数学第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法

7.2一元二次不等式及其解法第七章不等式基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.“三个二次三个二次”的关系的关系知识梳理判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2 (x10 (a0)的解集_一元二次不等式ax2bxc0)的解集_x|xx2x|xRx|x1 xx2不等式解集ab(xa)(xb)0_(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法x|xbx|xax|axbx|bxax|xa口诀：大于取两边，小于取中间.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.【知识拓展】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.( )(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.( )(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( )(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集.( )题组一思考题组一思考辨析辨析基础自测124563A.2,4) B.(1,3C.2，1 D.1,3题组二教材改编题组二教材改编12456解析3解析解析因为Ax|2x3，Bx|x1或x4，故UBx|1x0，题组三易错自纠题组三易错自纠4.不等式x23x40的解集为_.(用区间表示)解析124563解析解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x1.答案(4,1)124563ab14.解析答案146.已知关于x的不等式(a24)x2(a2)x10的解集为空集，则实数a的取值范围为_.解析12456答案3解析解析当a240时，a2.若a2，不等式可化为10，显然无解，满足题意；若a2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；题型分类深度剖析命题点命题点1不含参的不等式不含参的不等式典例典例 求不等式2x2x30的解集.题型一一元二次不等式的求解多维探究多维探究解答解解化2x2x30，命题点命题点2含参不等式含参不等式典例典例 解关于x的不等式ax222xax(aR).解答解解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a2时，不等式的解集为1；综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论.(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 解下列不等式：(1)0 x2x24；解答借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3.(2)12x2axa2(aR).解答解解12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，当a0时，x20，解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；命题点命题点1在在R上的恒成立问题上的恒成立问题典例典例 (1)若一元二次不等式2kx2kx 0，则a的取值范围是 A.(0,4) B.0,4)C.(0，) D.(，4)解析解析解析对于xR，ax2ax10，答案命题点命题点2在给定区间上的恒成立问题在给定区间上的恒成立问题典例典例 设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.解答解解要使f(x)0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，有以下两种方法：当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0.解得x3.故当x的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零.命题点命题点3给定参数范围的恒成立问题给定参数范围的恒成立问题典例典例 对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围.解答解解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意，知在1,1上，g(m)的值恒大于零，(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；解答解解当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，实数a的取值范围是6,2.(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；解答解解当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.如图，g(x)的图象与x轴有交点，解得a .如图，g(x)的图象与x轴有交点，但当x(，2时，g(x)0.7a6，综上，实数a的取值范围是7,2.(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围.解答解解令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立.题型三一元二次不等式的应用师生共研师生共研典例典例 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；解答又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10.(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解答解解设利润为y元，则故当x6时，ymax457 500元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加 x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；解答所以yf(x)40(10 x)(254x)，定义域为x0,2.(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.解答解解由题意得40(10 x)(254x)10 260，典例典例 (1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)3即x22xa0恒成立.即当x1时，a(x22x)恒成立.令g(x)(x22x)，则g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)3，故a3.实数a的取值范围是a|a3.课时作业1.不等式(x1)(2x)0的解集为 A.x|1x2 B.x|x1或x2C.x|1x2 D.x|x2基础保分练12345678910111213141516解析解析由(x1)(2x)0可知，(x2)(x1)0，所以不等式的解集为x|1x2.解析答案2.(2018河北省三市联考)若集合Ax|32xx20，集合Bx|2x0时，x2x2，0 x1. 由得原不等式的解集为x|1x1.方法二方法二作出函数yf(x)和函数yx2的图象，如图所示，由图知f(x)x2的解集为1,1.解析4.若集合Ax|ax2ax10 ，则实数a的取值范围是 A.a|0a4 B.a|0a4C.a|0a4 D.a|0a4解析答案12345678910111213141516解析解析由题意知，当a0时，满足条件.得0320，即x228x1920，解得12x16，所以每件售价应定为12元到16元之间.6.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是 A.4,1 B.4,3C.1,3 D.1,3解析答案12345678910111213141516解析解析原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3，综上可得4a3.解析123456789101112131415167.若不等式2x22axa1有唯一解，则a的值为_.解析解析若不等式2x22axa1有唯一解，则x22axa1有两个相等的实根，所以4a24(a1)0，答案12345678910111213141516解析答案9.(2018济南模拟)若不等式mx22mx42x24x对任意x都成立，则实数m的取值范围是_.12345678910111213141516答案(2,2解析解析解析原不等式等价于，(m2)x22(m2)x40，当m20，即m2时，对任意x，不等式都成立；当m20，即m2时，4(m2)216(m2)0，解得2m2.综合，得m(2,2.解析12345678910111213141516答案x|ln 2xln 3解得ln 2x0，即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当a0的解集为x|1x2.11.设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集；12345678910111213141516解答解解f(x)mF(x)xma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，(2)若a0，且0 xmn ，比较f(x)与m的大小.xm0.f(x)m0，即f(x)m.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解解因为(ab)x2a3b0，所以(ab)x3b2a，解得a3b0，等价于bx2(4b2)x3b20，13.若关于x的不等式x2ax20在区间1,5上有解，则实数a的取值范围是_.技能提升练12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析解析方法一方法一x2ax20在x1,5上有解，令f(x)x2ax2，f(0)20在x1,5上有解，14.不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_.解析12345678910111213141516答案8,4解析解析因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由一元二次不等式的性质可知，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.拓展冲刺练12345678910111213141516解析答案解析解析作出函数f(x)的图象如图实线部分所示，由f(x)2af(x)b20，12345678910111213141516若b0，则f(x)0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b0，所以af(x)0，且整数解x只能是3，当2x4时，8f(x)0，所以8a3，即a的最大值为8，故选D.16.(2017宿州模拟)若关于x的不等式4x2x1a0在1,2上恒成立，则实数a的取值范围为_.12345678910111213141516答案解析(，0解析解析因为不等式4x2x1a0在1,2上恒成立，所以4x2x1a在1,2上恒成立.令y4x2x1(2x)222x11(2x1)21.因为1x2，所以22x4.由二次函数的性质可知，当2x2，即x1时，y取得最小值0，所以实数a的取值范围为(，0.