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专题四 立体几何 1().1 ABCDECDCDFBCEFBDHABCDACEFNABCDEFCEFPEFPHAHCExV xPABFED如图甲所示，正方形的边长为 ， 是上异于 、 的动点，点 在边上，且与正方形的对角线平行，是正方形的对角线与的交点， 是正方形两对角线的交点现沿将折起到的位置 图乙 ，使记，表例示五棱锥的体积考点考点1 立体几何中的最值问题立体几何中的最值问题(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值？(3)当V(x)取得最大值时，求直线AP与平面ABFED所成角的正切值利用体积公式，构造函数之后用导数切入点：法求解 .222.12212CHEFPHEFPHAHPHABFEDPHPABFEDCECHCEHCDNCDCNCExCHCNxPHxCD 依题意可知，折起后有又，所以平面，即是五棱锥的高因为，所以，则，即解析 2231121112(1)33222201126ABFEDSABCDCEFSxV xS PHxxxxx 又五边形的面积 等于正方形的面积减去三角形的面积，即， 所以， 232204666()3366(1)0(0)0.3363626262 3()().312332267VxxxxxVxxVxxV xV 令，解得或舍去 当，时，；当，时，因此，当时，取得最大值，最大值为 2623333 232.333616tan5.153PHABFEDAHAPABFEDPAHAPABFEDV xPHAHAHPPHPAHAPABFAHED因为平面，所以是直线在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角当取得最大值时，在直角三角形中，即直线与平面所成角的正切值为 (1)折叠问题要注意图形变化后的线线、线面位置关系的改变，以及几何量的变化 (2)解决立体几何动态问题，尤其是有关侧面积、体积的最值问题、点的探究等问题，可以先确立目标函数，再用导数法来解决是比较好的.1 cm/scos()ABCDaSDABCDSDaPAABQBBCASPQt如图，四边形是边长为 的正方形，平面，且点 从点 出发沿射线运动，点 从点 出发沿射线运动，运动速度都是，设异面直线与的夹角为 ，用运动时间 表示，并求 的范围 变式1 原创题 222,0,0(,0)(,0)(0,0)( ,0)(,0)cos| |2(0)2211A aP atQ ataSaSAaaPQtatSA PQSAPQattaatatt 如图，建立空间直角坐标系依题意，可得如下点的坐标：， ，所以，所解以析 102cos220cos0c4590os2.atattt 当，即时，分母取得最小值，此时取得最大值；当时，；当时，根据余弦函数的单调性，知 12.14521PABCDPAABCDPAABBCEPDCEPBEBCGDPAGBG在底面是矩形的四棱锥中，平面，若点 为上的点，当异面直线与所成的角为时，求出点 的位置；在上是否存在一点 ，使得点 到平面的距离为 ？若存在，求出的长；若不存在，请说例2 明理由考点考点2 立体几何中的存在性问题立体几何中的存在性问题 0,0,101,0,01,2,00,0,10,2,0AAxyzABCPD如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，则解析有， 1.221EGDPAGABCDBG中，由于点 的位置不确定，故要考虑向量法，以坐标确定位置中，设出 点的坐标后，找出点 到平面的距离是关键，然后在矩形中，利用等面积法求出切入点：的长222(0)( 12)(1,01)45|cos45| | 1|2212222 . EyzCEyz CBCEPBCE PBCEPBzyzyz 设， ， ，则， ，因为异面直线与所成的角为，所以，即( 12,1)1,0,0st( 12)1,0,0( 12,1)12222. 1212CE CDCPCPCDstCECDCPyzststytzyztyyzz 又， ， 是共面向量，所以存在实数 、 使得，即，所以，从而得解得或.0 245(1,0)1.2123.31.2ADGABCDCEPBGBGxGxDQAGQDQPAGDQSSAGDQAEPDDGBBADAGxxGDPAG 四边形所以，当异面直线与所成的角为时，假设存在符合条件的点 ，设，则，作于 ，则平面，即因为点 是的中点或重合于 点故存在点 ，当时，使得点 到平面，所以=，所以，的距离为解得 1立体几何中的存在性问题，若用几何方法难以奏效，则可用向量法转化为代数运算，从而解决问题 2向量的运算中，要注意共线向量、共面向量、夹角公式、距离公式等的使用 111111111112 2.122.0 13(2 1)ABCDABC DADAAABEABACD EADABABEDECDE如图，在长方体中，点 在棱上移动，小蚂蚁从点 沿长方体的表面爬到点 ，所爬的最变式惠州一短路程为求证：；求的长度；在线段上是否存在点 ，使得二面角的大小为若存在，确定点 的位置；若不存在，模请说明理由 1111111111111(1.1)ADAEADD AADEDADD AADAAADADD EAD证明：连接由长方体的性质可知平面，所以是在方法平面内的射影又因为，所以，所以三垂线：解 定理析 11121.4.2ABxADD AACACx设因为四边形是正方形，所以小蚂蚁从点 沿长方体的表面爬到点可能有两种途径如下图的最短路程为221(1)122.ACxxx 如下图的最短路程为222212222442 22.xxxxxxx因为，所以，所以，所以 11111221.41.Rt1.123.3.34EDEEByDABCDDHECD HD HDDECDD HDDHDDEBCECyEC DHDC ADyyEEBDECD 假设存在点连接，设，过点 在平面内作，连接，则为二面角的平面角，所以所以在内，而，即，解得即存在点 ，且时，二面角的大小为 2 1 如图建立空间直方法 ：角坐标系1111111(1,0)0,0,11,0,1(11)1 1 0110.AEaEaDAD EaDA D EaD EAD 设，则， ， ，所以，所以 1112121121.0,0,1(0,21)()0020002(2)2322,1,EDECD ED ECxyzDCxyzxayzD E nzyxa ya nnnn 同方法假设存在点平面的法向量， 设平面的法向量， ， ，则，即，解得，所以12222122cos.2(2)122323()3.4aaaEBDECDnn由题意得 ，解得或舍去 即当点 离 的距离为时，二面角的大小为 1动态问题静态处理是解决立体几何的有效方法，建立目标函数以解决最值问题，存在性问题，特殊点问题比较好的办法 2等积法是立体几何问题转化的基本方法之一，它可以将复杂的问题简单化，抽象问题具体化 3高考试题很强调初、高中知识的结合，因此化立体问题为平面问题为不少命题者所青睐
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