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专题二用“数”解“形”我国著名数学家华罗庚先生说过“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这也就是我们常说的数形结合思想.数形结合思想运用非常广泛,这里所说的用“数”解“形”只是其中一个具体应用,在这里我们不仅可以理解为借助方程和函数知识解答几何问题,还包括借助代数式的恒等变形解答几何问题.学会这种方法,养成用“数”解“形”的习惯,不仅可以在中考中获益,而且对以后的学习也会帮助很大.这种考查形式是安徽数学中考长期保持的一个特色,如2015年的第8题、2017年的第14题、第23题、2018年的第23题等.类型1类型2类型3借助方程,用“数”解“形”典例1如图,O为ABC内一点,OA=OB=OC,BOCO,ODAB于点D,DO交AC于点E,已知BC=3,AC=4,则AE的长为 ( )【解析】连接BE,易得EB=AE,EAO=ECO=EBO,ECB+EBC=ECO+45+EBC=OBE+45+EBC=90,BEC=90,在RtBEC中,BC2-CE2=BE2,BC2-CE2=AE2,设AE=x,则32-( 4-x )2=x2,【答案】 C 类型1类型2类型3【名师点拨】 当问题中涉及线段较多,要想表达清楚这些线段之间的数量关系,可设其中一条或多条线段为未知数,再由线段成比例得到等量关系,从而列出方程( 组 ),解出未知数,完成解题.类型1类型2类型3命题拓展命题拓展考考向向应用勾股定理列方程解题应用勾股定理列方程解题1.如图为一张三角形纸片ABC,其中C=90,AC=8 cm,BC=6 cm,现将纸片折叠:使点A与点B重合,那么折痕长等于 cm.类型1类型2类型3类型1类型2类型3【答案】 A 类型1类型2类型3命题拓展命题拓展考向一考向一利用二次函数模型解决图形运动规律问题利用二次函数模型解决图形运动规律问题2.如图所示,P是菱形ABCD的对角线AC上一动点,过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M,N两点,设AC=2,BD=1,AP=x,AMN的面积为y,则y关于x的函数图象的大致形状是 ( )C 类型1类型2类型3类型1类型2类型3考向二考向二利用反比例函数模型解决图形运动规律问题利用反比例函数模型解决图形运动规律问题3.如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,P为O上一动点,P从ADB在半圆上运动( 点P不与点A重合 ),AP交CD所在的直线于点F,已知AB=10,CD=8,记PA=x,AF为y,则y关于x的函数图象大致是 ( )A类型1类型2类型3类型1类型2类型3借助代数式的恒等变形,用“数”解“形”典例3( 2018安徽第23题节选 )如图,RtABC中,ACB=90,点D为边AC上一点,DEAB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.( 1 )求证:CM=EM;( 2 )若BAC=50,求EMF的大小.【解析】( 1 )根据直角三角形的性质,把CM,EM转化为 BD;( 2 )先求出ABC=40,证CM=DM=BM=EM,得点B,C,D,E在以点M为圆心,BD为直径的M上,根据圆周角定理求得CME=80即可.类型1类型2类型3【答案】 ( 1 )由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点,CM= BD.又DEAB,同理,EM= BD,CM=EM.( 2 )由已知,CBA=90-50=40,又由( 1 )知CM=BM=EM,CBM=BCM,ABM=BEM,CME=CMD+DME=CBM+BCM+ABM+BEM=2( CBM+ABM )=2CBA=80.EMF=180-CME=100.【名师点拨】 其实这一题还有一个更为简便的方法,我们在专题三题中无圆,用圆解题再详细介绍,这里不再赘述.类型1类型2类型3命题拓展命题拓展考向考向利用代数式的恒等变形解答几何题利用代数式的恒等变形解答几何题4.如图,在ABC中,D,E,F分别为三边的中点,G点在边AB上,BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a,AC=b,AB=c.( 1 )求线段BG的长.( 2 )求证:DG平分EDF.类型1类型2类型3【答案】 ( 1 )D,E,F分别是ABC三边的中点, 又BDG与四边形ACDG的周长相等,即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,BG=AC+AG.FDG=FGD.又DEAB,EDG=FGD,FDG=EDG,DG平分EDF.12345671.( 2017四川眉山改编 )如图,在ABC中,点I是内心,则BIC与A之间的数量关系为 ( ) A.BIC=2AB.A=2IBC891011C 12345678910112.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 ( )A.9B.6C.4D.3D1234567891011D12345678910114.已知等边ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DEAC于点E,过E作EFBC于点F,过F作FGAB于点G.当G与D重合时,AD的长是 ( )A.3B.4C.8D.9【解析】由题易知DEF为等边三角形,设AE=x,则CE=AD=2x,所以x+2x=12,解得x=4,AD=8.C12345678910115.( 2018山东潍坊 )如图,菱形ABCD的边长是4厘米,B=60,动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止,动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若P,Q点同时出发运动了t秒,记BPQ的面积为S厘米2,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是 ( )D123456789101112345678910116.如图,在等腰RtABC中,ABC=90,AB=CB=2,D为AC的中点,点E,F分别是线段AB,CB上的动点,且EDF=90.若ED的长为m,则BEF的周长是 . ( 用含m的代数式表示 )12345678910117.( 2018四川绵阳 )如图,在ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O,则AB=.12345678910118.在等腰ABC中,AB=AC,B=30,BC=6,D是BC边上一点( 不与点B,C重合 ),过点D作DEBC交AB于点E,将BDE沿直线DE翻折,点B落在BC边上的点F处,当AEF为直角三角形时,BD的长为.1或2 123456789101112345678910119.如图,在ABC中,BAC=120,点D,E是底边上的两点,且BD=AD,CE=AE,求DAE的度数.解:设B=x,C=y,ADE=2x,AED=2y,DAE=180-2x-2y,又x+y=180-120=60,DAE=180-120=60.123456789101110.如图,D,E分别是ABC的边BC和AB上的点,ABD与ACD的周长相等,CAE与CBE的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c.( 1 )求AE和BD的长;( 2 )若BAC=90,ABC的面积为S,求证:S=AEBD.1234567891011123456789101111.在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PMAB, PNAC,垂足分别为M,N. ( 1 )求证:不论点P在BC边的何处时,都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;( 2 )当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大,并求出最大值.12345678910111234567891011
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