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过点P作l的垂线，P与垂足之间的长度点到直线的距离是指点到直线的距离是指PlQ已知点P（-1，2）和直线L：2X+Y-10=0，求P点到直线L的距离先求出过P点和L 垂直的直线：再求出L和L 的交点QL：2x+y-10=0LQP（-1，2）L：x-2y+5=0 Q（3，4） |PQ|=52 已知：P（X。，Y。）和直线L：AX+BY+C=0（P不在直线L上），试求P点到直线L的距离。思路一：利用两点的距离公式可以求|PQ|的长度。分析：要求分析：要求|PQ|PQ|的长度的长度P点坐标已知，只要求出Q点坐标就可以了。又Q点是直线PQ和直线L的交点又直线L的方程已知只要求出直线PQ的方程就可以了即：|PQ| Q点坐标直线PQ与直线L的交点直线PQ的方程直线PQ的斜率直线L的斜率OLPQ()x0,y0()x0,y0OLPQ分析：现在最关键的是如何选取第三点M,以构成一个直角三角形思路二：利用直角三角形也可以求|PQ|的长度。 x xy yo oP PQ QM x xy yo oP PQ QM y yx xQ QP PMo oM点为任意点，所以坐标不好求。所以，|PM|、|MQ|均不好求。 y yx xQ QP PMo oM点在x轴上， x xy yo oP PQ QM相对而言|PM|,|MQ|易求一些，但计算量依然较大； PM/y轴似乎也不好求，但角MPQ与直线L的倾斜角有关，因此可以利用三角函数关系来求：|PQ|=|PM|cosMPQ x xy yo oP PQ QM MPQ= (900）又cosMPQ =|cos |sec|1211tg2211BA22|BAB具体分析具体分析再求再求|PM|问： MPQ与倾斜角有什么关系呢？) + 1=90 )PMQxyo(12)yxoPQM123 1 =180 - + 2=90 又 MPQ+ 2=90 MPQ= 又 1+ 2= 90 MPQ+ 3=90 MPQ=180 -下面求M点的坐标。设M（x1，y1）PM/y轴， x1= x。M点在直线L （Ax+By+C=0）上把M点坐标代入得：BCBAxy01因此|PM|=|y0-y1|0000BCByAxBCBAxy |PQ|=|PM|cosMPQ2002|BABBCByAx2002|BACByAx),(00yx(PMQxyoL公式 的完善1.当A=0，即Ly轴时PQxyoL2002|BACByAxPQ2.当B=0，即Lx轴时PQxyoL3.当P点在L上时，显示显示000CByAx公式成立公式明显成立公式成立公式结构特点2200|BACByAxPQ（1）分子是P点坐标代入直线方程；（2）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根类似于勾股定理求斜边的长练习1（1）P（2，3）到直线y= 2的距离是_（4）P（1，1）到直线3x= 2的距离是_（2）P（2，3）到直线x+2y+4= 0的距离是_（3）用公式解P（1，2）到直线2x+y10=0的距离是_32525101.求平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。535314解：在直线2x 7y6=0上任取一点，如P(3,0)则两平行线的距离就是点P(3,0)到直线2x 7y+8=0的距离。（如图）因此，d=22)7(28073253143练习2思考 ?两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线Ax+By+ =0与Ax+By+=0的距离。2221BACC1C2C解：在直线上Ax+By+ =0任取一点，如P(x0,y0)则两平行线的距离就是点P(x0,y0)到直线Ax+By+=0 的距离。（如图）因此，d=22200BACByAx1C2C2221BACCP小结1、点到直线的距离公式及其推导；、点到直线的距离公式及其推导；作业：P45 12、13、14、152200|BACByAxPQ2、利用公式求点到直线的距离、利用公式求点到直线的距离。3、探索两平行直线的距离、探索两平行直线的距离4、探索、探索“已知点到直线的距离及一条已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线直线求另一条直线”及及“求求（动）定点点到到（定）动直线的距离的最值直线的距离的最值”等等等等当A=0，即Ly轴时PQxyoL此时L：y=BC又PQ/y轴A=0：| )(|0BCyPQ|0BCBy 22000|0|BCByxPQB=0：22000|0|ACyAxPQPQxyoL当B=0，即Lx轴时此时L：x=AC又PQ/x轴| )(|0ACxPQ|0ACAx
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