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2.1.1曲线与方程主要内容：主要内容： 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基本问题本问题重点和难点：重点和难点： 曲线和方程的概念曲线和方程的概念曲线和方程之间有曲线和方程之间有什么对应关系呢？什么对应关系呢？ ？（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系坐标满足的关系点的横坐标与纵坐标相等点的横坐标与纵坐标相等x=y（或（或x-y=0）第一、三象限角平分线第一、三象限角平分线l得出关系得出关系：lx-y=0 xy0（1）l上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x-y=0的解的解（2）以方程以方程x-y=0的解为坐标的点都的解为坐标的点都在在 上上l曲线曲线条件条件方程方程（2）、方程）、方程）0(2aaxy 是关于是关于y轴对称的抛物线如图轴对称的抛物线如图0 xy）0(2aaxy M满足关系：满足关系：（1）、如果）、如果)y,x(00),(00yx是抛物线上的点，那么是抛物线上的点，那么一定是这个方程的解一定是这个方程的解),(00yx（2）、如果、如果是方程是方程）0(2aaxy 的解，那么以它为坐标的点一定的解，那么以它为坐标的点一定在抛物线上在抛物线上分析特例归纳定义图像上的点图像上的点M与此方程与此方程y=ax2有什么关系？有什么关系？（3）、说明过）、说明过A（2，0）平行于）平行于y轴的直线与方程轴的直线与方程x=2的关系的关系、直线上的点的坐标都满足方程、直线上的点的坐标都满足方程x=2、满足方程、满足方程x=2的点的点不一定不一定在直线上在直线上结论：过结论：过A（2，0）平行于）平行于y轴的直线的方程轴的直线的方程不是不是x=20 xy2A分析特例归纳定义 给定曲线给定曲线C C与二元方程与二元方程f f（x x，y y）=0=0，若满足，若满足 （1 1）曲线上的点坐标都是这个方程的解）曲线上的点坐标都是这个方程的解 （2 2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程那么这个方程f f（x x，y y）=0=0叫做这条曲线叫做这条曲线C C的方程的方程 这条曲线这条曲线C C叫做这个方程的曲线叫做这个方程的曲线定义f(x,y)=00 xy分析特例归纳定义C曲线的方程，方程的曲线曲线的方程，方程的曲线2、两者间的关系：两者间的关系：点在曲线上点在曲线上点的坐标适合于此曲线的方程点的坐标适合于此曲线的方程即：即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应一一对应3 3、如果曲线、如果曲线C C的方程是的方程是f(xf(x，y y）=0=0，那么点，那么点),(00yxP在曲线在曲线C C上的充要条件上的充要条件 是0),(00 yxf例例1.判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点）过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线为轴的直线为x=3 （2）到）到x轴距离为轴距离为2的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为y=2 （3）到两坐标轴距离乘积等于）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为xy=1对对错错错错例例2证明证明：圆心为坐标原点，半径为：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是的圆的方程是2522 yx并判断并判断是否在圆上是否在圆上），（、252)4, 3(21 MM变式训练：写出下列半圆的方程变式训练：写出下列半圆的方程0 xy551M2M学习例题巩固定义yyy-5y5555555-5-5-5-500 xxxx(1)举出一个方程与曲线，使举出一个方程与曲线，使 它们之间它们之间的关系符合的关系符合而不符合而不符合.(2)举出一个方程与曲线，使举出一个方程与曲线，使 它们之间它们之间的关系符合的关系符合 而不符合而不符合 .(3) 举出一个方程与曲线，使举出一个方程与曲线，使 它们之间它们之间的关系既符合的关系既符合又符合又符合。变式思维训练，深化理解变式思维训练，深化理解下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？如果不是，不符合定义中的关系还是关系？ (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线，方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方程为x+ =0; (3)曲线C是, 象限内到X轴，Y轴的距离乘积为1的点集，方程为y= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221图3例例2 2 证明以坐标原点为圆心，半径等于证明以坐标原点为圆心，半径等于5 5的圆的方程是的圆的方程是x x2 2 +y+y2 2 = 25, = 25,并判断点并判断点MM1 1(3(3，-4)-4)，MM2 2(-3(-3，2)2)是否在这个圆是否在这个圆上上. .证明：证明：(1)(1)设设M(xM(x0 0,y ,y0 0) )是圆上任意一点是圆上任意一点. .因为点因为点MM到坐标原点到坐标原点的距离等于的距离等于5 5，所以，所以 也就是也就是x xo o2 2 +y +yo o2 2 = 25 = 25. .即即 (x(x0 0,y ,y0 0) ) 是方程是方程x x2 2 +y +y2 2 = 25 = 25的解的解. .,52020 yx(2)2)设设 (x(x0 0,y ,y0 0) ) 是方程是方程x x2 2 +y +y2 2 = 25 = 25的解，那么的解，那么 x x0 02 2 +y +y0 02 2 = 25 = 25 两边开方取算术根，得两边开方取算术根，得 即点即点M (xM (x0 0,y ,y0 0) )到坐标原点的距离等于到坐标原点的距离等于5 5，点，点M (xM (x0 0,y ,y0 0) )是这个是这个圆上的一点圆上的一点. ., 52020 yx 由1、2可知，可知， x x2 2 +y +y2 2 = 25, = 25,是以坐标原点为圆心，半径等是以坐标原点为圆心，半径等于于5的圆的方程的圆的方程. M1在圆上，在圆上，M2不在圆上不在圆上 第一步，设第一步，设M (xM (x0 0,y ,y0 0) )是曲线是曲线C C上任一点，上任一点，证明证明(x(x0 0,y ,y0 0) )是是f(x,y)=0f(x,y)=0的解；的解；归纳归纳: : 证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设第二步，设(x(x0 0,y ,y0 0) )是是f(x,y)=0f(x,y)=0的解，证明的解，证明点点M (xM (x0 0,y ,y0 0) )在曲线在曲线C C上上. . 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础。形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础。小结：小结：曲线与方程 2.1.2求曲线的方程求曲线的方程 例3、设A，B两点的坐标分别是（-1，-1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程。求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表）表示曲线上任意一点示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出满足条件）写出满足条件p的点的点M的集合的集合P=M|p(M);（3）用坐标表示条件）用坐标表示条件p(M)，列出方程，列出方程f(x,y)=0；（4）化简方程）化简方程f(x,y)=0 ；（5）说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线）说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。上。 例、已知一条直线l和它上方的一个点，点到l的距离是。一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。练习： 已知点到点（，）的距离比它到直线l:x=-6的距离小，求点的轨迹方程。 、教材面第、题。作业 教材面习题组、
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