物理第一章 直线运动 第3讲 运动图像、追及相遇问题

第3讲运动图像、追及相遇问题知识梳理知识梳理一、运动图像一、运动图像1.x-t图像和图像和v-t图像的比较图像的比较 x-t图像v-t图像图像示例 轴横轴为时间t,纵轴为位移x横轴为时间t,纵轴为速度v线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度速度表示加速度加速度面积无实际意义图线和时间轴围成的面积表示位移位移,时间轴上方面积表示位移为正,下方面积表示位移为负纵截距表示初位置表示初速度特殊点拐点表示从一种运动变为另一种运动,交点表示相遇拐点表示从一种运动变为另一种运动,交点表示速度相等2.a-t图像图像(1)图像的意义(a)物理意义:反映加速度随时间的变化规律。(b)图线斜率的意义:加速度随时间的变化率。(c)图线与时间轴围成的“面积”的意义:反映对应时间内的速度速度变化变化。(2)匀变速直线运动的a-t图像是一条与时间轴平行的直线一条与时间轴平行的直线。1.追及问题的两种类型追及问题的两种类型(1)落后者能追上前者两者速度相等时,相距最远,追上时,两者处于同一同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。(2)落后者追不上前者,则当两者速度相等相等时,两者相距最近。二、追及相遇问题二、追及相遇问题2.相遇问题相遇问题相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于等于开始时两物体间距离时即相遇。 1.某质点做直线运动的位移x和时间t的关系如图所示,那么该质点在 3 s 内通过的路程是()A.3 mB.2 mC.1 mD.0.5 mC答案答案 C由图像可知,在01 s内质点静止在位移为1 m的地方;12 s内质点从位移为1 m的地方匀速运动到位移为2 m的地方;在23 s 内质点静止在位移为2 m的地方,因而质点在3 s内的位移即在12 s内通过的位移,应为1 m。2.(多选)某物体运动的v-t图像如图所示,则下列说法正确的是()A.物体在第1 s末运动方向发生改变B.物体在第2 s内、第3 s内的加速度是相同的C.物体在第4 s末返回出发点D.物体在第5 s末离出发点最远,且最大位移为0.5 mBC答案答案 BC物体在第1 s内做匀加速运动,第2 s内做匀减速运动,第3 s内做反向的匀加速运动,第4 s内做反向的匀减速运动物体在第 2 s 末、第4 s末速度方向发生改变,在第2 s 内和第3 s内的加速度相同均为a=-1 m/s2,在第4 s末物体返回出发点且速度为零。物体在第2 s末、第6 s末离出发点最远,且最大位移为1 m。3.一物体由静止开始沿直线运动,其加速度随时间的变化规律如图所示,取开始运动的方向为正方向,则物体运动的v-t图像正确的是() C答案答案 C本题考查加速度在v-t图像中的表示。在01 s内,a=1 m/s2,物体从静止开始做正向匀加速运动,速度图线是一条倾斜直线,1 s末速度v1=at=1 m/s,在1 2 s内,a2=-1 m/s2,物体将仍沿正方向运动,但加速度为负要减速,2 s末时速度v2=v1+a2t=0,23 s内重复01 s内运动情况,3 4 s内重复1 2 s 内运动情况,故选C项。4.甲、乙两车在平直公路上比赛,某一时刻,乙车在甲车前方L1=11 m处,乙车速度v乙=60 m/s,甲车速度 v甲=50 m/s,此时乙车离终点线尚有L2=600 m,如图所示,若甲车加速运动,加速度a=2 m/s2,乙车速度不变,不计车长。求:(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大,最大距离是多少?(2)到达终点线时甲车能否超过乙车? 答案答案(1)5 s36 m(2)不能解析解析(1)当甲、乙两车速度相等时,两车间距离最大,则v甲+at1=v乙得t1= s=5 s甲车位移x甲=v甲t1+a=275 m乙车位移x乙=v乙t1=605 m=300 m此时两车间距离x=x乙+L1-x甲=36 m(2)甲车追上乙车时,位移关系 x甲=x乙+L1甲车位移x甲=v甲t2+a乙车位移x乙=v乙t2将x甲、x乙代入位移关系式得v甲t2+a=v乙t2+L1,vva乙甲605021221t1222t1222t代入数值并整理得-10t2-11=0,解得t2=-1 s(舍去)或t2=11 s此时乙车位移x乙=v乙t2=660 m,因x乙L2,故乙车已冲过终点线,即到达终点线时甲车不能追上乙车。22t深化拓展深化拓展考点一考点一运动图像的分析与运用运动图像的分析与运用考点二考点二追及相遇问题追及相遇问题深化拓展深化拓展考点一运动图像的分析与运用考点一运动图像的分析与运用1.运动图像主要有x-t图像和v-t图像,运用运动图像解题可总结为六看:一看“轴”,二看“线”,三看“斜率”,四看“面积”,五看“截距”,六看“特殊点”。2.图像既反映出运动规律和运动特征,也是提供信息和解决问题的重要手段。在许多问题中若能运用图像进行分析,对解决问题会起到事半功倍的效果。 轴先要看清两轴所代表的物理量,即图像是描述哪两个物理量之间的关系线表示研究对象的变化过程和规律,如v-t图像中图线若为倾斜直线,则表示物体做匀变速直线运动斜率表示纵、横坐标两物理量的比值,常有一个重要的物理量与之对应,用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢。如x-t图像的斜率表示速度,v-t图像的斜率表示加速度面积图线与坐标轴所围的面积常与某一表示过程的物理量相对应。如v-t图线与t轴所围的面积表示位移截距表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的大小。由此往往能得到一个很有意义的物理量特殊点如交点、拐点(转折点)等,如x-t图像的交点表示两质点相遇,v-t图像的交点只表示速度相等1-1(多选)如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置-时间(x-t)图线。由图可知()A.在时刻t1,a车追上b车B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车的大BC答案答案 BC在位置-时间图像中,图线斜率的绝对值表示速度大小,斜率的正负表示速度的方向,两图线的交点表示同一时刻处于同一位置即追及或相遇。由图可知,t1时刻前b的斜率大于a的斜率,b车速度大于a车的速度,b车处于a车的后方,故t1时刻应是b车追上a车,A错误;t2时刻,b图线斜率小于零,即b沿负向运动,而a图线斜率始终大于零,即a车一直沿正向运动,因此两车速度方向相反,故B正确;由t1t2时间内b图线斜率的绝对值可知C正确;在b图线的顶点处切线水平、斜率为零,即此时b车瞬时速度为零,可见D错误。1-2 (2018北京朝阳期中)如图为一个物体做直线运动的v-t图像。关于物体的运动,下列说法中错误的是()A.01 s内和23 s内的运动方向相同B.23 s内和34 s内的加速度相同C.02 s内和04 s内的位移相同D.01 s内和23 s内的速度变化量相同D答案答案 D v-t图线上各点纵坐标的正、负代表物体运动方向,故A项正确;v-t图线的斜率代表加速度,故B项正确;v-t图线跟横轴所围的面积表示物体的位移,02 s内的位移为(1+2)1 m=1.5 m,04 s内的位移为(1+3)1 m-11 m=1.5 m,故C项正确;01 s内和23 s内速度变化量分别为v1=1 m/s-0=1 m/s和v2=0-1 m/s=-1 m/s,它们的方向相反,故D项错误,故D符合题意。1212121-3甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标,以后甲车一直做匀速直线运动,乙车先加速后减速,丙车先减速后加速,它们经过下一路标时的速度又相同,则()A.甲车先通过下一个路标B.乙车先通过下一个路标C.丙车先通过下一个路标D.三车同时到达下一个路标答案答案 B 根据题意,甲、乙、丙三车的初、末速度均相同,通过的位移也相同,这在速度-时间图像上表现为v-t图线与时间轴包围的面积相等,它们的v-t图像大致如图所示,由图像易知B选项正确。B考点二追及相遇问题考点二追及相遇问题一、追及相遇问题的分析要点一、追及相遇问题的分析要点1.分析追及问题的方法技巧可概括为分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件一个临界条件”、“两个等两个等量关系量关系”。(1)一个临界条件速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点(2)两个等量关系:时间关系和位移关系,通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。2.能否追上的判断方法能否追上的判断方法物体B追赶物体A:开始时,两个物体相距x0,若vA=vB时,xA+x0 xB,则不能追上。3.若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动。 2-1汽车A在红灯前停住,绿灯亮时启动,以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动,经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动。设在绿灯亮的同时,汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过,且一直以相同的速度做匀速直线运动,运动方向与A车相同,则从绿灯亮时开始()A.A车在加速过程中与B车相遇B.A、B相遇时速度相同C.相遇时A车做匀速运动D.两车不可能相遇C答案答案 C作出A、B两车运动的v-t图像如图所示。v-t图线与时间轴所包围的“面积”表示位移,经过30 s时,B车的v-t图线与时间轴所围面积比A车的大,所以在A车加速运动的过程中,两车并未相遇,所以选项A错误;30 s后A车以 12 m/s 的速度做匀速直线运动,随着图线与时间轴所围“面积”越来越大,可以判断在30 s后某时刻两车图线与时间轴所围面积会相等,即两车会相遇,此时A车的速度要大于B车的速度,所以两车不可能再次相遇,选项C正确,选项B、D错误。2-2甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以 4 m/s 的速度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边开始以0.5 m/s2的加速度刹车,从甲车刹车开始计时,求:(1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离;(2)乙车追上甲车所用的时间。答案答案(1)36 m(2)25 s解析解析(1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大,设该减速过程经过的时间为t,则v乙=v甲-at解得:t=12 s此时甲、乙间距离为x=v甲t-at2-v乙t=1012 m-0.5122 m-412 m=36 m。(2)设甲车减速到零所需时间为t1,则有:t1=20 st1时间内,x甲=t1=20 m=100 mx乙=v乙t1=420 m=80 m1212va甲2v甲102此后乙车运动时间t2= s=5 s故乙车追上甲车所用时间:t=t1+t2=25 s。xxv乙甲乙204二、分析追及相遇问题的常用方法二、分析追及相遇问题的常用方法1.物理分析法物理分析法:抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,在头脑中建立起一幅物体运动的图景。2.相对运动法相对运动法:巧妙地选取参考系,然后找出两物体的运动关系。3.数学分析法数学分析法:设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若0,即有两个解,说明可以相遇两次;若=0,说明刚好追上或相遇;若0,说明追不上或不能相遇。4.图像分析法图像分析法:将两者的速度-时间图像在同一坐标系中画出,然后利用图像分析求解。 2-3在水平轨道上有两列火车A和B相距s,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。答案答案 v0 6as解析解析 方法一方法一:(物理分析法)A、B车的运动过程(如图甲)甲利用位移公式、速度公式求解对A车有sA=v0t+(-2a)t2vA=v0+(-2a)t对B车有sB=at2,vB=at两车有s=sA-sB1212追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB联立以上各式解得v0=故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0。方法二方法二:(数学分析法)利用判别式求解,由方法一可知sA=s+sB,即v0t+(-2a)t2=s+at2 6as6as1212整理得3at2-2v0t+2s=0这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式=(2v0)2-43a2s0时,t无实数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0。6as乙方法三方法三:(图像分析法)利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时间图像,其图像如图乙所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有vA=v=v0-2at对B车有vB=v=at以上两式联立解得t=经t时间两车发生的位移之差,即原来两车间的距离s,它可用图中的阴影面积表示,由图像可知s=v0t=v0=所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0。方法四方法四:(相对运动法)巧选参考系求解。以B车为参考系,A车的初速度为v0,加速度为a=-2a-a=-3a。A车刚好追上B车的条件是:vt=0,这一过程A车相对于B车的位移为s,由运动学公式-=2as得:02-=2(-3a)s所以v0=。03va121203va206va6as2tv20v20v6as即要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0。6as