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第3讲平面向量的数量积最新考纲 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系由浅入採夯基固牛诊断-基础知识知识梳理1. 平面向量的数量积定义：已知两个非零向量 a与b,它们的夹角为9,贝擞量|a|b|cos 9叫作a 与b的数量积(或内积)，记作a b,即a b= |a|b|cos 9,规定零向量与任一向量的 数量积为0,即0a= 0.(2) 几何意义：数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 9的乘 积.2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a= (xi, yi), b= (x2, y2), 9为向量a, b的夹角.(1) 数量积：a b= |a|b|cos 9= xix2 + yiy2.(2) 模：|a|= a a= .x2+ y2.夹角：cos 9=器二声井牛2.|a|b| /xi + yi px2+ y2(4) 两非零向量a丄b的充要条件：a b= 0? xix2 + yiy2= 0.(5) |a b|w|a|b|(当且仅当 a/ b时等号成立)? |xix2 + yiy2| 0,则a和b的夹角为锐角；若abv 0,则a和b的夹角为钝角.(x)2. 对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(4) ab= 0,贝U a = 0 或 b= 0.(x )(5) (a b) c= a (b c). (x)(6) a b= a c(a0),则 b= c.(x )感悟提升三个防范一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1);二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量.设向量 a, b的 夹角为9,当B为锐角时，投影为正值；当B为钝角时，投影为负值；当B为直 角时，投影为0;当9= 0寸，b在a的方向上投影为|b|,当 A180时，b在a 方向上投影为一|b|,叭2)；当 9= 0寸，a b0, 9= 180 a bv0, 即卩 a b0 是两个向量a, b夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3);三是a b= 0不能推出a= 0或b= 0,因为a b= 0时，有可能alb,女口 (4).突破高频考点以侃求法举一反三考点一平面向量数量积的运算【例1】(1)(2014威海期末考试)已知a= (1,2), 2a b= (3,1),则a b=().A. 2 B. 3 C. 4 D. 5n(2013江西卷)设e1, e2为单位向量，且 &, e2的夹角为3 若a= 3 + 3e2, b=2ei,则向量a在b方向上的射影为.解析 (1)* (1,2), 2a b= (3,1)b= 2a (3,1)= 2(1,2) (3,1)= ( 1,3).a b= (1,2) ( 1,3)= 1 + 2X3 = 5.(2)由于 a= e1 + 3e2, b= 2e1,2所以 |b| = 2, a b= (e1 + 3e2) 2e1 = 2ei+ 6e1 e21=2+ 6X 2= 5,a b 5所以a在b方向上的射影为|a| cos=而=g5答案(1)D(2)5学生用书第74页规律方法 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意 数量积运算律的应用.【训练 1】(1)若向量 a= (1,1), b= (2,5), c= (3, x)满足条件(8a b) c= 30,则 x=().A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 (2013山东卷)已知向量AB与AC的夹角为120,且AB| = 3, |AC|= 2.若AP= :AB + AC,且APIBC,则实数 入的值为.解析 (1)8a b= 8(1,1) (2,5)= (6,3),所以(8a b) c= (6,3) (3, x) = 30,即18+ 3x= 30,解得x= 4.故选C. (2).AP!BC,.AP BC= 0, (4B + AC) BC = 0, 即 (:AB+ AC) (AC AB)=(入一1)AB AC- 2AB已知向量 a, b满足 a b= 0, |a|= 1, |b|= 2，则 |2a b| =.解析(1)等式平方得|a|2= 9|b|2 2=|a|2+ 4|b|2 + 4a b,则 |a|2= |a|2+ 4|b|2 + 4|a|b|cos 9,即 0 = 4|b|2 + 4 3|b|2cos 9,e1得 cos 9= 3.(2)因为 |2a bf = (2a b)2 = 4孑 + b2 4a b= 4孑 + b2= 4+ 4= 8,故 |2a b| = 2 2. 答案(1) 3(2)2 2规律方法(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式.|a|= a a常用来求向量的模.【训练2】(1)(2014长沙模拟)已知向量a,b夹角为45,且|a|= 1,|2a b|= . 10,则 |b| =.(2)若平面向量a, b满足|a|= 1, |b| 1,且以向量a, b为邻边的平行四边形的面1积为2,则a和b的夹角9的取值范围是.解析(1 )由|2a b|=. 10平方得，+ AC2= 0. 向量AB与AC的夹角为 120 AB| = 3, AC|= 2, g 1)|AB|AC| cos 120-9A+ 4= 0,解得 A话.答案(1)C右考点二向量的夹角与向量的模【例2】(1)若非零向量a, b满足|a匸3|b|=|a + 2b|,则a与b夹角的余弦值为2 24a 4a b+ b = 10,即 |b|24|b|cos 45 +4= 10,亦即 |bf 2 ,2|b| 6= 0,解得 |b| = 3 ,2或 |b|= .2(舍去).1(2)依题意有|a|b|sin 9=，1即 sin = 2jb|，由bS 1，得12 sin 0 1,又 OS (X n答案（1）3/2 （2）n，5nn考点三平面向量的垂直问题【例 3】 已知 a= （cos a, sin a, b= （cos B, sin 3（00仟冗）（1）求证：a+ b与a b互相垂直；若ka+ b与a kb的模相等，求p- a其中k为非零实数）.数量积审题路线 证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题,为零即得证？由模相等，列等式、化简求p a(1) 证明I (a+ b) ( b) = a2 b2= |a|2 |b|2=(cos a+ sin2 M (cos2 p+ sin2 p= 0, a+ b与a b互相垂直.(2) 解 ka+ b= (kcos a+ cos B ksin a+ sin B ,a kb= (cos a kcos B sin a ksin p,|ka+ b|= . k2 + 2kcos p a + 1,|a kb| =.；： 1 2kcos B_ a + k .I |ka+ b|= |a kb| , 2kcos(p M= 2kcos( f a). 又 kM 0, cos( p a= 0.n T 0 a n,二 0 p a n,p a=空.规律方法(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a丄b,则只需证明a b=0? X1X2 + yiy2 = 0.(2)当向量a, b是非坐标形式时，要把a, b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a b= 0.数量积的运算a b= 0? a丄b中，是对非零向量而言的，若a= 0,虽然有a b=0,但不能说a丄b.【训练3】 已知平面向量a= ( 3, 1), b=(1) 证明：a丄b；(2) 若存在不同时为零的实数 k和t，使c= a+ (t2 3)b, d= ka + tb,且c丄d, 试求函数关系式k= f(t).13(1)证明 ta b= 3x2 1X_2 = 0,二 a丄b.解 t c= a+ (t2 3)b, d= ka + tb, 且 cd,2 c d= a+ (t2 3)b ( ka+1b) =ka2 + t(t2 3)b2+ t k(t2 3) a b= 0.又 a2= |a|2 = 4, b2= |b|2= 1, a b= 0, c d= 4k+13 3t = 0,t3 3t -k= f(t)=4 (tz 0).|课堂小结|1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用， 和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2求向量模的常用方法：利用公式|aj a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.3 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.学生用书第75页培养*解题能力我祢解題提升能力教你审题5数量积的计算问题【典例】(2012上海卷)在矩形ABCD中，设AB, AD的长分别为2,1若M , N 分别是边BC,CD上的点，且满足回岁=呼，则AM AN的取值范围是.|BC| |CD|审题一审：抓住题眼“矩形ABCD” ;二审：合理建立平面直角坐标系，转化为代数问题解决.解析如图，以A点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为A(0,0)，B(2,0),C(2,1), D(0,1)， 设回学=呼=k(0k 1),则点M的坐标为(2, k),点N的坐标为(2-2k,1),|BC| |CD| 则AM= (2, k), AN= (2-2k,1), AM AN = 2(2-2k) + k=4-3k,而 0 k 1,故1 4-3k 4.答案1,4反思感悟在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多.【自主体验】(2012江苏卷)如图，在矩形 ABCD中，AB=迄，BC= 2,点E为BC的中点, 点F在边CD上，若AB AF = -.2,则AE BF的值是c解析 法一 以A为原点，AB, AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐 标系，贝U A(0,0)，B( ,2，0)，E( ,2，1)，F(x,2)，/AF= (x,2), AB= ( , 2，0)，AE =(2, 1), BF = (x- 2, 2),/AB AF = 2x= .2,解得 x= 1 ,.F(1,2),AE BF =2. 法二 AB AF = AB|AF|cos/BAF= . 2, |AF|cosZBAF = 1, 即卩 |DF|= 1,/.|CF|= 2- 1, AE BF= (AB+ BE) (BC + CF) = AB BC + AB CF + BE BC + BE CF = AB CF + BE BC = 2 X ( 2- 1)X ( 1) +1 X 2X 1= 2.答案 2课时-题组训练阶梆训餘练出高分基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1. (2013 湛江二模)向量 a= (1,2), b= (0,2)，则 a b=().B. (0,4)C. 4D. (1,4)解析ab= (1,2) (0,2) = 1X 0+ 2X 2 = 4.答案 C2. (2014绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中，/ BAD= 120 MAC在AB方向答案C,AC在AB方向上的投影为 |AC|cos 60 =2X1.3. (2013 山东省实验中学诊断)已知向量a= ( 3, 1), b= (0,1), c= (k,3).若a + 2b与c垂直，则k =().A. - 3 B . - 2 C. 1 D . 1解析 由题意知(a+ 2b) c= 0, 即卩a c+ 2b c= 0.所以，3k + 3 + 2 3 = 0,解得 k= 3.答案 A4. (2014浙江五校联盟)若非零向量a,b满足|a| = |b|,且(2a + b) b= 0,则向量a, b的夹角为().2 n n n 5 n乞 B.6 C.3 de解析由(2a+ b) b= 0，得 2a b+ |b|2= 0.2|bf cos+ |b|2= 0,cos=舟，厂2n又q0 , n.=.答案 A5. (2013福建卷)在四边形ABCD中，AC= (1,2), BD = ( 4,2)，则该四边形的面积为()A. 5 B. 2 5C. 5 D. 10解析AC BD = 1 X ( 4)+ 2 X 2 = 0,/ACJBD,S四边形=呼尘5.答案 C二、填空题6. (2013新课标全国I卷)已知两个单位向量a, b的夹角为60 c= ta+ (1 t)b.若 b c= 0,贝U t =.解析 b c= b ta+ (1 t)b = ta b+ (1 t)b2=t|a|b|cos 60 + (1 t)|b|2tt=2+ 1 1 = 1 2 由 b c= 0,得 1 2 = 0,所以 t = 2.答案2 7. (2014南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知OA= (3, 1), OB= (0,2).若 OC AB= 0, AC=QB,则实数 入的值为. 解析 设 C(x, y),则 OC= (x, y)，又AB = OB OA= (0,2) (3, 1) = ( 3,3), 所以 OC AB = 3x + 3y = 0 ,解得 x = y.又 AC = (x 3, y + 1) = %0,2)，得x 3= 0,结合x= y,解得X= 2.Iy+1 = 2 人答案28. (2014潍坊二模)如图，在 ABC中，O为BC中点，若AB= 1, AC = 3, = 60 则|OA| =.* * * * *1 3*解析 因为 = 60 所以 ABAC= AB| |AC|cos 60 =1X 3X，又AO2AB+ aC，所以 aO2_4(ab+aC)2_ 2 2 1+ 2ABAC + AC )，即 AO _(1 + 3+ 9)_ 等，所以 |OA_ y3.答案亠P三、解答题9. 已知平面向量 a_(1，x)，b_(2x+ 3，-x)(x R).(1) 若a丄b,求x的值；(2) 若 a/ b，求|a-b|.解(1)若 a丄b，则 a b_ 1 X (2x+ 3) + x(-x) _ 0. 整理得 x2-2x- 3_0，故 x_- 1 或 x_ 3.若 a / b,则有 1X ( x)-x(2x+ 3)_0，即 x(2x+ 4) _ 0，解得 x_ 0 或 x_- 2.当 x_ 0 时，a_ (1,0)，b_ (3,0), a-b_ (-2,0),|a b|_，.： 2 2 + 0_2.当 x_- 2 时，a_ (1,- 2), b_ (- 1,2), a-b_ (2,- 4),二 |a- b| _ 2 5.综上，可知|a- b|_ 2或2 5.10. 已知 |a|_4, |b|_3, (2a- 3b) (2a+ b)_61,(1) 求a与b的夹角9;(2) 求 |a+ b|;-(3) 若AB_a, BC_ 0求厶ABC的面积.解(1)； (2a- 3b) (2a + b)_61, 4|af 4a b-3|b|2_ 61.又|a|_4, |b|_ 3,A 64-4a b-27_61,a b 61a b= 6. cos 0= 刁.|a|b| 4X 322 n又 ow oc n, 0=3.(2)|a+ bf= (a+ b)2= |a|2 + 2a b+ |b|2=42 + 2X (-6) + 32= 13, |a+ b|= , 13.*2 n2 n n t AB与BC的夹角 0= ，/ABC= n- 3.* *又|AB| = |a= 4, |BC| = |b|= 3,1 -* -*i13 Sa ABC =sin/ ABC=X4X 3X2 = 3 3.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1. (2013青岛一模)若两个非零向量 a, b满足|a+ b|=|a-b|= 2|a则向量a+ b 与a的夹角为().n n 2 n 5 na6 B3 CE D.$解析 由 |a+ b| = |a- b|,得 a2 + 2a b+ b2 = a2- 2a b+ b2,即卩 a b= 0,所以(a+ b) a =a2 + a b= |af.故向量a+b与a的夹角0的余弦值为(a+b) a |a|21 ncos 0= 9- . = 9.所以 0= Q.|a+ b|a|2|a|a|23答案 B* * * *2. (2014昆明调研)在厶ABC中，设AC2-AB2= 2AM BC,那么动点M的轨迹必通过 ABC的().A .垂心 B .内心 C .外心 D.重心 解析 假设 BC 的中点是 O.则AC2 AB2 (AC + AB) (AC AB) 2AO BC 2AM BC,即(AOAM) BC= MO BC = 0,所以MO JBC,所以动点 M在线段BC的中垂线上，所以动点 M的轨迹必通过 ABC的外心，选C.答案 C、填空题3. （2013浙江卷）设e1，e2为单位向量，非零向量 b= xe1 + ye2，x，y R若e1, e2的夹角为n，则1的最大值等于.解析 因为 & e2 cos f于，所以 b2 x2 + y2 + 2xye1 e2 x2 + y2 + , 3xy.所以px2X + y + 3xy,设 t=X，则 1 +12 + . 3t =t+1 1+4 4所以0v 3；三4,即話的最大值为4,所以ibi的最大值为2.答案2 三、解答题4. 设两向量e1, e2满足心| = 2,血|= 1, e1, e2的夹角为60,若向量2te1 + 7e2 与向量e1 + te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解由已知得 e1 = 4, e2 1, e1 e2 2 x 1 x cos 60 丄 1.(2te1 + 7e2) (& + te?) 2teh + (2t2 + 7)e e2+ 7te2 2t2 + 15t+ 7.2 1欲使夹角为钝角，需2t2 + 15t + 7v0,得7vtv 2.设 2tei + 7e2= Xei + te2)( X 0),0入2，二 2t2 7.7t入 t一 号4，此时 入一14.V14即t牙时，向量2te1 + 7e2与e1 + te2的夹角为n.二当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是12.学生用书第75页
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