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第六节函数y=Asin(x+)的图象及应用总纲目录教材研读1. y=Asin(x+)的有关概念考点突破2. 用五点法画y=Asin(x+)在一个周期内的简图3.由函数y=sin x的图象变换得到 y=Asin(x+)(A0,0)图象的两种方法考点二考点二由图象求函数y=Asin(x+)+b的解析式考点一函数y=Asin(x+)的图象及变换考点三考点三函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用教材研读教材研读1.y=Asin(x+)的有关概念的有关概念2.用五点法画用五点法画y=Asin(x+)在一个周期内的简图在一个周期内的简图用五点法画y=Asin(x+)在一个周期内的简图时,要找五个关键点,一般先列表,后描点,连线,其中关键点如下:3.由函数由函数y=sin x的图象变换得到的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)图象图象的两种方法的两种方法注:本节关于函数y=Asin(x+)的一些方法与结论可类比推理到y=Acos(x+)及y=Atan(x+).1.y=2sin的振幅、频率和初相分别为( )A.2,B.2,C.2,D.2,- 24x1412418128A答案答案 A由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin的振幅为2,频率为,初相为.24x142.(2018北京海淀期中,5)将y=sin的图象向左平移个单位,则所得图象的函数解析式为( )A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=sinD.y=sin 26x623x26xB答案答案 B将y=sin的图象向左平移个单位,对应的函数解析式为y=sin=sin=cos 2x,故选B.26x6266x22x3.用五点法作函数y=sin在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是 、 、 、 、 .6x,062,137,065, 1313,06答案答案 ; ,062,137,065, 1313,06解析解析分别令x-=0,2,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为0,1,0,-1,0).62324.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 y=sin .101210 x答案答案 y=sin 1210 x解析解析将函数y=sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,所得函数图象的解析式为y=sin,再把该图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是y=sin.1010 x1210 x考点一函数考点一函数y=Asin(x+)的图象及变换的图象及变换考点突破考点突破典例典例1已知函数y=2sin.(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(3)说明y=2sin的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.23x23x解析解析(1)y=2sin的振幅A=2,周期T=,初相=.(2)令X=2x+,则y=2sin=2sin X.列表:23x223323x描点并画出一个周期内的图象:(3)把y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位,得到y=sin的图象,再把y=sin的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象,最后把y=sin的图象上所有33x3x1223x23x点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.23x方法技巧方法技巧函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象的作法(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,令z=x+,由z取0,2来求出相应的x,通过列表得出五点坐标,描点,连线后得出图象.(2)图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2321-1 (2018北京朝阳高三期中,3)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin x的图象上所有的点()A.先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变B.先向右平移个单位长度,横坐标缩短为原来的,纵坐标不变C.横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度D.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度23x36121263C答案答案 Cy=sin=sin,只需将函数y=sin x的图象的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,变为y=sin 2x,再向右平移个单位得到y=sin,故选C.23x26x12626x典例典例2 (2017北京丰台一模,15)已知函数f(x)=Asin x(0)的图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)cos,求g(x)在上的单调递减区间.26x0,2考点二由图象求函数考点二由图象求函数y=Asin(x+)+b的解析式的解析式解析解析(1)由图象可知A=2,设函数f(x)的周期为T,则-=T,即T=,从而=2,所以f(x)=2sin 2x.(2)g(x)=2sin 2xcos=sin 2xcos 2x-sin22x=sin 4x-=sin-,令+2k4x+2k,kZ,得+x+,kZ,423426x3321 cos42x46x122632122k32k所以g(x)在上的单调递减区间为.0,2,12 3令k=0,得 x ,123方法技巧方法技巧根据函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的图象求其解析式时,主要从以下四个方面入手:(1)A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A=;(2)b的确定:根据图象的最高点和最低点,即b=;(3)的确定:利用图象先求出周期T,然后由T=(0)来确定;(4)的确定:由函数图象的特殊点得到关于的方程,结合的范围确定.2最大值最小值2最大值最小值22-1已知函数f(x)=Asin(x+)xR,A0,0,|的图象(部分)如图所示,则f(x)的解析式是()A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin26x26xC.f(x)=2sin D.f(x)=2sin 3x23xA答案答案 A由题图知,A=2,=-=,T=2,即=2,=,又函数f(x)的图象过点,2=2sin,即sin=1,又|0,0)的常用性质(1)奇偶性:当=k(kZ)时,函数y=Asin(x+)为奇函数;当=k+(kZ)时,函数y=Asin(x+)为偶函数.(2)周期性:函数y=Asin(x+)(A0,0)具有周期性,其最小正周期为T=.(3)单调性:根据y=sin x的单调性来研究,由-+2kx+2k,kZ得单调增区间;由+2kx+2k,kZ得单调减区间.(4)对称性:利用y=sin x的对称性来研究,由x+=k(kZ)得对称中心的横坐标;由x+=k+(kZ)得对称轴方程.222223223-1函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示.(1)求及图中x0的值;(2)设g(x)=f(x)+f,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值. 0213x1 1,2 3解析解析(1)由题图得f(0)=,所以cos =,因为0,所以=.由于f(x)的最小正周期等于2,所以由题图可知1x02,故x0+,由f(x0)=得cos=,所以x0+=,x0=.(2)因为 f=cos=cos=-sin x,所以g(x)=f(x)+f=cos-sin x3232267661363206x3261165313x136x2x13x6x=cos xcos-sin xsin-sin x=cos x-sin x-sin x=cos x-sin x=sin.当x时,-x.所以-sin1,故当-x=,即x=-时,g(x)取得最大值;当-x=-,即x=时,g(x)取得最小值-.663212323236x1 1,2 36623126x62133661332
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