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21. A 0B 1C 2D 01abcyaxbxcx已知 、 、 成等比数列，则函数 的图象与 轴的交点个数为 或A22200A.43abcbacbacb因为 、 、 成等比数列，所以 ，所以 ，解析：故选222.2()2 ABCDyxab xcabxabcABCABC若二次函数 的图象的顶点在轴上，且 、 、 为的三边长，则为 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等腰三角形B2222222222222()2()().()0yxabcababxabcababcABabcabC 所以顶点坐标为 ， 由题意知 解析：所以为，直角三角形 211221223.(0)()() 24ABCD.24f xaxbxc af xxxf xxxfbbacbcaaa设二次函数如果其中，则等于 A122()(44).22xxbffaacba解析：24.(4)3()1.yxaxaxbxb已知函数 的图象关于直线 对称，则 8416.21(8.6)1aabb由于对称轴方程 ，则 由 ，得解析： 25.681.f xxxxaf xf aa已知函数 ， ，且函数的最小值为，则 的取值范围是1,3 31,31,3xf xa抛物线的对称轴方程是 ，又函数在区间上是减函数于是，解析：二次函数的解析式 2232(2,6)0(2)(6)001:48fxaxa xbaxfxxfxffx已知函数 ，当时，当 ， ， 时，且，求例题 2223 02604(2)(6)41241648.21248f xaxxf xaaf xa xxaxaxabaaafxbxx 依题意知函数的图象是抛物线，且开口向下，故，且 和 是解析：所以的两个根，则设函数 ，比较得，解得. 22122(0)()(0)()()(0)260220160(2).048yaxbxc aya xbc aya xxxxaxfxxfacfxa xcf 二次函数的表示方法有三种：一般式： ；顶点式： ；交点式： 根据条件可任选一种来表示二次函数.本题采用了交点式根据题目条件，也可以采用顶点式因为 或是 的两个根，所以 是其对称轴方程,于是设 由，即反思小结： 2448441648.64acafxxxc ，得，所以 21212110100.(0).f xaxbxc af xxxxxxaxxxf xx二次函数，方程 的两根 ， 满足求证：当，时，拓展练习： 12121112212.0()()(0)0.0.0()()0F xf xxF xxxF xa xxxxxxxxxxxxaF xa xxxx设因为方程 有两根 ， ，所以当，时， 因为，所以 又已知，故解析：， 1111211211222212110(0)()()()()()(1)(0)0.110011010()(1)00.f xxxxxf xf xF xxf xxF xxxa xxxxxxxxaxaxxxxxxaaxaaaaxaxaxxxaxaxf xxf xx即，从而知当，时，又 ，故 当，时， 因为，所以 ，从而，故，所以 ，即，亦即综上所 11(0).xxxf xx述，当，时二次函数的零点分布 2 21232 1, f xxxmm设函数 至少有一个零点在区间上，求实数 的例题 ：取值范围 2 1,12320 1,1 1,1f xxxmm间接法求解：设函数在区间上无零点，则 在区间上解析无实数根，于是方程有两个在区间外的根，或方程无解,即实数：满足 9169 160551022101299160.16 1,1592 16mmfmmfmmmf xm ，即得 ；或 ，得所以在区间上至少有一个零点的实数 的取值，范围是05 9102163 1,14mmfx 本题用直接法求解，可能要方便一些,因为符合条件的 只需满足即可,于是，这里主要考虑到函数的对称轴 ，否则若对称轴在给定的区间外，麻烦的分类讨论就在反思小结：所难免 2 (3)1f xmxmxxm已知函数 与 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 的取拓展练习：值范围 20310(3)401900mf xxxmxmmmmxm若 ，则 ，此时有一个零点在原点的右侧，符合要求；若，则函数的图象与 轴有交点的条件是，得或，分两种情况：若只有一个零点在 轴的右侧，则由两个零点的乘积小于 知解析：；301003.(1xmmmmmm若两个零点都在 轴的右综上,得实数 的取值侧范围是 ，足，得，则 满 21(01)242af xxaxxa已知函数 的最大值为 ，求实数例题3：的值二次函数的最值 max.220002246axaaaf xfa函数图象的开口向下，对称轴方程为 当，即时，解： ，得 析； 2maxmax010221( )224423212122410.3106.3aaaaaf xafaaaaf xfa当，即时， 知所求，得；当，即时， ，的值为 ，得 综上， 0二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类：定区间，定轴；定区间，动轴，本题是这一类；动区间，动轴要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论如果二次项系数是参数，那么参数是否为反思小结：要注意 (1)(1)1510f xfxfxxf x已知二次函数满足： ；函数的最大值为；函数的图象被 轴截得的弦长为，求函拓展数的练习：解析式 221,2,12122121221(1)15215.001521.1510444 16.6129.xf xa xaxaxaxxxxxx xaxxx xaaf xxx 由知，函数图象的对称轴方程为 ，再由，可设 设，是函数图象与 轴的两个交点，则 ， 故由弦长公式知，得 于是解析： 2122 cos2sinf xaaxxg ag a已知函数 的最小值为，求的例题4：表达式含参数的二次函数 2222(cos)21.22cos 1,11212112221221214 .2aaf xxatxaag aaaag aaaag aa令 ，则：当 ，即 时， ；当，即时， ；当 ，即 时， 解析： 21 4(2)21 (-22)21(2)aaag aaaa 综上所述，有： 本题综合考查了二次函数与三角函数利用三角函数的有界性转化为动轴动区间的二次函数问题，合理分类即可正反思小结：确求解 2 (2)426f xmxmxmxm若函数 的图象与轴的负半轴有交点，求实数 的取拓展练习：值范围 1212122 12822201(004022602164(2)(2)46)0mf xxxmf xxxxxmxxmmx xmmmm 若 ，则 ，与 轴的交点是，符合要求解若，用间接法：的图象与 轴的非负半轴有两个交点， 、 ， 或与 轴无交析： ，点时，有236164(2)(26)1,3061.13.mmmmmmxmmm解得或 ；或 ，得综合得于是符合条件的实数,图象与的取值轴的负半轴无交点范围是,则或 20000(1)2(0)12231 1,12f xaxbxbaxf xxxf xabf xbf xaaf xb已知函数 ，若存在实数 ，使 ，则称 是函数的不动点当 时，求函数的不动点；若对任意的实数 ，函数恒有两个不动点，求实数 的取值范围；当 ，且函数在区间上的最小值为时，求例题5：的值二次函数的应用 2221222221224.242240122204 (2)0480163200212.0,2xbabf xxxxf xxxxxxxxf xf xxaxbxbba bbabaaaaa当 时，函数 设 为的不动点，则 ，即 ，解得 或 ，所以函数有两个不动点由于 ，即 ，依题意，此方程有两个相异实数根，则 ，即 恒成立，故解析： 和，解得，所以，实数 的取值范围为 2minminmin231(1)212111( 1)22113122211113121()221012af xxbxbbxbbf xfbbf xfbbbbf xbbbfbb当 时， ，其对称轴方程为 ；当 ，即时， ，符合要求；当，即 时， ，得 ，不符合要求；当，即时， ，即 ，得 ，符合要求综，得实数上的取值1)范围为 ， 本题是用方程的思想，研究函数问题本题有三点需要细心体会：一是给研究对象下定义，是数学的显著特征，不动点的概念，本质上是使函数值等于自变量的值所成立的方程的解；二是二次方程中不等式的恒成立问题；三是讨论对称轴与区间的位反思小结：置关系 211 0()12f xaxbxcg xbxabcabcabcabcABABxABR已知二次函数 和一次函数，其中 、 、 满足， 、 、求证：两函拓展练习：数的图象交于不同的两点 、 ；求线段在 轴上的射影的长的取值范围 2222222222 120.444()44()34() 4()24yf xg xyaxbxcyaxbxcybxbacacacaacccacac 证明：令 由，消去 得 解析： 221212122222111212122222220003004.220224()()4()44444( )1134()24abcabcaccABaxbxcxxbcxxx xaabcABxxxxx xaabacacacccaaaaca 因为 ，所以，所以，所以，即两函数的图象交于不同的两点 、设方程 的两根分别为 和 ，则 ， ， 000abcabcac因为， ，所以， 222211111(2)20011(21)( 1)2131( )4()2421(21)( 1)2131( )4()() 3212( 1)42423,124caaccacbacacacccfaaaccffffaaABAB所以 ，解得 ，又，所以 ，所以 ，所以 ， ，因为的图象的对称轴方程是 ，所以，当 , ,时，为减函数，且 ， ，所以且,11( 3 2)(2,2 3)AB ，故 22121212221(00)4(|0)(0)f xaxbxc axdx xx xxxaaxbxcf xaxbxc a 了解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系掌握一元二次不等式的解法，是研究基本初等函数的重要工具高中数学的许多问题都可以转化为二次函数处理，且高考久考不衰，灵活多变.二次函数的性质抛物线,截 轴所得的弦长 ， 是方程 的两根 ；二次函数在定义域00aamnmn上存在最值,当时,有最小值;当时，有最大值,在闭区间，上最值不一定在(02()0()222000bxmnaabbfafaaaaaa端点处取得 对称轴 ， 时；若，最小值为 ；若，最大值为 .二次函数性质的应用若二次项系数含有参数 ，必须分， ，进行第一层次的分类讨论，以对称轴的不同位置进行第二层次的分类讨论，对称轴与区间的关系有三种类型，即对称轴变动，区间固定；对称轴固定，区间变动；对称轴与区间都固定要根据具体情况分别对待 2212121230(0)(0)0000axbxcaf xaxbxc acx xabxxacx xa 二次方程根的分布二次方程 的根的分布可归结为二次函数的零点的分布用二次方程研究：二次方程有两异号实数根的充要条件是；有两正实数根有两正实数根的充要条件是； 121200.000000 .02200(0)0bxxacx xaafbbaaafaf 有两负实数根的充要条件是用二次函数研究：二次方程有两异号实数根的充要条件是；有两正实数根的充要条件是有两负实数根的充要条件是21.log| (0)(2010)()byaxbxyx ababa函数 与，在同一直角坐标系中的图象南可能是湖卷| | |1AB| 122logAB1C| 122logDCbababbaayxbbaayx从 ， 中易见 ，则，故此时应为减函数，显然 ， 错误；图 中， ，则，故此时 应为解析：增函数，显然 错误答案： 2000002.0(2010.20()ABCD)af xaxbxcxxaxbxf xf xxf xf xxf xf xxf xf x RRRR已知，函数 若满足关于 的方程 ，则下列选项的命题中为假命题的是 ，辽宁卷 00() 2CCbf xff xaxf xf x R函数的最小值是 ，等价于，所以选项 中的命题错误解析：答案：23.1_(2010)_yyxxaa直线 与曲线 有四个交点，则全国大纲卷的取值范围是20411451 .5(1)44yxxayxyaaa 函数 是偶函数，其图象关于 轴对称先作出时的那部分图象，再利用对称性可得到位于轴左侧的那部分图象，如图所示显然，要使题中两曲线有四个交点，必须且只需，解析：答案：，解得二次函数与方程、不等式结合后，将大大超过二次函数基本问题的难度高考命题有关二次函数性质的考查，基本上是考查对图象的认识与理解，出题形式为选择题和填空题，考查对参数的分类讨论是二次函数命题的主要方向把二次函数的性质与方程、不等式结合，是考查能力的命选题感悟：题方向
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