? ? (3) (3)设设ABAB= =BEBE, ,证明证明: :平面平面ADEADE平面平面CDECDE. . ,21/,21/AFBEADBC方法一方法一 (1)(1)证明证明 由题意知由题意知, ,FGFG= =GAGA, ,FHFH= =HDHD, ,所以所以 所以四边形所以四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形. . (2)(2)解解 C C, ,D D, ,F F, ,E E四点共面四点共面. .理由如下：理由如下： G G是是FAFA的中点知的中点知, , 所以所以EFEFBGBG. .由由(1)(1)知知BGBGCHCH, ,所以所以EFEFCHCH, ,故故ECEC, ,FHFH共面共面. .又点又点D D在直线在直线FHFH上上. .所以所以C C, ,D D, ,F F, ,E E四点共面四点共面. . ,21/AFBE由,/GFBE,/,21/,21/BCGHADBCADGH又(3)(3)证明证明 连接连接ECEC, ,由由ABAB= =BEBE, , 及及BAGBAG=90=90知知ABEGABEG是正方形是正方形. .故故BGBGEAEA. .由题设知由题设知FAFA, ,ADAD, ,ABAB两两垂直两两垂直, ,故故ADAD平平面面FABEFABE, ,因此因此EAEA是是EDED在平面在平面FABEFABE内的射影，内的射影，根据三垂线定理根据三垂线定理, ,BGBGEDED. .又又EDEDEAEA= =E E, ,所以所以BGBG平面平面ADEADE. .由由(1)(1)知知CHCHBGBG, ,所以所以CHCH平面平面ADEADE. .由由(2)(2)知知CHCH平面平面CDECDE, ,得平面得平面ADEADE平面平面CDECDE. . AGBE/方法二方法二 由题设知由题设知FAFA, ,ABAB, ,ADAD两两两互相垂直两互相垂直, ,如图如图, ,以以A A为坐标原为坐标原点点, ,以射线以射线ABAB为为x x轴正方向轴正方向, ,以射以射线线ADAD为为y y轴正方向轴正方向, ,以射线以射线AFAF为为z z轴正方向轴正方向, ,建立直角坐标系建立直角坐标系A Axyzxyz. .(1)(1)证明证明 设设ABAB= =a a, ,BCBC= =b b, ,BEBE= =c c, ,则由题设得则由题设得A A(0,0,0),(0,0,0),B B( (a a,0,0),0,0),C C( (a a, ,b b,0),0),D D(0,2(0,2b b,0),0),E E( (a a,0,0,c c),),G G(0,0,(0,0,c c),),H H(0,(0,b b, ,c c).).所以所以 =(0,=(0,b b,0),0), =(0,=(0,b b,0),0),于是于是又点又点G G不在直线不在直线BCBC上，上，所以四边形所以四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形. .(2)(2)解解 C C, ,D D, ,F F, ,E E四点共面四点共面. .理由如下：理由如下：由题设知由题设知F F(0,0,2(0,0,2c c),),所以所以 =(-=(-a a,0,0,c c), =(-), =(-a a,0,0,c c),), 又又C CEFEF, ,H HFDFD, ,故故C C, ,D D, ,E E, ,F F四点共面四点共面. . GHBC.BCGH EFCH,CHEF (3) (3)证明证明 由由ABAB= =BEBE, ,得得c c= =a a, ,所以所以 =(-=(-a a,0,0,a a),), =( =(a a,0,0,a a),),又又 =(0,2=(0,2b b,0),0), 因此因此 即即CHCHAEAE, ,CHCHADAD. . 又又ADADAEAE= =A A, ,所以所以CHCH平面平面ADEADE. . 故由故由CHCH平面平面CDFECDFE, ,得平面得平面ADEADE平面平面CDECDE. .【探究拓展探究拓展】要证明四边形】要证明四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形, ,只要只要 证明证明 即可即可; ;要证明要证明C C, ,D D, ,E E, ,F F共面共面, , 可通过证明四边形可通过证明四边形CDEFCDEF中至少有一组对边平行或两中至少有一组对边平行或两 边的延长线相交即可边的延长线相交即可; ;要证明面面垂直通常转化成为要证明面面垂直通常转化成为 证明线面垂直证明线面垂直. . CHAEAD, 0, 0ADCHAECHHCGBBCGH/,/或变式训练变式训练1 1 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,E E、F F分别分别 为棱为棱AAAA1 1、CCCC1 1的中点的中点, ,则在空间中与三条直线则在空间中与三条直线A A1 1D D1 1、 EFEF、CDCD都相交的直线都相交的直线 ( )( ) A. A.不存在不存在 B.B.有且只有两条有且只有两条 C.C.有且只有三条有且只有三条 D.D.有无数条有无数条 解析解析 如图所示如图所示, ,在平面在平面ADDADD1 1 A A1 1内延长内延长DEDE与与D D1 1A A1 1的的 延长线相交于一点延长线相交于一点H H, ,则则DHDH为为 所求直线所求直线, ,在平面在平面DCCDCC1 1D D1 1内延内延 长长D D1 1F F与与DCDC的延长线相交于点的延长线相交于点 G G, ,则则D D1 1G G为满足条件的直线为满足条件的直线. .取取EFEF的中点的中点O O, ,则则A A1 1C C一定经过一定经过O O, ,这样就找到了满足条这样就找到了满足条件的三条直线件的三条直线. .若取若取DCDC的中点的中点K K, ,OEOE的中点的中点MM, ,A A1 1H H的中点的中点N N, ,则则K K、MM、N N三点共线三点共线. .下面证明这个结论下面证明这个结论: :以以D D1 1为坐标原点建立如图所示的为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系, ,设正方体的棱长为设正方体的棱长为2.2.则则K K(0,1,2),(0,1,2),E E(2,0,1),(2,0,1),O O(1,1,1),(1,1,1),N N(3,0,0). (3,0,0). MM是是OEOE的中点，的中点，).1 ,21,23(M,21414149|,14213|222KMKN|KNKN|=|=|KMKM|+|+|MNMN|.|.K K、MM、N N三点共线三点共线, ,即直线即直线KNKN满足条件满足条件. .这已找到了四条满足题意的直线这已找到了四条满足题意的直线, ,同理还可以找到更同理还可以找到更多与三条直线多与三条直线A A1 1D D1 1、DCDC、EFEF相交的直线相交的直线. .答案答案 D D ,21414149|MN题型二题型二 线线、线面位置关系线线、线面位置关系【例【例2 2】(2009(2009江苏江苏) )如图如图, ,在直在直 三棱柱三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中中E E、F F分分 别是别是A A1 1B B、A A1 1C C的中点的中点, ,点点D D在在 B B1 1C C1 1上上, ,A A1 1D DB B1 1C C. . 求证求证:(1):(1)EFEF平面平面ABCABC; ; (2) (2)平面平面A A1 1FDFD平面平面BBBB1 1C C1 1C C. . 证明证明 (1)(1)由由E E、F F分别是分别是A A1 1B B、A A1 1C C的中点知的中点知EFEFBCBC. . 又又EFEF平面平面ABCABC, ,BCBC平面平面ABCABC. . 所以所以EFEF平面平面ABCABC. . (2) (2)因为三棱柱因为三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1为直三棱柱，为直三棱柱， 所以所以BBBB1 1面面A A1 1B B1 1C C1 1, ,BBBB1 1A A1 1D D, , 又又A A1 1D DB B1 1C C, ,BBBB1 1B B1 1C C= =B B1 1, , 所以所以A A1 1D D面面BBBB1 1C C1 1C C， 又又A A1 1D D面面A A1 1FDFD, ,所以平面所以平面A A1 1FDFD平面平面BBBB1 1C C1 1C C. .【探究拓展探究拓展】证明线面平行】证明线面平行, ,通常用线面平行的判定通常用线面平行的判定 定理或由面面平行证明线面平行定理或由面面平行证明线面平行; ;证明线面垂直证明线面垂直, ,常常 用线面垂直的判定定理用线面垂直的判定定理; ;在解决线线平行、线面平行在解决线线平行、线面平行 的问题时的问题时, ,若题目中出现了中点若题目中出现了中点, ,往往可考虑中位线往往可考虑中位线 来进行证明来进行证明. . 变式训练变式训练2 2 (2009 (2009海南海南) )如图所如图所 示示, ,四棱锥四棱锥S SABCDABCD的底面是正方的底面是正方 形形, ,每条侧棱的长都是底面边长的每条侧棱的长都是底面边长的 倍倍, ,P P为侧棱为侧棱SDSD上的点上的点. . (1) (1)求证求证: :ACACSDSD; ; (2) (2)若若SDSD平面平面PACPAC, ,求二面角求二面角 P PACACD D的大小的大小; ; (3) (3)在在(2)(2)的条件下的条件下, ,侧棱侧棱SCSC上是否存在一点上是否存在一点E E, ,使得使得 BEBE平面平面PACPAC, ,若存在若存在, ,求求 的值的值; ;若不存在若不存在, ,试说试说 明理由明理由. .2ECSE(1)(1)证明证明 连结连结BDBD, ,设设ACAC交交BDBD于于O O，由题意由题意SOSOACAC. .在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,ACACBDBD, ,所以所以ACAC平面平面SBDSBD, ,所以所以ACACSDSD. . (2)(2)解解 设正方形边长为设正方形边长为a a, ,则则SDSD= =又又ODOD= = 所以所以SDOSDO=60=60, ,连结连结OPOP, ,由由(1)(1)知知ACAC平面平面SBDSBD，所以所以ACACOPOP, ,且且ACACODOD, ,所以所以PODPOD是二面角是二面角P PACACD D的平面角的平面角. .由由SDSD平面平面PACPAC, ,知知SDSDOPOP, ,所以所以PODPOD=30=30, ,即二面角即二面角P PACACD D的大小为的大小为3030. . .2a,22a(3)(3)解解 在棱在棱SCSC上存在一点上存在一点E E, ,使使BEBE平面平面PACPAC, ,由由(2)(2)可得可得PDPD= = 故可在故可在SPSP上取一点上取一点N N，使使PNPN= =PDPD, ,过过N N作作PCPC的平行线与的平行线与SCSC的交点即为的交点即为E E. .连结连结BNBN. .在在BDNBDN中中, ,知知BNBNPOPO, ,又由于又由于NENEPCPC, ,故平面故平面BENBEN平面平面PACPAC, ,得得BEBE平面平面PACPAC, ,由于由于SNSN: :NPNP=2:1,=2:1,故故SESE: :ECEC=2:1. =2:1. ,42a方法二方法二 (1)(1)证明证明 连结连结BDBD, ,设设ACAC交于交于BDBD于于O O, ,由题意知由题意知SOSO平面平面ABCDABCD. .以以O O为坐标原点为坐标原点, , 分别为分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴正方向轴正方向, ,建立坐标系建立坐标系O Oxyzxyz, ,如图所示如图所示. .设底面边长为设底面边长为a a，则高，则高SOSO= = 故故OCOCSDSD, ,所以所以ACACSDSD. . OSOCOB,.26a, 0),26, 0 ,22(),0 ,22, 0(),0 ,22, 0(),0 , 0 ,22(),26, 0 , 0(SDOCaaSDaOCaCaDaS于是(2)(2)解解 由题设知由题设知, ,平面平面PACPAC的一个法向量的一个法向量 平面平面DACDAC的一个法向量的一个法向量设所求二面角为设所求二面角为所求二面角所求二面角P PACACD D的大小为的大小为3030. .),26, 0a,22(aDS ),26, 0 , 0(aOS ,23|cos,DSOSDSOS则(3)(3)解解 在棱在棱SCSC上存在一点上存在一点E E使使BEBE平面平面PACPAC. .由由(2)(2)知知 是平面是平面PACPAC的一个法向量，的一个法向量， 即当即当SESE: :ECEC=2:1=2:1时时, ,而而BEBE不在平面不在平面PACPAC内内, ,故故BEBE平面平面PACPAC. . ,310),26),1 (22,22(,tDSBEattaaCStBCCEBCBECStCE而则设,DSBE DS),0 ,22,22(),26,22, 0(),26, 0 ,22(aaBCaaCSaaDS且题型三题型三 面面位置关系面面位置关系【例【例3 3】(2009(2009天津天津) )如图如图, ,在在 五面体五面体ABCDEFABCDEF中中, ,FAFA平面平面 ABCDABCD, ,ADADBCBCFEFE, ,ABABADAD, , MM为为ECEC的中点的中点, ,AFAF= =ABAB= =BCBC= =FEFE = = ADAD. . (1) (1)求异面直线求异面直线BFBF与与DEDE所成的角的大小；所成的角的大小； (2)(2)证明证明: :平面平面AMDAMD平面平面CDECDE; ; (3) (3)求二面角求二面角A ACDCDE E的余弦值的余弦值. . 21方法一方法一 (1)(1)解解 由题设知由题设知, ,BFBFCECE，所以，所以CEDCED( (或或 其补角其补角) )为异面直线为异面直线BFBF与与DEDE所成的角所成的角, ,设设P P为为ADAD的中的中 点点, ,连结连结EPEP, ,PCPC. . 又又FAFA平面平面ABCDABCD, ,所以所以EPEP 平面平面ABCDABCD, ,而而PCPC、ADAD都在都在 平面平面ABCDABCD内内, ,故故EPEPPCPC, ,EPEP ADAD. .由由ABABADAD, ,可得可得PCPC ADAD. .设设FAFA= =a a, ,则则EPEP= =PCPC= =PDPD= =a a, ,CDCD= =DEDE= =ECEC= = a a, ,故故 CEDCED=60=60 所以异面直线所以异面直线BFBF与与DEDE所成的角的大小为所成的角的大小为6060. . ,/./,/PCABEPFAAPFE同理所以因为2(2)(2)证明证明 因为因为DCDC= =DEDE且且MM为为CECE的中点，的中点，所以所以DMDMCECE，连结，连结MPMP, ,则则MPMPCECE. .又又MPMPDMDM= =MM, ,故故CECE平面平面AMDAMD，而而CECE平面平面CDECDE, ,所以平面所以平面AMDAMD平面平面CDECDE. .(3)(3)解解 设设Q Q为为CDCD的中点的中点, ,连结连结PQPQ, ,EQEQ. .因为因为CECE= =DEDE, ,所以所以EQEQCDCD. .因为因为PCPC= =PDPD, ,所以所以PQPQCDCD, ,故故EQPEQP为为二面角二面角A ACDCDE E的平面角的平面角. .由由(1)(1)可得可得, ,EPEPPQPQ, ,EQEQ= = PQPQ= = 于是在于是在RtRtEPQEPQ中中,cos,cosEQPEQP= = 所以二面角所以二面角A ACDCDE E的余弦值为的余弦值为 ,26a.22a.33EQPQ.33方法二方法二 如图所示如图所示, ,建立空间直建立空间直 角坐标系角坐标系, ,点点A A为坐标原点为坐标原点, ,设设 ABAB=1,=1,依题意得依题意得B B(1,0,0),(1,0,0),C C(1,(1, 1,0), 1,0),D D(0,2,0),(0,2,0),E E(0,1,1),(0,1,1), F F(0,0,1),(0,0,1),(1)(1)解解 =(-1,0,1), =(0,-1,1),=(-1,0,1), =(0,-1,1),于是于是所以异面直线所以异面直线BFBF与与DEDE所成的角的大小为所成的角的大小为6060. . ).21, 1 ,21(MBFDE.2122100|,cosDEBFDEBFDEBF(2)(2)证明证明 因此因此CECEAMAM, ,CECEADAD. .又又AMAMADAD= =A A, ,故故CECE平面平面AMDAMD. .而而CECE平面平面CDECDE, ,所所以平面以平面AMDAMD平面平面CDECDE. .(3)(3)解解 设平面设平面CDECDE的法向量为的法向量为u u=(=(x x, ,y y, ,z z),),则则令令x x=1,=1,可得可得u u=(1,1,1).=(1,1,1).又由题设又由题设, ,平面平面ACDACD的一个法向量的一个法向量v v=(0,0,1).=(0,0,1). 0, 0),0 , 2 , 0(),1 , 0 , 1(),21, 1 ,21(ADCEAMCEADCEAM可得由. 0, 0. 0, 0zyzxDEuCEu于是 因为二面角因为二面角A ACDCDE E为锐角为锐角, ,所以其余弦值为所以其余弦值为 【探究拓展探究拓展】本小题要考查异面直线所成的角、平面】本小题要考查异面直线所成的角、平面 与平面垂直、二面角等基础知识与平面垂直、二面角等基础知识, ,考查用空间向量解考查用空间向量解 决立体几何问题的方法决立体几何问题的方法, ,考查空间想像能力、运算能考查空间想像能力、运算能 力和推理论证能力力和推理论证能力. . .3313100|,cos,vuvuvu所以.33变式训练变式训练3 3 如图所示如图所示, ,矩形矩形ABCDABCD 和梯形和梯形BEFCBEFC所在平面互相垂直所在平面互相垂直, , BEBECFCF,BCFBCF=CEFCEF=90=90, , ADAD= ,= ,EFEF=2.=2.(1)(1)求证求证: :AEAE平面平面DCFDCF; ;(2)(2)当当ABAB的长为何值时的长为何值时, ,二面角二面角A AEFEFC C的大小为的大小为 6060? ? 3方法一方法一 (1)(1)证明证明 过点过点E E作作EGEGCFCF交交CFCF于于G G, ,连结连结DGDG. .可得四边形可得四边形BCGEBCGE为矩形，为矩形，又四边形又四边形ABCDABCD为矩形，为矩形，所以所以 从而四边形从而四边形ADGEADGE为平行四边形，为平行四边形，故故AEAEDGDG. .因为因为AEAE平面平面DCFDCF, ,DGDG平面平面DCFDCF, ,所以所以AEAE平面平面DCFDCF. . ,/EGAD(2)(2)解解 过点过点B B作作BHBHEFEF交交FEFE的延长线于的延长线于H H, ,连结连结AHAH. .由平面由平面ABCDABCD平面平面BEFCBEFC, ,ABABBCBC, ,得得ABAB平面平面BEFCBEFC，从而从而AHAHEFEF, ,所以所以AHBAHB为二面角为二面角A AEFEFCC的平面角的平面角. .在在RtRtEFGEFG中中, ,因为因为EGEG= =ADAD= ,= ,EFEF=2,=2,所以所以CFECFE=60=60, ,FGFG=1,=1,又因为又因为CECEEFEF, ,所以所以CFCF=4,=4,从而从而BEBE= =CGCG=3.=3.于是于是BHBH= =BEBEsinsinBEHBEH= = 因为因为ABAB= =BHBHtantanAHBAHB, ,所以当所以当ABAB为为 时时, ,二面角二面角A AEFEFC C的大小为的大小为6060. . 3.23329方法二方法二 如图所示如图所示, ,以点以点C C为坐标原为坐标原点点, ,以以CBCB、CFCF和和CDCD所在直线分别作所在直线分别作为为x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴轴, ,建立空间直角坐建立空间直角坐标系标系C Cxyzxyz. .设设ABAB= =a a, ,BEBE= =b b, ,CFCF= =c c, ,则则C C(0,0,0),(0,0,0),A A( ,0,( ,0,a a),),B B( ,0,0),( ,0,0),E E( ,( ,b b,0),0),F F(0,(0,c c,0).,0).333(1)(1)证明证明 =(0,=(0,b b,-,-a a),), =( ,0,0), =(0,=( ,0,0), =(0,b b,0),0),所以所以 从而从而CBCBAEAE, ,CBCBBEBE. .所以所以CBCB平面平面ABEABE. .因为因为CBCB平面平面DCFDCF，所以平面所以平面ABEABE平面平面DCFDCF. .故故AEAE平面平面DCFDCF. .(2)(2)解解 因为因为 =( ,=( ,c c- -b b,0), =( ,0), =( ,b b,0). ,0). AEBECB, 0, 0BECBAECB3. 4, 3, 2)(3, 0)(3, 2| , 02cbbcbcbEFCEEF解得所以CEEF33所以所以E E( ,3,0),( ,3,0),F F(0,4,0).(0,4,0).设设n n=(1,=(1,y y, ,z z) )与平面与平面AEFAEF垂直，垂直，又因为又因为BABA平面平面BEFCBEFC, =(0,0, =(0,0,a a),),所以当所以当ABAB为为 时时, ,二面角二面角A AEFEFC C的大小为的大小为6060. . 3).33, 3, 1 (, 0, 0anEFnAEn解得则BA.29,2127433|,cos|2aaaaBAnBAnBAn解得所以29题型四题型四 折叠问题折叠问题【例【例4 4】如图】如图1,1,E E, ,F F分别是矩形分别是矩形ABCDABCD的边的边ABAB, ,CDCD的中的中 点点, ,G G是是EFEF上的一点上的一点, ,将将GABGAB, ,GCDGCD分别沿分别沿ABAB, ,CDCD 翻折成翻折成G G1 1ABAB, ,G G2 2CDCD, ,并连接并连接G G1 1G G2 2, ,使得平面使得平面G G1 1ABAB 平面平面ABCDABCD, ,G G1 1G G2 2ADAD, ,且且G G1 1G G2 2ADAD. .连接连接BGBG2 2, ,如如 图图2.2. (1)(1)证明证明: :平面平面G G1 1ABAB平面平面G G1 1ADGADG2 2；(2)(2)当当ABAB=12,=12,BCBC=25,=25,EGEG=8=8时时, ,求直线求直线BGBG2 2和平面和平面 G G1 1ADGADG2 2所成的角的正弦值所成的角的正弦值. . 方法一方法一 (1)(1)证明证明 因为平面因为平面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD, ,平面平面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD= =ABAB, ,ADADABAB, , AD AD平面平面ABCDABCD, ,所以所以ADAD平面平面G G1 1ABAB, ,又又ADAD平面平面G G1 1ADGADG2 2, ,所以平面所以平面G G1 1ABAB平面平面G G1 1ADGADG2 2. . (2)(2)解解 过点过点B B作作BHBHAGAG1 1于点于点H H, ,连接连接G G2 2H H. .由由(1)(1)的结论可知的结论可知, ,BHBH平面平面G G1 1ADGADG2 2, ,所以所以BGBG2 2H H是是BGBG2 2和平面和平面G G1 1ADGADG2 2所成的角所成的角. . 因为平面因为平面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD，平面平面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD= =ABAB, ,G G1 1E EABAB，G G1 1E E平面平面G G1 1ABAB, ,所以所以G G1 1E E平面平面ABCDABCD, ,故故G G1 1E EEFEF. .因为因为G G1 1G G2 2ADAD, ,ADAD= =EFEF, ,所以可在所以可在EFEF上取一点上取一点O O, ,使使EOEO= =G G1 1G G2 2, ,又因为又因为G G1 1G G2 2ADADEOEO，所以四边形，所以四边形G G1 1EOGEOG2 2是矩形是矩形. . 由题设由题设ABAB=12,=12,BCBC=25,=25,EGEG=8,=8,则则GFGF=17.=17.所以所以G G2 2O O= =G G1 1E E=8,=8,G G2 2F F=17,=17,OFOF= =15,= =15,G G1 1G G2 2= =EOEO=10.=10.因为因为ADAD平面平面G G1 1ABAB, ,G G1 1G G2 2ADAD, ,所以所以G G1 1G G2 2平面平面G G1 1ABAB, ,从而从而G G1 1G G2 2G G1 1B B. .=6=62 2+8+82 2+10+102 2=200=200，BGBG2 2= = 又又AGAG1 1= = 由由BHBHAGAG1 1= =G G1 1E EABAB, ,得得BHBH= = 故故sinsinBGBG2 2H H= = 即直线即直线BGBG2 2与平面与平面G G1 1ADGADG2 2所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为 22817 22121222GGEGBEBG故. 210,108622.54810128.2521221015482BGBH.25212方法二方法二 (1)(1)证明证明 因为平面因为平面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD, ,平面平面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD= =ABAB, ,G G1 1E EABAB, ,G G1 1E E平面平面G G1 1ABAB, ,所以所以G G1 1E E平面平面ABCDABCD，从而从而G G1 1E EADAD. .又又ABABADAD，所以所以ADAD平面平面G G1 1ABAB. .因为因为ADAD 平面平面G G1 1ADGADG2 2, ,所以平面所以平面G G1 1ABAB平面平面G G1 1ADGADG2 2. .(2)(2)解解 由由(1)(1)可知可知, ,G G1 1E E平面平面ABCDABCD. .故以故以E E为原点为原点, ,分别以直线分别以直线EBEB, ,EFEF, ,EGEG1 1为为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系( (如图所示如图所示),),由题设由题设ABAB=12,=12,BCBC=25,=25,EGEG=8,=8,则则EBEB=6,=6,EFEF=25,=25,EGEG1 1=8,=8,相关各点的坐标分别是相关各点的坐标分别是A A(-6,0,0),(-6,0,0),D D(-6,25,0),(-6,25,0),G G1 1(0,0,8),(0,0,8),B B(6,0,0).(6,0,0).所以所以 =(0,25,0), =(6,0,8).=(0,25,0), =(6,0,8).设设n n=(=(x x, ,y y, ,z z) )是平面是平面G G1 1ADGADG2 2的一个法向量，的一个法向量，故可取故可取n n=(4,0,-3).=(4,0,-3).过点过点G G2 2作作G G2 2O O平面平面ABCDABCD于点于点O O，AD1AG086, 025. 0, 01zxyAGnADn得由因为因为G G2 2C C= =G G2 2D D, ,所以所以OCOC= =ODOD, ,于是点于是点O O在在y y轴上轴上, ,因为因为G G1 1G G2 2ADAD，所以所以G G1 1G G2 2EFEF, ,G G2 2O O= =G G1 1E E=8.=8.设设G G2 2(0,(0,m m,8) (0,8) (0m m25),25),由由17172 2=8=82 2+(25-+(25-m m) )2 2, ,解得解得m m=10=10，所以所以G G2 2(0,10,8),(0,10,8),所以所以 =(0,10,8)-(6,0,0)=(-6,10,8).=(0,10,8)-(6,0,0)=(-6,10,8).设设BGBG2 2和平面和平面G G1 1ADGADG2 2所成的角是所成的角是 即直线即直线BGBG2 2与平面与平面G G1 1ADGADG2 2所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为 ,.25212348106|2424|sin2222222nBGnBG则.252122BG【探究拓展探究拓展】解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的 不变量和变化量不变量和变化量, ,一般情况下一般情况下, ,线段长度是不变量线段长度是不变量, ,而而 折痕同侧的各种关系不发生变化折痕同侧的各种关系不发生变化, ,折痕两侧的位置关折痕两侧的位置关 系将发生变化，抓住不变量是解决问题的关键系将发生变化，抓住不变量是解决问题的关键. .变式训练变式训练4 4 已知等腰梯形已知等腰梯形PBCDPBCD中中,(,(如图如图1),1),PBPB=3,=3, DCDC=1=1, ,PDPD= =BCBC= = A A是是PBPB边上一点边上一点, ,且且ADADPBPB, ,现将现将 PADPAD沿沿ADAD折起折起, ,使平面使平面PADPAD平面平面ABCDABCD( (如图如图2).2). (1) (1)证明证明: :平面平面PADPAD平面平面PCDPCD; ; (2) (2)试在棱试在棱PBPB上确定一点上确定一点MM, ,使截面使截面AMCAMC把几何体分把几何体分 成两部分的体积比成两部分的体积比V VPDCMAPDCMA: :V VMACBMACB=2:1;=2:1; (3) (3)在点在点MM满足满足(2)(2)的条件下的条件下, ,判断直线判断直线PDPD是否平行于是否平行于 平面平面AMCAMC, ,并说明理由并说明理由. . ,2(1)(1)证明证明 由题意知由题意知: :CDCDADAD, ,又平面又平面PADPAD平面平面ABCDABCD, ,所以所以CDCD平面平面PADPAD, ,又又CDCD平面平面PCDPCD, ,所以所以, ,平面平面PADPAD平面平面PCDPCD. .(2)(2)解解 由由(1)(1)知知PAPA平面平面ABCDABCD, ,所以平面所以平面PABPAB平面平面ABCDABCD, ,在在PBPB上取一点上取一点MM，作作MNMNABAB于于N N，则则MNMN平面平面ABCDABCD, ,设设MNMN= =h h, ,则则V VMMABCABC= = S SABCABCh h,3122131hh 31要使要使V VPDCMAPDCMA: :V VMACBMACB=2:1,=2:1,解得解得h h= = 即即MM为为PBPB的中点的中点. .(3)(3)解解 连接连接BDBD交交ACAC于点于点O O, ,因为因为ABABCDCD, ,ABAB=2,=2,CDCD=1,=1,由三角形相似得由三角形相似得BOBO=2=2ODOD, ,所以所以O O不是不是BDBD的中点的中点, ,又又MM为为PBPB的中点的中点, ,所以在平面所以在平面PBDPBD中中, ,直线直线OMOM与与PDPD相交相交, ,所以直线所以直线PDPD与平面与平面AMCAMC不平行不平行. . .21112213131PASVABCDABCDP,21, 1:23: )321(hh即【考题再现】【考题再现】 (2009(2009山东山东) )如图如图, ,在直四棱柱在直四棱柱 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,底面底面ABCDABCD 为等腰梯形为等腰梯形, ,ABABCDCD, ,ABAB=4,=4, BCBC= =CDCD=2,=2,AAAA1 1=2,=2,E E、E E1 1、F F分别分别 是棱是棱ADAD、AAAA1 1、ABAB的中点的中点. . (1) (1)证明证明: :直线直线EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1； (2)(2)求二面角求二面角B BFCFC1 1C C的余弦值的余弦值. . (1)(1)证明证明 在直四棱柱在直四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,取取A A1 1B B1 1的中的中点点F F1 1，连接连接A A1 1D D, ,C C1 1F F1 1, ,CFCF1 1, ,因为因为ABAB=4,=4,CDCD=2,=2,且且ABABCD,CD,所以所以 所以四边形所以四边形A A1 1F F1 1CDCD为平行四边为平行四边形，所以形，所以CFCF1 1A A1 1D D, ,又因为又因为E E、E E1 1分别是棱分别是棱ADAD、AAAA1 1的中点的中点, ,所以所以EEEE1 1A A1 1D D, ,所以所以CFCF1 1EEEE1 1, ,又因为又因为EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1，CFCF1 1平面平面FCCFCC1 1, ,所以直线所以直线EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1. . 6 6分分,/11FACD(2)(2)解解 因为因为ABAB=4,=4,BCBC= =CDCD=2,=2,F F是棱是棱ABAB的中点的中点, ,所以所以BFBF= =BCBC= =CFCF, ,BCFBCF为正三角形为正三角形, ,取取CFCF的中点的中点O O, ,则则OBOBCFCF, ,又因为直四棱柱又因为直四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,CCCC1 1平面平面ABCDABCD, ,所以所以CCCC1 1BOBO, ,所以所以OBOB平面平面CCCC1 1F F, ,过过O O在平面在平面CCCC1 1F F内作内作OPOPC C1 1F F, ,垂足为垂足为P,P, 连接连接BPBP, ,则则OPBOPB为二面角为二面角B BFCFC1 1C C的一个平面角的一个平面角, 9, 9分分在在BCFBCF为正三角形中为正三角形中, ,OBOB= = 在在RtRtCCCC1 1F F中中, ,OPFOPFCCCC1 1F F, , 3 在在RtRtOPBOPB中中, ,BPBP= =coscosOPBOPB= 11= 11分分所以二面角所以二面角B BFCFC1 1C C的余弦值为的余弦值为 1212分分.222221,2211OPFCOFCCOP,21432122OBOP,7721422BPOP.771.1.解决平行问题的常用方法解决平行问题的常用方法: :证线线平行的问题常证线线平行的问题常 用方法用方法:):)利用定义利用定义.).)利用公理利用公理4.)4.)利用线面平利用线面平 行的性质定理证明行的性质定理证明. .) )利用线面垂直的性质定理证利用线面垂直的性质定理证 明明.).)利用面面平行的性质定理证明利用面面平行的性质定理证明. .证明线面平证明线面平 行问题的常用方法行问题的常用方法:):)利用定义证明利用定义证明.).)利用线面利用线面 平行的判定定理证明平行的判定定理证明.).)利用面面平行的重要结论利用面面平行的重要结论 证明证明. .证明面面平行的常用方法证明面面平行的常用方法:) )利用定义证明利用定义证明. . ) )利用面面平行的判定定理证明利用面面平行的判定定理证明.).)利用线面垂直利用线面垂直 的重要结论证明的重要结论证明. .特别提醒特别提醒: :在平行问题中在平行问题中, ,平行关系平行关系 的转化是重要的数学思想的转化是重要的数学思想, ,在应用中在应用中, ,应认真领悟应认真领悟“线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行”这三种平行关系这三种平行关系 的转化的转化. .2.2.解决垂直问题的常用方法解决垂直问题的常用方法: :线线垂直问题线线垂直问题:):)利利 用定义用定义.).)利用线面垂直的定义利用线面垂直的定义. .线面垂直线面垂直:) )利利 用线面垂直的定义用线面垂直的定义( (反证法或向量法反证法或向量法) ).).)线面垂直的线面垂直的 判定定理判定定理.).)利用线面垂直的判定定理的推论证明利用线面垂直的判定定理的推论证明. . ) )利用面面垂直的性质定理证明利用面面垂直的性质定理证明.).)利用面面平行利用面面平行 的重要结论证明的重要结论证明. .面面垂直面面垂直:):)利用定义证明利用定义证明. . ) )利用面面垂直的判定定理利用面面垂直的判定定理. .3.3.空间角问题的常见解法空间角问题的常见解法: :直线与平面所成角直线与平面所成角: :作出作出 直线与平面所成的角直线与平面所成的角, ,关键是作垂线关键是作垂线, ,找射影找射影. .两异两异 面直线所成的角面直线所成的角:):)平移法平移法. .)补形法补形法. .)向量法向量法. . 二面角的常用方法二面角的常用方法:):)定义法定义法. .）利用线面垂直）利用线面垂直关系来确定二面角的平面角关系来确定二面角的平面角.一、选择题一、选择题1.1.给定空间中的直线给定空间中的直线l l及平面及平面 , ,条件条件“直线直线l l与平面与平面 内两条相交直线都垂直内两条相交直线都垂直”是是“直线直线l l与平面与平面 垂直垂直” 的的 ( )( ) A. A.充分非必要条件充分非必要条件 B.B.必要非充分条件必要非充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 解析解析 由线面垂直的判定定理知是充要条件由线面垂直的判定定理知是充要条件. . C C2.(20092.(2009全国全国)已知二面角已知二面角 为为6060, ,动点动点 P P、Q Q分别在面分别在面 内内, ,P P到到 的距离为的距离为 , ,Q Q到到 的的 距离为距离为 则则P P、Q Q两点之间距离的最小值为两点之间距离的最小值为 ( )( ) A. B.2 C. D.4 A. B.2 C. D.4 解析解析 如图如图, ,过过P P作作PEPE 交交 于于 E E, ,在平面在平面 内过点内过点E E作作EFEFl l, ,则则 PFEPFE=60=60, ,由由P P到到 的距离为的距离为 知知PEPE= =PFPF=2.=2.同理可求平面同理可求平面 内的点内的点Q Q到棱到棱l l的距离为的距离为4.4.当当将二面角展开将二面角展开, ,P P、Q Q的连线与的连线与l l垂直时垂直时, ,P P、Q Q两点之间两点之间l、3, 323223. 3 的距离最短的距离最短( (此时在二面角内此时在二面角内, ,P P、Q Q应是二面角平面应是二面角平面 角边上的两点）角边上的两点）. . 其最小值应为其最小值应为d d2 2=4+16-2=4+16-24 42 2cos 60cos 60=12,=12, d d= = 答案答案 C C3.3.已知已知m m, ,n n是两条不同直线是两条不同直线, , 是三个不同平面是三个不同平面, , 下列命题中正确的是下列命题中正确的是 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 由线面的位置关系可知由线面的位置关系可知B B正确正确. . . 32,/,则若nmnm/,则若nmnm/,/,/则若/,/,/则若mmB B4.(20094.(2009江西江西) )如图如图, ,正四面体正四面体 ABCDABCD的顶点的顶点A A, ,B B, ,C C分别在两两分别在两两 垂直的三条射线垂直的三条射线OxOx, ,OyOy, ,OzOz上上, , 则在下列命题中则在下列命题中, ,错误的为错误的为( )( ) A. A.O OABCABC是正三棱锥是正三棱锥 B.B.直线直线OBOB平面平面ACDACD C. C.直线直线ADAD与与OBOB所成的角是所成的角是4545 D. D.二面角二面角D DOBOBA A为为4545 解析解析 将原图补为正方体不难得出将原图补为正方体不难得出B B错误错误, ,故选故选B. B. B B5.5.已知三棱柱已知三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的侧棱与底面边长都相等的侧棱与底面边长都相等, , A A1 1在底面在底面ABCABC内的射影为内的射影为ABCABC的中心的中心, ,则则ABAB1 1与底面与底面 ABCABC所成角的正弦值等于所成角的正弦值等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 设棱柱的侧棱与底面设棱柱的侧棱与底面 边长均为边长均为a a, ,O O为为ABCABC的中心的中心, , 如图如图, ,连接连接AOAO, ,则则AOAO= = A A1 1O O平面平面ABCABC, , A A1 1O O= = 又在三棱柱又在三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中中, ,A A1 1B B1 1平面平面ABCABC, , .33a.36a31323332点点B B1 1到平面到平面ABCABC的距离为的距离为d d= =连接连接ABAB1 1、A A1 1B B、BOBO, ,设设A A1 1B B与与ABAB1 1交点为交点为H H. .在在RtRtA A1 1BOBO中中, ,A A1 1B B= =a a. .四边形四边形AAAA1 1B B1 1B B为菱形为菱形,A A1 1H HABAB1 1, ,设设ABAB1 1与底面与底面ABCABC成的角为成的角为答案答案 B B .3,2312121aABaHAAAAH,.323136sin1aaABd则.36a6.(20096.(2009海南海南) )如图所示如图所示, ,正方体正方体 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，线，线 段段B B1 1D D1 1上有两个动点上有两个动点E E、F F, ,且且EFEF = = 则下列结论中错误的是则下列结论中错误的是( )( ) A. A.ACACBEBE B. B.EFEF平面平面ABCDABCD C. C.三棱锥三棱锥A ABEFBEF的体积为定值的体积为定值 D.D.异面直线异面直线AEAE, ,BFBF所成的角为定值所成的角为定值 ,22解析解析 由正方体的性质可知由正方体的性质可知, ,ACAC平面平面BBBB1 1D D1 1D D, ,则则ACACBEBE, ,所以所以A A正确正确; ;易知易知B B正确正确; ;因因B B到直线到直线B B1 1D D1 1的距离是的距离是1,1,而而EFEF= = 点点A A到平面到平面BBBB1 1D D1 1D D的距离为常量的距离为常量 所所以三棱锥以三棱锥A ABEFBEF的体积的体积V VA ABEFBEF= =所以所以C C正确正确. .答案答案 D D ,22,22,121222212131二、填空题二、填空题7.(20097.(2009江苏江苏) )在平面上在平面上, ,若两个正三角形的边长比若两个正三角形的边长比 为为1:2,1:2,则它们的面积比为则它们的面积比为1:4,1:4,类似地类似地, ,在空间中在空间中, ,若若 两个正四面体的棱长比为两个正四面体的棱长比为1:2,1:2,则它们的体积比为则它们的体积比