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专题一 函数与导数专题三 不等式、数列、推理与证明 111111()(1. )1()1(112)nnnnnnnnnnnnaaaf nf naqapaq pqapqp apapaf npag np ag n求数列通项的常见方法：累加 乘 法：形如或构造等差或等比数列法：如：， 为常数 ，变形为；为常数 ，为转化；12212111,223nnnnnnnaaabapaqaaAaB aAaABn，转化为，用待定系数法求 、 ，从而转化为等比数列求解数列是定义在正整数集或其有限子集， ，上的特殊函数，在解决数列问题时，可应用函数的概念、性质实现问题的转化，利用动态的函数观点，结合导数等知识是解决数列问题的有效方法以数列为载体，通过数列的和或项来考查不等式的证明或应用是常见题型，应注意不等式的证明方法、数列求和方法等知识的综合应用同时解题时应善于运用基本数学方法，如观察法、类比法、数形结合法等 4数列模型应用问题国民经济发展中的大量问题，如人口增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算等应用问题，就是数列所要解决的问题实际问题中，若问题实质反映的是前后相邻两次(或三次)之间的某种固定关系，适合应用数列建模求解 11*12320092010121()()A.6 B.3 C.2 .1 D 1nnnnaaaaanaaaaaN一、周期数列与创已知数列满足，则连乘积例1的值为 新型数列问题 *(2) 1()_2_nnnnnknnaaap nnNpaaaaakNka定义：在数列中，若， 为常数 则称数列为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；是等方差数列；若是等方差数列，则， 为常数 也是等方差数列；若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为 123412320092010200920101222212212A. 416111201nnnnnnnnnknaa aaaa aaaaaaa aaapaaaa 归纳出数列是以 为周期的数列，且，故，对于，由知是等差数列，命题正确对于，由于，则是等方差数列，命题正确对于，是等方差数列，由知是等差数列，则数选列故解析：222(1)()knk naad是等差数列，即常数 ，命题正确2211().22nnnnnaapaaddpad对于，根据条件知，解得常数 ，命题故填正确 12本题可以训练学生的归纳推理能力，猜想数列可能是周期数列，然后探究数列的周期性有关数列的新定义型试题在高考命题中较常见，问题分析求解的关键是理解“新定义”的内涵并准【点评】确应用201150020600(1)500(1)()2nnn某企业年的纯利润为万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少万元今年初该企业一次性投入资金万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第二、数列模型应年 今年为第一年 的例2利润为万元为正用问整数题 ()12nnnnnABAB设从今年起的前 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元 须扣除技术改造资金 ，求、的表达式；依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 22250020148020490102111500(1)500(1)500(1)600222111500500()600222111225500510005006001120100.2nnnnnnnAn nAnnnBnnn 依题意知，数列解是一个以为首项，为公差的等差数析列：，所以， 222 5005001004901025050102210.50503324410816244nnnnnBAnnnnnf ng nnnnf ng nfgfgnN则时不等式成立依题意得，即，可化简得，所以，即至少经过 年进行技术改造可设，又因为，是后累计纯利润将超减函数，是增函数又，过不改造的累计纯利润数列模型实际应用问题的显著情境是一次一次的变化，且前后相邻两次或三次显现固定的变化模式；求解时可依次探究，归纳出一般规律，也可找相邻前后二次或三次的递推关系式，然后化归为特殊数列问【点评】题求解 12111(201320.93337811123)8nnnnnnnnnnnnnnnaaanSnaSa SSaabbnaaTnT 例3已知数列中，其前 项和为，且当时，求证：数列是等比数列；求数列的通项公式；令，记数列的前 项和为，证明对于任意的正整数 ，都三、数列与成都不等式综合问有模拟题成立 112111111112121112SS(2)104001141 4.1223 4 1 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSa SSSSSSSSSSSnSSnSSSnaSSaSSa 证明：当时，所以又由，可推知对一所以数列是等比数切正整数均有，由知等比数列的首项为 ，公比为 ，所以当时，列，又，所以解析：2 1.3 4 2nnn 2122212111121122123 49339 3 43 4.3 43 3 4341 4193338318373 488241 413nnnnnnnnnnnnnnnnnaabaaabaanbTbn 证明：当时，此时又，所以，22121122 22 121113 411241 414141311()8414111717().4141841837880nnnnnnnnnnnnnnnnbTbbbnbTTTnT 当时，又因为对任意所以对于任意的正整数的正整数 都有，所以单调递增，都有，即，成立 12本题第小题作为等差数列通项公式的逆用，体现了对等差数列的另一种刻画第小题涉及构造函数、运用函数单调性论证不等式，这种分析求解方法在高考中频【点评】繁出现 11*1121234*111*121213111()(2)2(2)11110(1)(1)(1)(23)31nnnnnnnnnnnnnbbbbaaabnnbbbbbbbabnnabnaaaNNN数列满足，若数列满足，且求 ， ，及 ；求证：且；求证：例4 2341111*12211211121111137152112111 22111()12(2)11111111121.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbabnnbbbaabbbbbbbbbaaaabbbbbb N，由，所以证明：因为且，所:以，以析所解，*111(2)nnnnabnnabN且 1212123122111231341121111212121112(1)(1)(1)111111123211122()3111131()132111(1)(1nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabbaabaaaaaabbbababbbbbbbbaa 证明：由知，而，121111)(1)2()nnabbb111112123341112122121 212112(),21 21212111132111110(1)(1111111 2()()()212121212121111)(1).51 2()32313nkkkkkkkkknnnnaaak 当，所以时，所以 本例涉及两个数列，问题实质是有关数列的通项、恒等式和不等式的证明，求解策略是应用转化化归思想和推理证明方法其中不等式证明运用的放缩技巧【点评】是难点 12211*2*12()2463,23(2,3)1(1,2).21()3213()nnnnnnnnnnnfxxaxb abfxxxxabaaf anbnbnSaabSnanNN设函数、 为实数 ，已知不等式对任意的实数均成立定义数列和：， ， ，数列的前 项和为求 、 的值；求备选题 证：求证： 22211111211121111 2462|31 |3010.232322 (2)1(2)22231.221222222.12nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnf xxxxxxffabaf aaaaananaaaaaaabaaa aaaa aaf xxx R由，对均成立得，故，所以由，得，以解所析:11nna-，*1212231111211211112111111()()111111()1().322(2)220(2)(2)3003nnnnnnnnnnnnnnnnnnSnSbbbaaaaaaaaaaaanaaanaanaaaaaN所以因为，所以，所以从而，即，所以 1212121n122121112112122(2)12121 (2)142cc(2)1 log2log(2)log212(2)121 (2)121212(2)3nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaanaaanaccnccndcdddnddndddnn 由，得设，则，且，于是设，则，且，所以，所以，从而1111-111222*21221222121.13221()1 1nnnnnnnndnnndcacnaan N时，所以，所以当时以，所n本题集数列、函数、不等式于一体，主要考查数列的概念、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前 项和的求法、构造新数列法、裂项相消法等知识与方法，此题对学生分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力以及运算能力的要【点评】求较高1数列模型应用题的求解策略与数列有关的应用题大致有三类：一类是有关等差数列的应用题；二是有关等比数列的应用题；三是有关递推数列且可化成等差、等比数列的应用题当然，还包括上述三类问题的综合其中第一类问题在内容上比较简单，建立等差数列模型后，问题常常转化成整式或不等式处理，很容易计算对第二类问题，建立等比数列的模型后，弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数知识，并依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按要求保留一定的精确度对于第三类问题，要将线性递推数列化归为等比数列求解 2数列与不等式综合问题求解思想解答数列与不等式的综合问题时要善于运用函数与方程思想、转化与化归思想，利用数列为特殊函数，用特例分析法、一般递推法及数列的求和、求通项的基本方法、放缩法等方法综合分析问题探究问题计算、推理、论证的途径
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