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专题二 三角变换与平面向量、复数 sin ()cos().1,1sin2()12()1cos2()12()1.sinco1232sin(1s2yx xyxxyxxkkyxkkyyxxkkyxkkyyxyxf xAxRRRZZZZ正弦函数、余弦函数的性质：定义域：值域：对于，当时， 取最大值 ；当时， 取最小值；对于，当时， 取最大值 ；当时， 取最小值周期性：、的最小正周期都是； )cos().2|f xAxT和的最小正周期都是 sin ()(0)()()cos ()(0)()()sin22()2222()c2os222534yx xkkxkkyx xkkxkkyxkkkkkkyxkRZZRZZZZ奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线单调性：在区间，上单调递增，在，上单调递减；在2()22()kkkkkZZ，上单调递增，在，上单调递减 tan |.(0)()()()sin()123sin24222325yxx xkkkkkkkyAxkyxZRZZ正切函数的图象和性质：定义域：，值域是 ，在上面定义域内无最大值也无最小值周期性：周期是奇偶性与对称性：奇函数，对称中心是，单调性：正切函数在，内都是增函数函数的图象与的图象的关系： sin(0)(0)|sin()sin()sin()sin()sin()sin()12341yxyxyxyxyxAyAxyAx函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向左或向右平移个单位长度得的图象；函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；函数的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得到函数的图象；函数的图象上各点00sin()kkkyAxk的横坐标不变，纵坐标向上或向下平移个单位长度，得到的图象 221(2010sin21()cos22cos1 sin(2)2sin)414yxAyxByxCyxDyx 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平【例】长沙市移 个单位长度，所得图象的函数解析式是 一、三角函数的图象及其变换，三角函数一解析式中月考 21sin2 sincoscossin(20)210(0)212216()022)14f xxxyf xyg xg x已知函数，其图象过点， 求 的值；将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数的山图象，求函数在 ， 上的最大值东和最小值 24sin2sin2()sin(2)cos211 cos22B4s21.coyxyxyxxyxx 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，即的图象，再向上平移 个单位长度，所得图象的函数解析式为解，析：故选 2sin2 sincoscossin()(0)sin2 sincoscossin2 sincos2 cos(sin2 sincos21122211 cos22211cos )cos(2)()cos(2)cos()1.22121216 211223026f xxxf xxxxxxxx因为，所以又函数图象过点， ，所以，即又，所以.3 312123421331cos(2)22cos(4)0404cos(4)1.011.323244f xxyf xyg xg xfxxxxxxyg x 由知将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数的图象，可知因为的最大值和最小值， ，所分别为以，因和此，故所以在 ， 上 12三角函数的图象的平移变换是函数图象平移变换的特例，再运用诱导公式及二倍角公式进行化简求解析式本题主要考查综合运用三角函数公式，三角函数图象的平移变换和三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力三角函数的图象和性质是高考重点考查的知识点，基本思想是化归【点评】与转化 2sin()(0)()0312()A 2 B 4 C 6 D 8f xxxf 已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值例2为 二、三角函数的性质： 22sin(2)()01262sA.in(2)63f xxff xxx逐一验证：令，则由，得 的一个值为，这样的，其图象关于直线解对称，选析： sin(2)sin(2)cos6621232()04f xxxxaaaf xf xxf xaR已知函数， 为常数 求函数的最小正周期；求函数的单调递增区间；若， 时，的最小值为，例求3的值 12sin(2)sin(2)cos2sin2cos22sin(663626262)222.().6)3(3(Tkkkf xxxxaxxaxaf xkxkkkxkkf xZZZ，所以函数的最小正周期当，即时，函数单调递增，故所间，求区为解析： 0202sin5,266663.()43xxxf xaa 当， 时，所以，当时，取得最小值，即，所以sin()yAxBx求函数的值域【点应注意 的评】取值范围 2(sin()cos()22(cos()3cos()3.22102123xxxxf xf xf xf xxx 已知向量，三、平面向量、三角函数的图像和性设求函数的周期；若，试求出使为偶函数时的 的值；在成立质的的条件下，求满足且综合例4，的合：运用的集mnm n sin(2)31 cos(2)3 sin(2)3cos(2) 2s.in()312f xxxxf xxx因为所以函数的：周期为解析 sin()cos()01f xAxAxfxf xf xf xx 通过和角公式与降次方法以及辅助角公式可将化简为形如或的函数，再根据题设与，可确定 的值，利用的单调性或图象法，可得出简单的不等【分析】式且，的解集 .320122122225.66655663662fxf xkksinxcos xxxkxkkxf xxZZ依题意，所以，又，所以由即解所以满足题意的 的集合时，为偶函数，为sin()yAx本题主要考查可化为的函数的性质，熟练地进行三角函数式的化简，会运用函数的奇偶性、单调性解决问题是此题获解【点评】的关键 2233331 sincoscos.si2n()f xf xxxAxABCabcbacbxxf xx已知函数将写成的形式，并求其图象的对称中心的横坐标；如果的三边 、 、 满足，且边所对的角为 ，试求 的范围及此备选函数题时的值域 sin(1 cos)sincoss1232232312323232322333in().si32221()2n3331()33120()()f xkkxkxxxxxxxkkk ZZZ先化简函数解析式，由正、余弦函数图象的对称中心求解解三角形中由，即，得，即对称中心的横坐标的三角问题时，注意正、余弦定理【分析】：的应为用 22222221222212523 33395329coscos10.|sinsin()1sin()122333233333223(1(0323( 31223acbacacacacacacbacxxxf xxf xacxxx 由已知，所以，得，因为，所以，所以，即的值域为，综上所述， ，且域，的值为本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域问题，有利于考查学生的运算能力，以及对知识进行整合【点评】的能力()1三角函数的图象，可以利用三角函数线用几何法作出在精确度要求不高时，常用五点法作图，要特别注意“五点”的取法三角函数的定义域是研究三角函数的其他一切性质的前提求三角函数的定义域实际上就是解最简单的三角不等式 组 通常可用三角函数的图象或三角函数线来求解注意数形结合思想的应用sin()(cos()sin (cos2)yAxyAxxx三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题常用的方法有化为或的值域或化为关于或的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为求二次函数在限定区间上的值域 sin(3)(00)()22()22()cos(12)22322yAxAwxkxkkxkxkkxyAxZZ三角函数的单调性函数，的单调区间的确定，基本思想是把看作一个整体比如，由解出 的范围，所得区间即为增区间；由解出 的范围，所得区间即为减区间对于函数的单调性的讨论与上类似比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名三角函数值，再利用单调性比较0,0,sin()(00)sin()“”00.sin(456)(00)()0 (2kkkkyAxAyAxxAxyAxAwxxxkkxxkZ熟练掌握关于，的图象的变换由图象求解析式首先确定 五点法 中的第一个零点需根据图象的升降情况准确判定第一个零点的位置易求 、 ，再由得图象的对称性，的图象关于直线，成轴对称图形，关于点)kZ，成中心对称图形
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