数学第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用

7.4基本不等式及其应用第七章不等式基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号.2.几个重要的不等式几个重要的不等式(1)a2b2 (a，bR).知识梳理a0，b0ab2ab2以上不等式等号成立的条件均为ab.3.算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 .(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 .(简记：和定积最大)xy小xy大不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立 ；若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)A成立 ；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D.【知识拓展】f(x)maxA(xD)f(x)minA(xD)1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)题组一思考题组一思考辨析辨析基础自测124563(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( )1245632.P99例1(2)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82题组二教材改编题组二教材改编12456解析3当且仅当xy9时，(xy)max81.答案12456答案3.P100A组T2若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.325解析解析解析设矩形的一边为x m，当且仅当x10 x，即x5时，ymax25.题组三易错自题组三易错自纠纠4.“x0”是“x 2成立”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析12456答案312456答案3函数的最小值为0.故选A.解析解析124563故4x3y的最小值为5.故选D.6.若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是 A.2 B.3C.4 D.5答案题型分类深度剖析命题点命题点1通过配凑法利用基本不等式通过配凑法利用基本不等式典例典例 (1)已知0 x0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为 A.8 B.6C.4 D.2解析答案解析解析由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值.思维升华思维升华解析答案解析答案(2)(2017武汉模拟)已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为_.8当且仅当x2y时等号成立.解答题型二基本不等式的实际应用师生共研师生共研解解因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000 x万元，依题意得当0 x0)经过圆x2y22y50的圆心，则 的最小值是 A.9 B.8 C.4 D.2答案解析解析圆x2y22y50化成标准方程为x2(y1)26，所以圆心为C(0,1).因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.解析当且仅当n4时取等号.答案解析m12，m的最大值为12.答案解析解析解析对任意xN*，f(x)3恒成立，答案(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.思维升华思维升华解析解析由题意可得a0，解析答案几何画板展示解析答案解析解析由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去).所以2mn224，所以mn6.又mn6，解得m2，n4，符合题意.利用基本不等式求最值现场纠错现场纠错纠错心得现场纠错错解展示错解展示：错解展示：现场纠错现场纠错纠错心得纠错心得利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.课时作业A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件基础保分练12345678910111213141516解析解析由ab0，可知a2b22ab，充分性成立，解析答案故必要性不成立，故选A.答案12345678910111213141516解析12345678910111213141516运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；答案12345678910111213141516解析解析答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516解析解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516答案解析12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析解析x1，y0且满足x2y1，x10，且(x1)2y2，9.已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_.12345678910111213141516答案4,12解析x24y24(当且仅当x2y时取等号).又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号).综上可知，4x24y212.10.(2017成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元.解析12345678910111213141516答案22012345678910111213141516解析解析设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，k15，k220，12345678910111213141516解答当且仅当2x5y时，等号成立.11.已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.12345678910111213141516解答解解x0，y0，12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中ab12.(1)试用x，y表示S；12345678910111213141516解答解解由题意可得xy1 800，b2a，则yab33a3, 所以S(x2)a(x3)b(3x8)a(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？12345678910111213141516解答123456789101112131415161 8082401 568，所以当x40，y45时，S取得最大值.12345678910111213141516令f(x)0，则x40，当0 x0；当x40时，f(x)1，a1，解析12345678910111213141516答案812345678910111213141516解析解析yloga(x3)1恒过定点A(2，1)，由A在直线mxny10上，可得2mn10，即2mn1.拓展冲刺练12345678910111213141516解析答案当且仅当x2y时等号成立，12345678910111213141516当且仅当y1时等号成立，故所求的最大值为1.16.若实数a，b满足ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值为_.12345678910111213141516答案解析27故(a1)(b2)的最小值为27.又a1，所以b0，所以(a1)(b2)ab2ab26a2b1