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2.2.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程教学目标：教学目标：1掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求 椭圆的标准方程。椭圆的标准方程。2能用标准方程判定曲线是否是椭圆。能用标准方程判定曲线是否是椭圆。压扁压扁平面内到两个定点平面内到两个定点F F1 1、F F2 2的距离的和等于常数的距离的和等于常数（大于大于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫椭圆）的点的轨迹叫椭圆定点定点F F1 1、F F2 2叫做椭圆的焦点叫做椭圆的焦点F1F2P椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a 2a ；两焦点之间的距离：焦距，记为两焦点之间的距离：焦距，记为2c,2c,即即:F:F1 1F F2 22c.2c.说明说明注意注意a c 0椭圆标准方程的推导：椭圆标准方程的推导：建立直角坐标系建立直角坐标系 列等式列等式求椭圆的方程可分为哪几步？求椭圆的方程可分为哪几步？设点坐标设点坐标代入坐标代入坐标化简方程化简方程如何建立适当的直角坐标系？如何建立适当的直角坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线 作为坐标轴。作为坐标轴。) )yxoF1F2P建立直角坐标系建立直角坐标系aPFPF221 yxoF1F2P以直线以直线F1F2为为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，轴，建立如图坐标系。建立如图坐标系。化简方程化简方程建立直角坐标系建立直角坐标系设点坐标设点坐标代入坐标代入坐标列等式列等式F1F2 2caycxycx2)()(2222 aPFPF221 yxoF1F2P设设P(x,yP(x,y) )为椭圆上的任意一点，为椭圆上的任意一点，FF1 1F F2 22c(c0),2c(c0),则：则：F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)以直线以直线F1F2为为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，轴，建立如图坐标系。建立如图坐标系。化简方程化简方程建立直角坐标系建立直角坐标系设点坐标设点坐标代入坐标代入坐标列等式列等式2222)(2)(ycxaycx )ca(ayax)ca(22222222 22242222xccxa2a)yccx2x(a cx4a4y) cx(a4222 ,bca222 0b 0 ca0ca22 222222bayaxb 1byax2222 化简方程化简方程建立直角坐标系建立直角坐标系设点坐标设点坐标代入坐标代入坐标列等式列等式方程的推导PF2F1以直线以直线F F1 1F F2 2为为y y轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为x x轴，轴，建立坐标系建立坐标系。方程的推导PF2F1。aPFPF221 a2x) cy(x) cy(2222 a2y) cx(y) cx(2222 椭圆的标准方程xOyF1F2P)0(12222 babxayF1(0 ,-c)、F2(0, c)下的分母大下的分母大2x下的分母大下的分母大2yxOyF1F2PF1(-c,0)、F2(c,0)0(12222 babyax222cab 最大最大中中、acba1 1、已知椭圆的方程为：、已知椭圆的方程为：则则a_，b_，c_， 焦点焦点坐标为：坐标为：_ ，焦距等，焦距等于于_。该椭圆上一点。该椭圆上一点P到焦点到焦点F1的距的距离为离为8，则点，则点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离的距离等于等于_。11003622 yx2 2、若椭圆满足、若椭圆满足: : a5 , c3 , , 求它的标准方程。求它的标准方程。1162522 yx1251622 yx焦点在焦点在x x轴上轴上xOy例例1 1、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为是一个椭圆，它的焦距为2.4 m2.4 m，外轮廓线上的点到两，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为个焦点的距离和为3 m3 m，求这个椭圆的标准方程，求这个椭圆的标准方程F1F2P解：以两个焦点解：以两个焦点F F1 1，F F2 2所在的直线为所在的直线为x x轴，以轴，以线段线段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，建立直角坐标轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为系，则这个椭圆的标准方程为)0(12222 babyax根据题意知，根据题意知，2a=32a=3，2c=2.42c=2.4，即，即a=1.5a=1.5，c=1.2c=1.2。所以。所以b b2 2=a=a2 2-c -c2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.81=0.81，因此，因此椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为181. 025. 222 yx例例2 2、将圆、将圆x x2 2+y+y2 2=4=4上的点的横坐标上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线它是什么曲线因为因为xx2 2+y+y2 2=4,=4,所以所以x x2 2+4y+4y2 2=4,=4,即即1422 yx yyxx2这就是变换后所得曲线的方程这就是变换后所得曲线的方程, ,它表示一个椭圆它表示一个椭圆oxy解：设所得曲线上任一点解：设所得曲线上任一点P坐标为（坐标为（x x，y y），圆），圆x x2 2+y+y2 2=4=4上上的对应点的对应点PP的坐标为（的坐标为（x,yx,y),),由题意可得由题意可得PP小 结 0ba 1byax2222 0ba 1bxay2222 定定 义义方方 程程焦焦 点点F(c，0)a,b,ca,b,c的关系的关系222cab P|PF1+PF2=2a,2aF1F21 12 2yoFFPxyxo2FPF1最大最大中中、acba思考题它表示椭圆？它表示椭圆？满足什么条件时，满足什么条件时，对于方程对于方程1nymx22 作业2、推导：（用分子有理化）、推导：（用分子有理化） 焦点在焦点在y轴上的椭圆的标准方程轴上的椭圆的标准方程
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