并联机器人控制系统方案设计书与实验研究

学校代码：10151论文成绩：学生学号：2220063653大连海事大学毕业论文二一年六月并联机器人控制系统设计与实验研究专业班级：机械设计制造及其自动化姓名：黄鑫指导教师：关广丰交通与物流工程学院中文摘要内容摘要本论文主要研究六自由度平台的位置反解，通过仿真实验和在xPC环境下的实时控制实验来验证算法的可行性。首先，采用矩阵分析方法，推出了体坐标系与静坐标系之间的变换矩阵及其液压缸上下铰支点的坐标向量矩阵，由此确立了转台液压缸长度变换与上台面位置的关系，从而解决了六自由度转台机构的位置反解。其次，通过MATLAB /Simulink将方程搭建出来进行系统仿真。运用Simulink中的模块将位置反解方程搭建出来，通过计算机模拟仿真，由用户给定的位姿求解出缸长变换。并且通过仿真初步验证反解方程的正确性。同时考虑到一定得实际情况， 为使信号平稳的输入，使平台平稳的升到中位，加入渐缩渐放模块，以达到预期的效果。最后， 运用 MATLAB/xPC进行实时控制。以Simulink搭建出来的模型为基础，生成能够进行实时控制的目标应用程序。运用此目标应用程序进行实时仿真和实时控制实验，并在此实验的基础上记录分析实验数据，通过对比实时控制实验数据与仿真实验数据，数据重合度高，从而验证算法的可行性。论文研究了控制并联机器人的核心算法。通过对比实时控制实验数据与仿真实验数据，由数据重合度高可得到该算法以及此算法上搭建的控制系统能够用于实际的并联机器人的控制。关键词：六自由度平台位置反解仿真模型实时控制The module of英文摘要AbstractThis paper mainly studies the control of 6 DOF platform. The feasibility of the algorithm is to be verified by the simulation experiments and the real-time control experiments in xPC environment.Firstly, the coordinate-transformation matrix between static coordinate system and body coordinate system can be gotten by the matrix analysis method, and also the coordinate matrix of the rounded support can be gotten. The equations of position reverse solution of the 6 DOF platform can be established through making sure of the relationship between the change of the hydraulic cylinder length and the position of the platform. Secondly, a Simulink Model is be created by using the MATLAB /Simulink. Through the computer simulation, the change of the hydraulic cylinder length can be solved by the position and orientation given by the user. Thenmake sure whether the equations of position reverse solution is correct or not by simulating theSimulink Model.rate limiter is added into the simulink Model in orderto input the signal smoothly. Finally, the platform is controlled in real time by xPC. The xPC target application which can be put into use in the real time control is based on the Simulink Model. Through the comparison with experimental data in real-time control and simulation experimental data, the feasibility of the algorithm can be verified.This papar studies the core part of the parallel link robot. Through the comparison with experimental data in real-time control and simulation experimental data, the feasibility of the algorithm can be verified, and the control system which is based on the algorithm can be used in the control of the parallel link robot.Key words 6 DOF platform; position reverse solution; Simulink Model; realtime control目录目录1绪论.- 1 -1.1课题研究的目的和意义 .-1-1.2六自由度转台系统简介 .-1-1.3国内外研究概况 .-2-1.3.1国内研究概况 .- 2 -1.3.2国外研究概况 .- 3 -1.4本论文研究的主要内容 .-4-2六自由度转台运动学分析 . .- 5 -2.1坐标系的建立 .-5-2.2广义坐标系定义 .-5-2.3坐标变换矩阵 .-6-2.4液压缸铰支点坐标的确定 .-8-2.4.1平台参数 .- 8 -2.4.2坐标求解 . .- 8 -2.5系统质心运动规律与控制点运动规律.-12-2.6转台位置反解 .-13-2.7本章小结.-13-3 基于 MATLAB/SIMULINK运动学仿真 . .-14-3.1系统模型.-14-3.2系统工作范围确定 .-15-3.3模拟仿真.-15-3.3.1实验参数 . .-16-3.3.2仿真结果 .-16-3.3.3仿真结论 .-17-3.4渐入渐出.-17-3.4.1系统启动 .-17-3.4.2给入信号 .-19-3.5本章小结.-20-4 实验研究.-21-4.1X PC基本概念简介 .-21-4.1.1 xPC目标概念 .-21-4.1.2 xPC目标的特点 .-21-4.2X PC目标的软件环境特征 .-21-4.2.1实时内核 . .-23-4.2.2信号的采集和分析功能 . .-23-4.2.3参数调节功能 . .-23-4.3X PC目标的硬件环境 .-24-4.3.1主机 PC .-24-目录4.4.2目标 PC .-24-4.3.3Host-Target连接 .-24-4.3.4I/O 驱动的支持 .-25-4.4 控制系统模型完善和实时仿真.-25-4.4.1仿真模型修改 .-25-4.4.2创建目标应用程序 . .-26-4.5 实时控制实验及数据分析 .-27-4.5.1实时控制实验 .-27-4.5.3实验结论 .-33-4.6 本章小结 .-33-5 总结 .-34-机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文并联机器人控制系统设计与实验1 绪论1.1 课题研究的目的和意义并联六自由度转台是具有重大经济价值和国防战略意义的高精尖实验设备。与传统的串联式多自由度运动机构相比，它具有承载能力强，刚度好，无积累误差，精度高等优点。70 年代初，美国的 NASA等研究中心公布了并联式六自由度平台研究成果之后，相继出现了装有六自由度运动平台的飞行模拟器。进入 80 年代特别是 90 年代以来，六自由度运动平台越来越广泛的应用于机器人、并联机床、空间对接计术、航空航海设备、摇摆模拟以及娱乐设施上。直到现在，并联式六自由度平台在工业上还未得到广泛应用，其主要原因：运动学问题，特别是正运动学问题还没得到很好的解决；动力学问题没有解决；平台各分支间的耦合干扰难于消除。目前我国的六自由度转台设计水平和制造水平与西方发达国家相比差距还是相当大，对六自由度转台控制理论、控制系统与技术研究的这些领域内的关键课题所做的工作还很粗浅。因此对六自由度的关键组成部分进行深入的理论分析和实验研究，尽快研制出性能优良的六自由度转台，提高我国的仿真技术水平，具有重大的理论意义和实际应用价值。1.2 六自由度转台系统简介六自由度转台系统是对飞机、舰船、宇航和车载设备进行动态可靠性研究的重要模拟试验装置，现已成为现代飞机工业、舰船、宇航和车载工业发展的重要工具，同时也是相应飞行员、船员及车辆驾驶员进行飞行模拟训练、舰船航行模拟训练和车辆驾驶模拟训练的有力手段。六自由度转台的运动系统，除了少数采用伺服电机驱动滚动丝杠的方式外，几乎都采用液压油缸的驱动方式。在转台的发展过程中，曾出现过三自由度、四自由度、五自由度的运动系统，1965年 D.Stewart提出了一种六自由度的平台模型，最初用于飞行训练的模拟驾驶舱31. 1978年针对串联机械手的缺点， 即刚度差、 承载能力弱、 有误差累集等， 提出并联机械手的概念。此后， Stewart 平台受到越来越多的重视，各国的学者对六自由度转台进行了广泛的研究，很大程度的解决了转台的运动学、动力学问题151 ，为其在工程上的应用奠定了理论基础。经过， T.WLee，曲义远、黄真等人的研究，一些平台型模拟器的位移逆解得到了解析分析，位移正解的解析分析也取得了进展。由于在理论上基本解决了六自由度系统的运动学和动力学问题，加之它能模拟船舶、飞行器、车辆六个自由度的动感，结构布局合理，因此得到了广泛应用。目前在航海、航空及车辆的模拟器中基本采用这种六自由度运动系统。自 1993 年，第一台并联机器人在美国德州自动化与机器人研究所诞生以来，并联机器人无论在结构和外型都得到了充分的发展，其可分为以下几类：（ 1）按自由度的数目分类，并联机器人可做F 自由度（ DOF ）操作，则称其为F 自由度并联机器人。例如：一并联机器人有六个自由度，称其为6-DOF并联机器人。冗余并联机器人，即其自由度大于六的并联机构。欠秩并联机器人，即机构的自由度小于其阶的并联机构。（ 2）按并联机构的输入形式分类，可将并联机器人分为：线性驱动输入并联机器人和旋转驱- 1 -机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文动输入并联机器人。研究较多的是线性驱动输入的并联机器人，这种类型的机器人位置逆解非常简单，且具有唯一性。 旋转驱动输入型并联机器人与线性驱动输入并联机器人相比，具有结构更紧凑、惯量更小、承载能力相对更强等优点；但它的旋转输入形式决定了位置逆解的多解性和复杂性。（ 3）按支柱的长度是否变化分类，可将并联机器人分为：一种为采用可变化的支柱进行支撑上下平台的并联机器人。 例如：这种六杆的并联机器人称为 Hexapod ，运动平台和基座由六个长度可变化的支柱连接的，每个支柱的两端分别由铰链连接在运动平台和基座上，通过调节支柱的长度来改变运动平台的位姿。另一种为采用固定长度的支柱进行支撑上下平台的并联机器人。例如：这种六杆的并联机器人称为 Hexaglide ，运动平台和基座是由六个长度固定的支柱连接的，每个支柱一端由铰链连接在运动平台上，另一端通过铰链连接在基座上，该端铰链可沿着基座上固定的滑道上下进行移动，由此来改变运动平台的位姿。相对于串联机器人来说，并联机器人具有以下优点： 与串联机构相比，刚度大，结构稳定； 承载能力强；运动惯性小；在位置求解上，串联机构正解容易，反解困难，而并联机器人正解困难，反解容易。由于并联机器人的在线实时计算是要求计算反解的，这对串联机构十分不利，而并联机构却容易实现，由于这一系列优点，因而扩大了整个机器人的应用领域。81.3 国内外研究概况目前，国内外对六自由度平台的研究主要集中在动力学、运动学、机构学、控制技术以及平台运动的误差分析等几个方面。动力学分析及控制技术的研究主要是进行动力学分析和建模，并且研究控制算法，对六自由度平台实施控制。机构学与运动学分析主要研究并联机构的运动学问题、奇异位形、工作空间、干涉分析和灵巧度分析等方面。机构学与运动学研究是六自由度平台实现控制和应用以及机构优化设计的基础。国内研究概况二十世纪 80 年代后期到 90 年代中期， 国内外对六自由度平台方面的研究主要是在平台的位置正解方面。 1989 年曲义远、 黄真提出利用三维搜索法将6-SPS 机构的非线性方程组的未知数降为三个，该方法具有计算速度快求解精度高，尤其是初值容易选取等优点。1994 年饶青等研究了一般6-6 型六自由机构的正解问题，根据机构的几何等同性原理，采用拆杆的方法，使用矢量工具结合代数消元法获得了可求取其封闭解的20 次多项式方程。陈永等研究了一般6-SPS 机构，提出了基于同伦函数的新迭代法，其正位置分析模型的建立采用了旋转变换矩阵和矢量工具，不需取初值并可求出全部解，比传统的同伦连续法简单，简化了求解过程，提高了计算效率和可靠性，推导出了包含 12 个未知量的 12 个 2 次方程，并把该方程的40 个解全部求出。郑春红等研究了基于遗传算法的六自由度平台的位置正解，充分利用六自由度平台位置反解相对容易求解的特点，把其位置正解问题转化为假设已知其空间六自由度参数，使得其给定杆长与上述假定六自由度参数求得的杆长之差的最小值优化问题， 较好地克服了其它数值解法的位置正解精度与初值的选取有直接的关系的弊端。六自由度平台工作空间的解析求解是个极其复杂和繁琐的问题，至今仍没有完善的方法。1992年李瑞琴等提出用数值分析与优化相结合的方法对6-SPS 六自由度平台的工作空间进行研究，根据该机构的特点和应用需要而把上平台中心可达范围分别定义为定姿态可达空间和工作空间两类。对于给定结构参数的 6-SPS 机构，在确定工作空间的最高点和最低点后，即可快速计算出其工作空间- 2 -机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文的边界。 1998 年黄田提出以微分几何和集合论为工具，研究并联机器人工作空间的解析建模方法，应用单参数曲面族包络理论， 将受杆长和连架球铰约束的工作空间边界问题归结为对若干变心球面族的包络面求交问题。2001 年周冰等首次提出六自由度平台的力的工作空间的概念，并对其进行了初步探讨。2002年范守文等人提出了一种并联机器人工作空间分析的解析方法，该方法以曲面分析为基础，结合六自由度平台的运动特性得到了其工作空间边界曲面的方程，该方程是双参数隐函数方程。在六自由度平台的动力学分析方面，黄真和王洪波利用影响系数法对并联机器人进行了受力分析，并建立了并联机器人的动力学模型，孔令富等也建立了其动力学方程，并提出了动力学模型的并联计算方法。国外研究概况自从 Stewart 提出六自由度平台概念以来，国外一直都在开展关于六自由度平台理论方面的研究。1984 年 Fichter 在对六自由度并联结构作了深入的理论分析的基础上，推导出位置反解方程，Yang 等构造了含有六个未知数的由六个非线性方程组成的非线性方程组，并求解了该方程。1992年 Raghavan 利用数值连续的方法，从位置反解入手，首次推导出一般形式的六自由度并联机构最多具有40 个可能解。1993 年， Geng 和 Hanes 首次提出了六自由度平台的立方体结构(Cubicconfiguration) 模型； 2003 年， Jafari 和 McInroy 在给出了正交六自由度平台的严格定义并进行了证明。在奇异位形研究方面Gosselin 和 Angeles 提出了一种基本的分析方法，通过机构的速度约束方程把六自由度并联机构的奇异位形分为边界奇异、局部奇异和结构奇异。Hunt 和 Fichter 首先研究了在一些具体的几何条件下的六自由度平台的奇异位形，Merlet 用 Grassmen geometry 法分析了六自由度平台的奇异位形，这种方法直观、有效，可以找出机构很多的奇异位形。S.Bhattacharya、B.Dasgupta 和等对六自由度并联机构如何避开工作空间中的奇异位形进行了基础性的研究。在六自由度平台工作空间的研究中， Fichter 采用固定三个姿态参数和一个位置参数而让其它两个变化的方法，研究了六自由度并联机器人的工作空间，利用圆弧相交的方法来确定六自由度并联机构在固定姿态时的工作空间，该方法不仅可以直接计算工作空间的大小，而且效率也比较高。Masofy 等同时考虑到各关节转角的约束，各连杆长度的约束和机构各构件的干涉来确定并联机器人的工作空间，并且采用数值积分的方法计算工作空间。Gosselin 发展了 Jo 提出的几何法，该方法基于给定动平台姿态和受杆长极限约束时假想单开链末杆参考点运动轨迹为一球面的几何性质，将工作空间边界构造归结为对12 张球面片求交问题。 Ji将给定姿态时动平台铰支点的球面运动轨迹定义为顶点空间，将工作空间边界的求解归结为顶点空间求交问题。此外，Merlet 还研究了固定动平台参考点，求解相应极限姿态空间的解析方法。Fichter 和 Merlet 较早的开展了六自由度平台动力学方面的研究。他们在忽略平台腿部惯量影响的情况下建立了六自由度平台的动力学方程。Sugimoto 以六自由度平台为例分析了并联机器人的动力学问题，但是在分析中并没有给出详细的推导过程。Do 和 Yang 在假设关节无摩擦，杆的中心位于杆的轴线上， 并且杆的力矩惯量是可以忽略的情况下，利用牛顿 -欧拉法研究了六自由度平台的逆动力学问题。 因为六自由度平台具有完整的一般性结构和惯性扰动，Dasgupta 和 Mruthyunjaya利用牛顿 -欧拉法计算了完整的逆动力学方程，有效的计算方法显示出其适合于并联计算。Lebret 等利用拉格朗日方程建立了完整的并联机构的动力学方程。13目前世界上研制六自由度转台的国家较多，主要有加拿大、美国、英国、法国、德国、日本、俄罗斯、荷兰等国，并且大多用于飞机( 包括战斗机、运输机和民航客机) 模拟飞行训练，在舰船、装甲车辆、自行火炮等方面也有应用。早期研制的六自由度转台系统主要用于军事目的，例如美国- 3 -机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文五十年代开始研制的摇摆模拟台，就用于装备海军。近几年来，六自由度转台系统也开始被应用到工业甚至娱乐场所，如美国 Ford 汽车公司研制的汽车行驶仿真器、Ingersoll机床公司生产的并联机床等等，用于娱乐场所的六自由度游乐模拟台则是一种模拟运动载体特征，给人视觉、听觉、触觉以全方位真实感受的现代化新潮游乐设备，美国、日本等国家的一些著名游乐场所已有六自由度UFO体感模拟台、航空航海模拟台p5-181 ，这是当代科技向游乐业渗透的产物。六自由度转台的另一个重要的发展方向，是作为微动机构或微型机构，在三维空间微小移动(2pm -20 pm) 之间，仍具有小的工作空间，这种微动机构正好发挥了六自由度转台的特点，工作空间不大但精度和分辨率都非常高。一个例子是用在眼科手术中，治疗视网膜静脉闭塞，另有一种微动双指并联机构，用于生物工程上的微细外科手术中的细胞操作。我国研究六自由度转台起步较晚，直到90 年代，这项技术才受到各方面的重视。与国外一样，我国早期研制的六自由度转台也主要用于军事目的，模拟飞机、舰船、宇航和装甲车辆等的运动，如 92 年哈尔滨工程大学研制成功的六自由度船舶运动模拟器，94 年华中理工大学为青岛海军潜艇学院研制的教学训练用六自由度转台，98 年海军工程学院研制成功的六自由度潜艇模拟台等等，在工业上的应用，则主要是在并联机床的研制上。在微动机构方面，我国也取得了进展，如燕山大学于 94 年研制的机器人位置补偿器，用于补偿串联机器人手臂所发生的误差而提高机器人的精度。81.4 本论文研究的主要内容（1）六自由度平台位置反解已知输出构件平台的位置和姿态， 来求解输入构件六个液压缸的位置和姿态的过程就是位置反解。通过机构学的基本知识推导出六自由度平台位置反解的方程。（ 2）运用 MA TLAB/Simulink 进行系统模拟仿真通过 MATLAB/Simulink 将位置反解的方程搭建出来，对系统进行模拟仿真，对系统进行调试、修改。（ 3）通过 MA TLAB/xPC 进行实时控制在 MATLAB/xPC环境下进行系统的实时控制，控制六自由度平台达到预期动作。- 4 -机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文2 六自由度转台运动学分析六自由度转台的运动学分析主要包括位置、速度和加速度分析。本论文主要对六自由度平台进行位置反解分析，即当已知转台输出的位置和姿态，求解输入的位置和姿态的过程。本章采用矩阵分析方法， 选用两个直角坐标系，推导出二者之间的齐次变换矩阵和液压缸上下铰的坐标向量矩阵，在此基础上建立了转台输入与输出构件间的位置关系。 本章最后推导出了一种求解位置正解的数值方法。六自由度转台机构的位置反解，是在已知转台的位置和姿态的情况下，求解六个液压缸的位置。2.1 坐标系的建立为了清楚地描述台体的运动，选取两个坐标系，即体坐标系OXYZ和静坐标系OXYZ，如图2-1 所示。图 2-1 静坐标系与体坐标系位置示意图选取体坐标系 ( 又称动坐标系 ) 的坐标原点为载体和平台的综合质心，坐固定在台体上，坐标轴的方向与台体的惯性主轴方向平行，载体的安放也使其惯性主轴与体坐标系的坐标轴相平行。将静坐标系 ( 又称参考坐标 ) 固定在大地上。在初始位置时，静坐标系 OXYZ ，与体坐标系完全重合。静坐标系实际上是体坐标系的参考对象，当平台运动时，以大地为参照物，静坐标系是不动的。对于体坐标系，相对于台体来说它是不动的，当以大地为参照物时，它随着平台位置的变化而变化。2.2广义坐标系定义体坐标相对于静坐标的位置可以用广义坐标q 来描述， q 的分量为 qi ,(i= 1,2,.6)。其中q1 q2 q3 为体坐标与静坐标的三个姿态角，q4 q5q6 为体坐标原点 O在静坐标系 OX 、OY 、 OZ.三轴上的坐标。姿态角的定义如图2-2所示。- 5 -机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文Z1ZZq2O（ O）Xq3X 1q12Y3XY1Y中 偏航角 q3 纵摇角 q2 横摇角 q1图 2-2 空间姿态角示意图2.3 坐标变换矩阵体坐标系与静坐标系之间，存在一个变换矩阵。由静坐标系到体坐标系坐标变换的次序为：第一次沿 OX 向，平移 q4 ，变换矩阵为：100q4T1010000100001第二次沿 OY 向，平移 q5 ，变换矩阵为：1000T2010q500100001第三次沿 OZ 向，平移 q6 ，变换矩阵为：图（ 2-1 ）（ 2-2 ）- 6 -机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文1000T30100001（2-3 ）q60001三次平移之后，坐标系OXYZ平移到 OXYZ,接着进行三次旋转变换，第一次绕 OZ 轴旋转偏航角q3 ，变换矩阵为：由于绕 OZ 轴旋 ,Z 轴坐标值不变，只需推导出想x， y 变换关系即可，如图2-3 所示。图 2-3 绕 OZ轴旋由图 2-3 位置关系可得P1 的坐标为x1ACABOD ABxcosq3 y sin q3（ 2-4）y1ADBP1x sin q3y cosq3（ 2-5）由公式 2-4,2-5可得，变换矩阵为公式2-6 ：cosq3sin q300T4sin q3cosq300001（2-6）00001第二次绕 OY1 轴旋转偏航角 q2 ，变换矩阵为：- 7 -机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文cosq20sin q20T50100sin q20cosq2（2-7）00001第三次绕 OX 轴旋转偏航角 q1，变换矩阵为：1000T60cosq1sin q100sinq1cosq1（2-8）00001综合以上各个变换，即可以得到由静坐标系到体坐标系坐标变换矩阵T 为：TT1 T2 T3 T4 T5 T6cos q2 cos q3cosq1 sin q3sin q1 sin q2cos q3sin q1 sin q3cosq1 sin q2 cosq3q4cosq2 sin q3cosq1 cosq3sin q1 sin q2sin q3sin q1 cos q3cos q1 sin q2 sin q3q5(2 9)sin q2sin q1 cosq2cosq1 cosq2q600012.4 液压缸铰支点坐标的确定平台参数平台结构如图2-3, 平台主要结构参数：上铰点圆半径Ra：0.78m下铰点圆半径Rb：1.02m工作零位时液压缸长度L2：1.75m上铰点之间的最短距离da：0.2m下铰点之间的最短距离db：0.3m坐标求解体坐标系与静坐标系坐标原点都在平台上表面中心用矩阵 A 来表示液压缸缸筒上端铰支点在动坐标系中的坐标向量。矩阵 A 第一列的第一行至第三行元素分别表示上铰支点在动坐标系中X 轴、 Y 轴、 Z 轴的坐标，其余列的意义与第一列类似。- 8 -机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文AbmaB图 2-3 平台俯视图如图 2-3 所示，由三角形关系得：d asin b2Ra（ 2-10）解得：barcsinda（ 2-11）2Ra在三角形 A1 AO 中，由三角形关系得：d axRa cos(arcsin)y1 d a2因此 A1 点坐标为：dRa cos(arcsina)A11da20（ 2-12）（ 2-13）（ 2-14）- 9 -机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文经计算 A 点为 2-15Ra cos(arcsin d a )Ra sin(arcsinda)Ra cos(arcsind a)2Ra62Ra32RaA aij 3 61daRa cos(arcsind a)Ra sin(arcsind a)262Ra32Ra000Ra cos(arcsin d a )Ra sin(arcsin d a )Ra cos(arcsin d a )32Ra62Ra2Rad ada1(2 15)Ra sin(3arcsin2Ra)Ra cos(6arcsin2Ra)2d a000将矩阵 A 写成齐次坐标的形式为：Aaij 4 6aij361 16（2-16 ）46初始位置时，矩阵 A 在两个坐标系的值完全一致，当平台运动时，A 在体坐标系中的坐标向量的值不变，但在静坐标系中已经发生变化。液压缸活塞杆上铰支点在静坐标系的坐标向量用G来表示，矩阵 G的计算公式为：Ggij 4 6T A（2-17 ）用矩阵 B 来表示液压缸缸筒上端铰支点在动坐标系中的坐标向量。矩阵 B 第一列的第一行至第三行元素分别表示上铰支点在动坐标系中X 轴、 Y 轴、 Z 轴的坐标，其余列的意义与第一列类似。如图 2-3 ，由三角关系得：sindb（2-18 ）2Rb解得：arcsin db（ 2-19）2Rb在三角形 B1 BO 中，由三角形关系得：xRb cos(arcsin d b)（ 2-20）32RbyRb sin(arcsin d b)（ 2-21）32Rb因此 B1 点坐标为：-10-机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文R cos(arcsindb)b32Rb（ 2-22）B1Rb sin(arcsindb)32Rbh经计算 B 矩阵为 2-23:Rb cos(arcsind b)Rb sin(arcsindb )Rb cos(arcsin d b )32Rb62Rb2RbB bijRb sin(db)Rb cos(arcsind b)136arcsindb32Rb62Rb2hhh将 B 矩Rb cos(arcsindb ) Rb sin(arcsindb ) Rb cos(arcsind b )2Rb62Rb32Rb1Rb cos(d b) Rb sin(d b)(2 23)dbarcsinarcsin262Rb32Rbhhh阵写成齐次形式：Bbij 4 6bij3 61(2-24)1 6h 表示上台面与下台面的初始高度差，A1hlBB1m图 2-4六自由度平台简化图由图 2-3 所示，由于铰支点对称分布，可知AOB；3-11-机械设计制造及其自动化专业2006 级毕业设计论文有公式 2-11 和 2-19 可知：barcsinda（ 2-25）2Raarcsindb（ 2-26）2Rb所以：arcsindaarcsin db32Ra2Rb在三角形 A1 OB1 ，由余弦定理可得，m222RaRb 2Ra Rb cos图 2-4 中 B B1 等于图 2-3 中 A1B1 ，即都等于 m，又图 2-4 中三角形 A1B B1 ，由勾股定理可得：h2l 2m2所以：（ 2-27）（ 2-28）（ 2-29）hl 2 Ra2Rb22Ra Rb cos(arcsin d aarcsin db ) （ 2-30）32Ra2Rb带入平台数据计算可得h=0.5214 。2.5 系统质心运动规律与控制点运动规律以上分析中，所推导的公式中系统的坐标系的原点均为系统上台面的中心。但是在实际的工作中，不是对平台上表面的中心进行控制，而是对距离系统上台面中心 H高度处一点 K 进行