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第3讲带电粒子在复合场中的运动知识梳理知识梳理一、复合场一、复合场1.定义定义:复合场是指电场、磁场、重力场并存,或其中某两种场并存的场。带电粒子在这些复合场中运动时,应充分考虑电场力、洛伦兹力和重力的作用或其中某两种力的作用,因此对粒子的运动形式的分析就显得极为重要。2.三种场的比较三种场的比较 力的特点功和能的特点重力场大小:G= mg方向:竖直向下竖直向下重力做功与路径无关无关重力做功改变物体重力势能静电场大小:F= Eq方向:正电荷受力方向与场强方向一致一致 ;负电荷受力方向与场强方向相反相反电场力做功与路径无关无关W=qU电场力做功改变电势能电势能磁场洛伦兹力F=qvB;方向符合左手定则洛伦兹力不做功,不改变带电粒子的速度速度大小大小1.当带电粒子所受合外力为零时,将处于静止静止或匀速直线运动匀速直线运动状态。二、带电粒子在复合场中运动的几种情况二、带电粒子在复合场中运动的几种情况2.当带电粒子做匀速圆周运动时,洛伦兹力洛伦兹力提供向心力,其余各力的合力必为零。3.当带电粒子所受合力大小与方向均变化时,将做非匀变速曲线运动。这类问题一般只能用能量关系来处理。 1.如图,在两水平极板间存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向下,磁场方向垂直于纸面向里。一带电粒子以某一速度沿水平直线通过两极板。若不计重力,下列四个物理量中哪一个改变时,粒子运动轨迹不会改变()A.粒子速度的大小 B.粒子所带的电荷量C.电场强度 D.磁感应强度B答案答案 B粒子以某一速度沿水平直线通过两极板,其受力平衡,有Eq=Bqv,则知当粒子所带的电荷量改变时,粒子所受的合力仍为0,运动轨迹不会改变,故B项正确。2.(多选)如图所示,空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场的方向竖直向下,磁场方向水平(图中垂直纸面向里),一带电油滴P恰好处于静止状态,则下列说法正确的是()A.若撤去电场,P可能做匀加速直线运动B.若撤去磁场,P可能做匀加速直线运动C.若给P一初速度,P可能做匀速直线运动D.若给P一初速度,P可能做顺时针方向的匀速圆周运动CD答案答案 CD由于P处于静止状态,由受力分析知电场力方向向上,则P带负电。若撤去电场,油滴在重力作用下运动,受重力和磁场力作用,由于磁场方向与速度垂直,油滴必做曲线运动,故A错。若撤去磁场,受重力和电场力仍处于平衡状态,故B错。若所给初速度的方向与磁场方向平行,油滴只受重力和电场力处于平衡状态,做匀速直线运动。若所给初速度的方向向上与磁场方向垂直,合力等于洛伦兹力,油滴做顺时针方向的匀速圆周运动,故C、D正确。3.如图所示,在匀强电场和匀强磁场共存的区域内,电场的场强为E,方向竖直向下,磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,一质量为m的带电粒子,在场区内的一竖直平面内做匀速圆周运动,则可判断该带电粒子()CA.带有电荷量为 的正电荷B.沿圆周逆时针运动C.运动的角速度为 D.运动的速度为 BgEEBmgE答案答案 C带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动,有mg=qE,求得电荷量q=,根据电场强度方向和电场力方向判断出粒子带负电,A错;由左手定则可判断粒子沿顺时针方向运动,B错;由qvB=mv得=,则=,C对,D错。mgEqBmmgBEmgBEEBgw深化拓展深化拓展考点一考点一带电粒子在电场和磁场中的运动比较带电粒子在电场和磁场中的运动比较考点二考点二带电粒子在复合场中的运动带电粒子在复合场中的运动考点三考点三带电粒子在交变复合场中的运动带电粒子在交变复合场中的运动深化拓展深化拓展考点一带电粒子在电场和磁场中的运动比较考点一带电粒子在电场和磁场中的运动比较1.“磁偏转磁偏转”和和“电偏转电偏转”的区别的区别 匀强电场中的偏转匀强磁场中的偏转偏转产生条件带电粒子以速度v0垂直射入匀强电场带电粒子以速度v0垂直射入匀强磁场受力特征只受恒定的电场力F=Eq,方向与初速度方向垂直只受大小恒定的洛伦兹力F=qv0B,方向始终与速度方向垂直运动性质匀变速曲线运动(类平抛)匀速圆周运动轨迹抛物线圆或圆弧运动轨迹图运动规律vx=v0 vy=tx=v0t y=qv0B=R= T=动能变化动能增大动能不变运动时间t=t=T=qEm2qEt2m20mvR0mvqB2 mqB0 xv2mBq做功情况电场力既改变速度方向,也改变速度的大小,对带电粒子要做功洛伦兹力只改变速度方向,不改变速度的大小,对带电粒子永不做功2.带电粒子在分离电场、磁场中运动问题的求解方法带电粒子在分离电场、磁场中运动问题的求解方法 1-1 (2017北京西城期末,19)利用电场和磁场来控制带电粒子的运动,在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用。如图1所示为电子枪的结构示意图,电子从炽热的金属丝中发射出来,在金属丝和金属板之间加以电压U0,发射出的电子在真空中加速后,沿电场方向从金属板的小孔穿出做直线运动。已知电子的质量为m,电荷量为e,不计电子重力及电子间的相互作用力。设电子刚刚离开金属丝时的速度为零。图1(1)求电子从金属板小孔穿出时的速度v0的大小;(2)示波器中的示波管是利用电场来控制带电粒子的运动。如图2所示,Y和Y为间距为d的两个偏转电极,两板长度均为L,极板右侧边缘与屏相距x,OO为两极板间的中线并与屏垂直,O点为电场区域的中心点。接(1),从金属板小孔穿出的电子束沿OO射入电场中,若两板间不加电场,电子打在屏上的O点。为了使电子打在屏上的P点,P与O相距h,已知电子离开电场时速度方向的反向延长线过O点。则需要在两极板间加多大的电压U; 图2(3)电视机中显像管的电子束偏转是用磁场来控制的。如图3所示,有一半径为r的圆形区域,圆心a与屏相距l,b是屏上的一点,ab与屏垂直。接(1),从金属板小孔穿出的电子束沿ab方向进入圆形区域,若圆形区域内不加磁场时,电子打在屏上的b点。为了使电子打在屏上的c点,c与b相距l,则需要在圆形区域内加垂直于纸面的匀强磁场。求这个磁场的磁感应强度B的大小。 图33答案答案(1)(2)(3) 02eUm04(2 )U dhL Lx13r06U me解析解析(1)电子在电场中运动,根据动能定理eU0=m解得电子穿出小孔时的速度v0=(2)电子进入偏转电场做类平抛运动,在垂直于极板方向做匀加速直线运动。设电子刚离开电场时垂直于极板方向偏移的距离为y根据匀变速直线运动规律y=at2根据牛顿第二定律a=电子在水平方向做匀速直线运动L=v0t联立解得y=由图可知=1220v02eUm12EemUedm204ULU dyh/ 2/ 2LLx解得U=(3)电子以速度v0在磁场中沿圆弧AB运动,圆心为D,半径为R,如图所示。洛伦兹力提供向心力有ev0B=m电子离开磁场时偏转角度为,由图可知04(2 )U dhL Lx20vRtan =得=60tan =解得B= 3ll32rR3313r06U me1-2 (2016北京海淀期末,16)在科学研究中,可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示,某时刻在xOy平面内的第、象限中施加沿y轴负方向、电场强度为E的匀强电场,在第、象限中施加垂直于xOy坐标平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一质量为m,电荷量为q的带正电的粒子从M点以速度v0沿垂直于y轴方向射入该匀强电场中,粒子仅在电场力作用下运动到坐标原点O且沿OP方向进入第 象限。在粒子到达坐标原点O时撤去匀强电场(不计撤去电场对磁场及带电粒子运动的影响),粒子经过原点O进入匀强磁场中,并仅在磁场力作用下,运动一段时间从y轴上的N点射出磁场。已知OP与x轴正方向夹角=60,带电粒子所受重力及空气阻力均可忽略不计,求:(1)M、O两点间的电势差U;(2)坐标原点O与N点之间的距离d; (3)粒子从M点运动到N点的总时间t。 答案答案(1)(2)(3)+ 2032mvq02mvqB03mvqE53mqB解析解析(1)设粒子经过O点的速度为v, 则cos =对于粒子经过电场的过程,根据动能定理有:qU=mv2-m解得:U=(2)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,运动轨迹如图所示。洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律有:qvB=0vv121220v2032mvq2mvR解得:R=根据几何关系可知,O与N之间的距离 d=R=(3)设粒子在电场中从M点运动至O点所用时间为t1根据牛顿第二定律可知:粒子在电场中的加速度a=粒子通过O点时竖直方向速度vy=v0,根据运动学公式有:vy=at1解得:t1=设粒子在磁场中从O点运动至N点用时为t2,粒子在磁场中运动的周期T=解得:t2=T=02mvqB02mvqBqEm303mvqE2 Rv2253mqB粒子从M点运动到N点的总时间 t=t1+t2=+ 03mvqE53mqB考点二带电粒子在复合场中的运动考点二带电粒子在复合场中的运动一、带电粒子在无约束的复合场中的运动一、带电粒子在无约束的复合场中的运动1.常见运动形式的分析常见运动形式的分析(1)带电粒子在复合场中做匀速圆周运动带电粒子进入匀强电场、匀强磁场和重力场共同存在的复合场中,重力和电场力等大反向,两个力的合力为零,粒子运动方向和磁场方向垂直时,带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。(2)带电粒子在匀强电场、匀强磁场和重力场中的直线运动自由的带电粒子(无轨道约束),在匀强电场、匀强磁场和重力场中的直线运动应该是匀速直线运动,这是因为电场力和重力都是恒力,若它们的合力不与洛伦兹力平衡,则带电粒子速度的大小和方向都会改变,就不可能做直线运动。(粒子沿磁场方向运动除外)2.带电粒子在复合场中运动的处理方法带电粒子在复合场中运动的处理方法(1)搞清楚复合场的组成,一般是磁场、电场的复合;磁场、重力场的复合;磁场、重力场、电场的复合;电场和磁场分区域存在。(2)正确进行受力分析。(3)确定带电粒子的运动状态。注意将运动情况和受力情况结合进行分析。(4)对于粒子连续经过几个不同场的情况,要分段进行分析、处理。(5)画出粒子的运动轨迹,灵活选择不同的运动规律。 2-1 (2017北京东城一模,22)如图所示,将一个质量为m、电荷量为+q的小球,以初速度v0自h高处水平抛出。不计空气阻力影响。重力加速度为g。(1)求小球落地点与抛出点的水平距离。(2)若在空间中加一个匀强电场,小球水平抛出后做匀速直线运动,求该匀强电场的场强大小及方向。(3)若在空间中除加(2)中电场外,再加一个垂直纸面的匀强磁场,小球水平抛出后做匀速圆周运动,且落地点与抛出点的水平距离也为h,求磁场的磁感应强度大小及方向。答案答案(1)v0(2)竖直向上(3)垂直于纸面向外解析解析(1)小球做平抛运动有s=v0t h=gt2解得小球落地点与抛出点的水平距离s=v02hgmgq0mvhq122hg(3)空间中再加一垂直纸面的匀强磁场,小球做匀速圆周运动,洛伦兹力充当向心力,设圆周运动的半径为R根据牛顿第二定律有qv0B=m由题知R=h解得磁感应强度大小B=磁场方向:垂直于纸面向外20vR0mvhq(2)空间中加一匀强电场,小球做匀速直线运动,小球所受合力为零根据平衡条件有mg=qE解得电场强度大小E=电场方向:竖直向上mgq2-2如图所示,空间同时存在水平向右的匀强电场和方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。质量为m、带电荷量为q的液滴,以某一速度沿与水平方向成角斜向上进入正交的匀强电场和匀强磁场叠加区域,在时间t内液滴从M点匀速运动到N点。重力加速度为g。(1)判定液滴带的是正电还是负电,并画出液滴受力示意图;(2)求匀强电场的场强E的大小;(3)求液滴从M点运动到N点的过程中电势能的变化量。答案答案(1)见解析(2)(3)- tanmgq22tanm g tqB解析解析(1)液滴从M点到N点做的是匀速直线运动,受力分析(如图所示)知其所受洛伦兹力斜向左上方,所以液滴带正电。(2)由图可知Eq=mg tan E=(3)设液滴运动的速度为v,由图可知tanmgqmg=qvB cos v=设M、N之间的距离为d,则d=vt=液滴从M点运动到N点,电场力做正功,电势能减少,设电势能变化量为EE=-Eqd cos =-mg tan cos =-cosmgqBcosmgtqBcosmgtqB22tanm g tqB二、带电粒子在复合场中有约束情况下的运动二、带电粒子在复合场中有约束情况下的运动带电粒子在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下,常见的运动形式有直线运动和圆周运动,此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况,并注意洛伦兹力不做功的特点,用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。 2-3(多选)如图所示,ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道,其中AB为倾斜直轨道,BC为与AB相切的圆弧轨道,并且圆弧轨道处在匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。质量相同的甲、乙、丙三个小球中,甲球带正电,乙球带负电、丙球不带电,现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放,都恰好通过圆弧轨道的最高点,则()CDCD在最高点时,由左手定则可知,甲球受洛伦兹力向下,乙球受洛伦兹力向上,而丙球不受洛伦兹力,故三球在最高点受合力不同,故由F合=m可知,三小球的速度不相等,故A错误;因甲球在最高点受合力最大,故甲球在最高点的速度最大,故B错误;因洛伦兹力和支持力不做功只有重力做功,故小球机械能守恒,因甲球的速度最大,则甲球释放时的高度最高,故C、D正确。2vrA.经过最高点时,三个小球的速度相等B.经过最高点时,甲球的速度最小C.甲球的释放位置比乙球的高D.运动过程中三个小球的机械能均保持不变2-4如图所示,套在很长的绝缘直棒上的小球,质量为1.010-4 kg,带4.010-4 C正电荷,小球在棒上可以滑动,将此棒竖直放置在沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中,匀强电场的电场强度 E=10 N/C,方向水平向右,匀强磁场的磁感应强度B=0.5 T,方向为垂直于纸面向里,小球与棒间的动摩擦因数为=0.2,求小球由静止沿棒竖直下落的最大加速度和最大速度。(设小球在运动过程中所带电荷量保持不变,g取10 m/s2) 答案答案 2 m/s25 m/s解析解析带电小球沿绝缘棒下滑过程中,受竖直向下的重力、竖直向上的摩擦力、水平方向的弹力和洛伦兹力及电场力作用。当小球刚开始下落时,弹力等于电场力,小球在竖直方向所受摩擦力最小,小球加速度最大。小球运动过程中,弹力等于电场力与洛伦兹力之和,随着小球运动速度的增大,小球所受洛伦兹力增大,小球在竖直方向的摩擦力也随之增大,小球加速度减小,速度增大,当小球的加速度为零时,速度达到最大。小球刚开始下落时,加速度最大,设为am,这时竖直方向有:mg-Ff=ma在水平方向上有:qE-FN=0又Ff=FN由式得am=mgqEm代入数据得am=2 m/s2小球沿棒竖直下落,当速度最大时,加速度a=0在竖直方向上有:mg-Ff=0在水平方向上有:qvmB+qE-FN=0又Ff=FN由式得vm=代入数据得vm=5 m/smgqEqB考点三带电粒子在交变复合场中的运动考点三带电粒子在交变复合场中的运动3-1 如图甲所示,宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2),存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示),电场强度的大小为E0,E0表示电场方向竖直向上。t=0时,一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域,沿直线运动到Q点后,做一次完整的圆周运动,再沿直线运动到右边界上的N2点。Q为线段N1N2的中点,重力加速度为g。上述d、E0、m、v、g为已知量。甲 乙 (1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小;(2)求电场变化的周期T;(3)改变宽度d,使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域,求T的最小值。答案答案(1) (2)+(3) 0mgE02Ev2dvvg(21)2vg解析解析(1)微粒做直线运动,则mg+qE0=qvB微粒做圆周运动,则mg=qE0联立式得q=B=(2)设微粒从N1运动到Q的时间为t1,做圆周运动的周期为t2,则=vt1qvB=m2R=vt20mgE02Ev2d2vR联立得t1=,t2=电场变化的周期T=t1+t2=+(3)若微粒能完成题述的运动过程,要求d2R联立得R=设N1Q段直线运动的最短时间为t1min,由得t1min=因t2不变,T的最小值Tmin=t1min+t2= 2dvvg2dvvg22vg2vg(21)2vg3-2 (2016北京东城一模,24)电视机的显像管中电子束的偏转是应用磁偏转技术实现的。如图1所示为显像管的原理示意图。显像管中有一个电子枪,工作时阴极发射的电子(速度很小,可视为零)经过加速电场加速后,穿过以O点为圆心、半径为r的圆形磁场区域(磁场方向垂直于纸面),撞击到荧光屏上使荧光屏发光。已知电子质量为m、电荷量为e,加速电场的电压为U,在没有磁场时电子束通过O点打在荧光屏正中央的M点,O、M间距离为s。电子所受的重力、电子间的相互作用力均可忽略不计,也不考虑磁场变化所激发的电场对电子束的作用。由于电子经过加速电场后速度很大,同一电子在穿过磁场的过程中可认为磁场不变。(1)求电子束经偏转磁场后打到荧光屏上时的速率。(2)若磁感应强度随时间变化关系如图2所示,其中B0=,求电子束打在荧光屏上发光所形成的“亮线”长度。(3)若其他条件不变,只撤去磁场,利用电场使电子束发生偏转。把正弦交变电压加在一对水平放置的矩形平行板电极上,板间区域有边界理想的匀强电场。电场中心仍位于O点,电场方向垂直于OM,为了使电子束13r6mUe答案答案(1)(2)2s(3)见解析解析解析(1)设经过电子枪中加速电场加速后,电子的速度大小为v根据动能定理有eU=mv2电子束经过磁场区域速度大小不变,电子束打在荧光屏上时的速率为v=2eUm3122eUm打在荧光屏上发光所形成的“亮线”长度与(2)中相同,问:极板间正弦交变电压的最大值Um、极板长度L、极板间距离d之间需要满足什么关系?(由于电子的速度很大,交变电压周期较大,同一电子穿过电场的过程可认为电场没有变化,是稳定的匀强电场)(2)设电子在磁场中做圆周运动的半径为R,运动轨迹如图所示,根据几何关系有tan =洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律有evB=m当B=B0=时,电子在荧光屏上的落点距M点最远解得=60电子在荧光屏上落点距M点最远距离y=s tan =s2rR2vR13r6mUe3荧光屏上亮线长度Y=2y=2s(3)若使电子束打在荧光屏上所形成“亮线”的长度与磁偏转时相同,则电子束的最大偏转角=60保持不变,则tan =。3yxvv3当电子达到最大偏转角时,恰好从极板边界射出。这种情况下,=,即d=L。设此时两极板间电压为U1。由牛顿第二定律有:ay=由匀加速直线运动规律有:=2ay且vx=解得:U1=6U当极板间电压再大时,电子不能从极板边界射出,故不会形成亮线,因此,Um6U2dL2yxvtv t3eEm1eUmd2yv2d2eUm当电子达到最大偏转角时,不是从极板边界射出,即dL,此时两极板间电压达到Um(电压再增大,电子偏转角增加,亮线长度增加)。由牛顿第二定律有:ay=由匀加速直线运动规律有:vy=ayt,t=联立解得:Um=U3meUmdxLv2 3dL
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