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第第 1 讲讲 集集 合合 学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展运用数学语言进行交学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力；初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性流的能力；初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性基础自查基础自查1集合元素的三个特征：集合元素的三个特征： 、 、 2元素与集合的关系：元素与集合的关系： 或或 关系，用符号关系，用符号 或或 ()表示表示确定性确定性互异性互异性无序性无序性属于属于不属于不属于 3集合的表示法：集合的表示法： 、 和和 图法图法4常用数集：常用数集：自然数集自然数集N；正整数集；正整数集N*(或或N)；整数集；整数集Z；有理数集；有理数集 Q；实数集；实数集R.5集合的分类：集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限按集合中元素个数划分，集合可以分为有限 集、集、 、 6集合间的基本关系集合间的基本关系列举法列举法描述法描述法无限集无限集空集空集Venn 表示表示关系关系文字语言文字语言符号语言符号语言相等相等集合集合A与集合与集合B中的所有元素都相同中的所有元素都相同 AB子集子集A中任意一元素均为中任意一元素均为B中的元素中的元素 或或 ，真子集真子集A中任意一元素均为中任意一元素均为B中的元素，且中的元素，且B中至少有一元素不是中至少有一元素不是A中的元素中的元素 或或 ，空集空集空集是任何集合的子集，是任何空集是任何集合的子集，是任何 的真子集的真子集 A， B(B )非空集合非空集合AB且且BAA BB AABB A7.(1)交集的定义：由所有属于集合交集的定义：由所有属于集合A 属于集合属于集合B的元素构成的集合，称为的元素构成的集合，称为A 与与B的的 ，记作，记作AB，即，即ABx|xA，且，且xB (2)交集的性质：交集的性质：AAA；A ；ABBA；ABA， ABB.8(1)并集的定义：由所有属于集合并集的定义：由所有属于集合A 属于集合属于集合B的元素构成的集合，称的元素构成的集合，称 为为A与与B的的 ，记作，记作AB，即，即ABx|xA，或，或xB (2)并集的性质：并集的性质：AAA；A A；ABBA；AAB， BAB.9(1)补集的定义：设补集的定义：设AS，由，由S中中 的所有元素组成的集合，称为的所有元素组成的集合，称为S的的 子集子集A的补集，记作的补集，记作 SA，即，即 SAx|xS，且，且x A (2)补集的性质：补集的性质： S( SA)A；( SA)A ；( SA)AS.且且交集交集或者或者并集并集不属于不属于联动思考联动思考想一想：子集与真子集的区别与联系？想一想：子集与真子集的区别与联系？答案：答案：集合集合A是集合是集合B的子集，是指的子集，是指A的任何一个元素都是的任何一个元素都是B的元素这里面的元素这里面含有含有A与与B相等的情况集合相等的情况集合A是集合是集合B的真子集，需要的真子集，需要A是是B的子集，并且的子集，并且B中至少有一个元素不属于中至少有一个元素不属于A.议一议：议一议：集合集合Ax|yx24与集合与集合By|yx24表示的意义相同吗？表示的意义相同吗？答案：答案：集合集合A与集合与集合B表示的意义不相同，集合表示的意义不相同，集合A表示函数表示函数yx24的定义的定义域，它为域，它为R；集合；集合B表示函数表示函数yx24的值域，它为的值域，它为4，)联动体验联动体验1(2010广东改编广东改编)若集合若集合Ax|2x1，Bx|0 x2，则集合，则集合AB _. 解析：解析：ABx|2x1x|0 x2x|0 x1 答案：答案：x|0 xa，若，若MN ，则，则a的取值范围是的取值范围是 _ 解析：解析：借助右图可知借助右图可知a1. 答案：答案：a13(2010江苏盐城联考江苏盐城联考)设集合设集合U1,2,3,4,5，A1,2，B1,3，则，则 U(AB)_. 答案：答案：4,54(2010江苏六合高级中学高三测试江苏六合高级中学高三测试)已知集合已知集合A0,1，MA，则，则M _(全部列出全部列出) 答案：答案： ，0，1，0,15集合集合A0,2，a，B1，a2，若，若AB0,1,2,4,16，则，则a的值为的值为 _ 答案：答案：4 考向一集合的概念考向一集合的概念【例【例1】 含有三个实数的集合可表示为集合含有三个实数的集合可表示为集合 ，也可表示为，也可表示为 a2，ab,0，则，则a2 011b2 011_.解析：解析：由集合元素的确定性及集合相等，得由集合元素的确定性及集合相等，得 a2，ab,0， 从而有从而有0 .a0，0，则，则b0，代入，代入得得a,0,1a2，a,0， 由由易知易知a21，即，即a1.当当a1时，与集合的互异性不符，从而时，与集合的互异性不符，从而a1，b0，故故a2 011b2 011101.答案：答案：1反思感悟反思感悟：善于总结，养成习惯：善于总结，养成习惯1集合中元素的互异性，在含字母的集合中易被忽视，因此，要对计集合中元素的互异性，在含字母的集合中易被忽视，因此，要对计 算结果加以检验，以确保结果的正确性算结果加以检验，以确保结果的正确性2集合的表示法中对用描述法给出的集合集合的表示法中对用描述法给出的集合xA|p(x)要抓住竖线前面要抓住竖线前面 的代表元素的代表元素x以及它所具有的性质，对于以及它所具有的性质，对于Venn图是数形结合的好方图是数形结合的好方 法法迁移发散迁移发散1(2010四川四川)设设S为复数集为复数集C的非空子集若对任意的非空子集若对任意x，yS，都，都 有有xy，xy，xyS，则称，则称S为封闭集下列命题：为封闭集下列命题： 集合集合Sabi|a，b为整数，为整数，i为虚数单位为虚数单位为封闭集；为封闭集； 若若S为封闭集，则一定有为封闭集，则一定有0S； 封闭集一定是无限集；封闭集一定是无限集；若若S为封闭集，则满足为封闭集，则满足STC的任意集合的任意集合T也是封闭集也是封闭集其中的真命题是其中的真命题是_(写出所有真命题的序号写出所有真命题的序号)解析：解析：集合集合S为复数集，而复数集一定为封闭集，为复数集，而复数集一定为封闭集，是真命题是真命题由封闭集定义知由封闭集定义知为真命题为真命题是假命题如是假命题如S0符合定义，但是符合定义，但是S为有限集为有限集是假命题如是假命题如SZ，T为整数和虚数构成集合，满足为整数和虚数构成集合，满足STC，但，但T不不是封闭集，如是封闭集，如 2i， 2i都在都在T中，但中，但( 2i)( 2i)2 T.答案：答案：考向二集合的关系考向二集合的关系【例【例2】 若集合若集合Px|x2x60，Sx|ax10，且，且SP，求求a的可能取的可能取值组值组成的集合成的集合解：解：P3,2当当a0时，时，S ，满足，满足SP.当当a0时，方程时，方程ax10的解为的解为x ，为满足为满足SP，可使，可使 3或或 2，即即a 或或a .故所求集合为故所求集合为 . 反思感悟反思感悟：善于总结，养成习惯：善于总结，养成习惯1元素与集合的关系是属于、不属于关系元素与集合的关系是属于、不属于关系2集合与集合的关系是包含、不包含的关系若集合与集合的关系是包含、不包含的关系若AB， 则则AB或或AB.迁移发散迁移发散2已知集合已知集合Ax|0ax15，集合，集合B .(1)若若AB，求，求实实数数a的取的取值值范范围围；(2)若若BA，求，求实实数数a的取的取值值范范围围；(3)A、B能否相等？若能，求出能否相等？若能，求出a的的值值；若不能，；若不能，试说试说明理由明理由考向三集合的运算考向三集合的运算【例【例3】 (2010江苏南京模拟江苏南京模拟)设设Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210(1)若若ABB，求，求a的值；的值；(2)若若ABB，求，求a的值的值解：由已知解：由已知Ax|x24x0，得，得A4,0(1)Bx|x22(a1)xa210ABB，BA.若若0B，则则a210，解得，解得a1.当当a1时时，BA；当；当a1时时，B0若若4B，则，则a28a70，解得，解得a7或或a1.当当a7时，时，B12，4，B A.若若B ，则，则4(a1)24(a21)0，解得，解得a1.由由得得a1，或，或a1.(2)ABB，AB.A4,0，B至多有两个元素，至多有两个元素，AB，由，由(1)知，知，a1.反思感悟反思感悟：善于总结，养成习惯善于总结，养成习惯几个重要结论几个重要结论(1)摩根法则：摩根法则： U(AB)( UA)( UB)， U(AB)( UA)( UB)(2)集合的交集、并集与子集的关系：集合的交集、并集与子集的关系：ABABA；ABAAB.迁移发散迁移发散3(2010重庆重庆)设设U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若，若 UA1,2，则实数则实数m_.解析：解析：U0,1,2,3， UA1,2，A0,3，即方程，即方程x2mx0的两根为的两根为0和和3，m3.答案：答案：3课堂总结感悟提升课堂总结感悟提升1集合中的元素必须满足三性：确定性、互异性、无序性要解决与集合有集合中的元素必须满足三性：确定性、互异性、无序性要解决与集合有 关问题，一方面，在解答完毕之时，不要忘记检验集合中的元素是否满足关问题，一方面，在解答完毕之时，不要忘记检验集合中的元素是否满足 这三性；另一方面，善于抓住集合中元素的三性，就能顺利地找到解题的这三性；另一方面，善于抓住集合中元素的三性，就能顺利地找到解题的 切入点切入点2集合与集合之间的关系有子集集合与集合之间的关系有子集(包含、包含于包含、包含于)、真子集、真子集(真包含、真包含真包含、真包含 于于)、相等在判断集合与集合之间的关系时，如果能确定真包含、相等在判断集合与集合之间的关系时，如果能确定真包含(或真包或真包 含于含于)，则不能用包含，则不能用包含(或包含于或包含于)表示要注意区分表示要注意区分“”“”“”的的 含义，并能正确地运用它含义，并能正确地运用它3明确集合中元素的意义，它是什么类型的对象明确集合中元素的意义，它是什么类型的对象(如数、点、方程、图形如数、点、方程、图形 等等) 弄清集合由哪些元素所组成，这就需要我们把抽象的问题具体化、形象弄清集合由哪些元素所组成，这就需要我们把抽象的问题具体化、形象 化，也就是善于对集合的三种语言化，也就是善于对集合的三种语言(文字、符号、图形文字、符号、图形)之间相互转化，同之间相互转化，同 时还要善于将有多个参数表示的描述法的集合化到最简形式时还要善于将有多个参数表示的描述法的集合化到最简形式.
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