东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案(修改)2

工程矩阵理论试卷样卷10c一、已知矩阵，的子集1、证明：V是的子空间；2、求V的一组基及V的维数；3、证明，并求A在上小题所提基下的坐标；4、试给出的两个不同的子空间及，使得解：1、设，所以，V对加法和数乘封闭，故V是的子空间。2、设 ，所以V的基为，2维。3、，在下的坐标为。4、扩充V的基为上的基,扩充出来的向量生成的子空间即为的基。V的基为，找两组与、线性无关的向量。容易看出，中的四个列向量线性无关，故中的四个列向量也线性无关，故二、假设3维线性空间V上的线性变换在V的基下的矩阵为。问：当满足什么条件时，存在V的一组基，使得的矩阵是？解：、为同一线性变换下的矩阵，故，有相同的jordan标准形，相同的特征值，相同的迹，相同的秩。根据、迹相同(即主对角元素的和相同)得：，时，求得时， 或，三、设矩阵，上的变换定义如下：1、证明：是线性变换；2、求在的基下的矩阵M；3、求的值域及核子空间的基及它们的维数；4、试求M的jordan标准形，并写出的最小多项式；5、问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？解：1、证明：设故关于加法和数乘封闭，为线性变换。2、 3、，的基，2维。 ，的基，2维。4、 5、不能找到四、求下列矩阵的广义逆矩阵：1、；解： 2、，其中，。解：故对B进行满秩分解，五、已知矩阵A的特征多项式与最小多项式相等，均为，给出可能的jordan标准形。解： 根据矩阵A的特征多项式与最小多项式相等，均为，可得： 当,则： 令， 求出代入，求出： 令， 求出代入，求出六、矩阵函数：1、设，求矩阵函数，并给出的特征多项式。解：求： 令， 求的特征多项式：的特征值为，的特征值即为，故的特征值为，。2、设，试将表示成关于A的次数不超过2的多项式，并求。解：，当时， 令 求出代入，求出七、设的子空间，求使得。该题与“工程矩阵理论试卷样卷10a”第三题类似，为找正投影问题。八、证明题：1、证明：若酉矩阵A满足，则。 证明：令 ，为的化零多项式，的特征值一定是的根，（重数未知），（重数未知），设 （可能为0，也可能为1）为酉矩阵，一定相似于，即，由此得的重数为0，（只可能为0）， 得证。2、设H阵A，B均是正定的，证明：AB的特征值均为正实数。 该题与“工程矩阵理论试卷样卷10a”第七题第二小题相同。