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37111.820.4 25A14B 15C 16D 18nnnaaana an等差数列中，若数列的前 项和为，则 的值为C 122.21. 1111A2B.4 C.5D.72222nnnnnaanaaabbnnn nn nn nn n 若等差数列的通项公式，则由所确定的数列的前 项和为 321221352222nnnnnnnanSn nbnbnnnTn n 因为等差数列的前 项和为，所以，所以数列的和为：前 项解析C *13.21() 21A.B.C.D.111mf xxaxfxxf nnnnnnnnnnn N设函数的导函数， 则数列的前 项和为 2211211111.111111nmf xxaxfxxmaf nnnf nn nnnnf nnSnn 因为函数的导函数，所以，所以，所以，所以数列的前 项和为解析：A 1109124.13.nnikknii kiaaaaa aaa 在等比数列中，若，则23456789293847564110481.3a a a a a a a aa aa aa aa aa a解析：81 n5.210440480.ann 已知等差数列中，前 项的和为，其中前 项的和为，后 项的和为，则 的值为 1234123121324311 4080120()3030.2102214.nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaan aananaS由，得，所以又，解析：所以14用公式求和 11391:(2010)1122.nnannaaaaaanS已知是公差不为零的等差数列，且 ， ， 成等比数列求数例陕西列的通项公式； 求数列的前 项和卷 1392191210.121 8110()2122 .2(1.2221 2.)222nnnnnnndaaaaa addddnanaS由题意知,公差因为 ， ， 成等比数列，所以，即，解得或舍去 由知，由等比数列的前 项和公得故式解析： 436102010201.nnaaaaaaS等差数列中，且 ， ，成等比数列，求数列前项拓的和展练习： 346410423610310622204142011021026106 .101061021010001.020200.13103 1720 192020 7 123930nadaaddaaddaaddaaaa aaddddddddSadaadSad 设数列的公差为 ，则，由 ， ，成等比数列，得，即整理得，解得或当时，当时，析，于是解：0.错位相减法求和 11010302010122210.12.2nnnnaanSSSSanT设各项为正数的等比数列的首项，前 项和为 ，且求的通项公式；求：项和例的前 10103020101030202010102122301112201010111220111220101011122102,2 ()2().1021.2211(1)2211,22nnnnnnnSSSSSSSaaaaaaqaaaa qnaaaaaqqaS由，得即，可得因为，所以，解得所以因为是首项、公比都为的等比解数列，故析：，11.12212nnnnnSn ，则1223121112(12)()2221121(12)()222222111(12)()2222211(1)(1)2214(1)12.222212nnnnnnnnnnnnnnnnSnTnTnnnTnTnnnnnnn即故数列的前 项和，则前两式相减得， nn*Sann1(0)1(2010)2nnnnnSmma mmaaqf mbN设为数列的前 项和，对任意的，都有为常数，且求证：数列拓展练习2：广州调研是等比数列；设数列的公比，数列 111111111111.21.01(2)11nnnnnnnnnnnaSmmaanaSSmamam amaammmammman证明：当时，解得当时解析：所以数列是首项为，公比为的等比数，列，即因为 为常数，且，所以 1111111*2122.11111111(2)111211211 122(2)21nnnnnnnnnnnmqf mbambbf bbbbnbbbbnNnnnb由得，因为，所以，即，所以是首项为 ，公差为的等差数列，所以，即 1234112311231234113413122322212122222212325223221221232522322122122222 1 22212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbnnbTbbbbbTnnTnnTnTn 由知，则，所以，即， 则，得，故111 2236.2nnn 裂项相消法求和 *212121220 () .12113log1-3(23010)nnnnnnnnannanNaaaaaaaaaaanSSaa ana已知数列满足对任意的，都有，且求 、 的值；例 ：广州一求数列的通项公式 ；设数列的前 项和为 ，不等式对任意的正整数 恒成立，求实数 的取模值范围 32111233121213232131232332131121322111122211.01.2.102()()()() .2.nnnnnnnnnnnnnaaaanaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa当时，有由于，所以当时，有将代入上式，由于，由于，则有，解析：所以，得由于3112102().nnnnaaaaa，所以 2121221112112132435112()(2)1.11111.111 1132()(2)2211111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaa naaaaaaaanaaaana an nnnSa aa aa aaaana同样有,得,所以由于,即当时都有，所以数列是首项为 ,公差为 的等差数列,由知，则，所以故2111 111 11111(1)()()()232 242 352111 1111113111()(1)()2222124212nannnnnnnn11min10(1)(3)1.31log1311log111(00)01331102.2nnnnnaaSSSnnSSSanaaaaaaa因为,所以数列单调递增，所以要使不等式对任意正整数所以,实数 的取恒成立，只要因为,所以，所值范围是 ，以,即1log131log13nanannSanSaSS不等式对任意正整数 恒成立，等价于 的最小值都大于，本题实质就是要求 的最小值，这时很自然就会想到要讨反思论的小结：单调性 1122221231220(2)111123.243nnnnnnnnnanSaaS SnSSaSSSSn已知数列的前 项和为 ，且满足，数列是否为等差数列？并证明你的结论；拓展练习 ：求和 ； 求证： 111111111112221122112121 22.211222212211. nnnnnnnnnnnnnSanSaSSS SSSnnSSnnaS Sn nnaS 解析：是以 为首项，公差由，得；当时，所以，为 的等差数列即由得，则当时，；当时， 21222212322222222221231(1)2.1(2,*)2 (1)11131424 1211111111(1)44 24 34423111111111(1 1).41 22 3(1)42412nnnnannNn nnSnSSSSnnnnnnSSSS所以证明：当时，成立当时，所以1.4n 2*1112113.22()()121222.24nnnnnnnnnnnnnnnf xxxanSnSnNyf xabTbnTaacncccnaa已知函数数列的前 项和为 ，点 ，在函数的图象上令，是数列的前 项和，求 ；：令，证明：例数列求和综合问题 2212*11*112211()1313.()22221311 1(2)22211()2234122222nnnnnnnnnnnnnnSyf xSnnaSSnnnnnnnNaSanannNbnnT因为点 ，在函数的图象上，所以所以，而适合上式，所以，所以，所以解析：，121211231.222221111122222211 ( )1321312261322.nnnnnnnnnnnnnTnTnnnT 则两式相减，得，所以 11121112122211222212 .1211221121111112()()()233412112212.22nnnnnnnnnnnnaanncaannnnnncccnaanncaannnncccnnnnnn证明：因为，所以又，所以 1122221121111121121nnnabnncnnnnnnn nnnnn 本题是数列与函数、不等式结合的综合题，考查用错位相减法和裂项相消法求数列的和，以及用放缩的方法证明不等式第问是先求出数列的通项公式，再观察数列的特征，确定用错位相减法求和；第问注意到与互为倒数，故，因而左边部分好证；另外，与相差 ，因此联想到我们熟悉的这一式反思小子，将与都结：分离常数，这样，问题就迎刃而解了 *.()(041)1122()(20 9)40.nnxnnnnnanSnnSybr bbbrrnbbnbnaTNN等比数列的前 项和为已知对任意的，点 ，均在函数且， ， 均为常数 的图象上求 的值；当拓时展练习 ：，记，求数列的前 项和山东卷 *11111121211()(01).121.0121(1)nxnnnnnnnnnnnnNnSybr bbbrSbrnaSbrnaSSbrbrbbbbbbnabaabrab bbab bbbrr 因为对任意的，点 ，均在函数且， ， 均为常数 的图象上，所以当时，；当时，因为且，所以，当时，数列是以 为公比的等比数列又，所以，析：即，得解1. 111123413451223451231212121111244 222341222212341.2222221211111222222211(1)113112212242212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnbnnnabbbanTnnTnTnn由知，当时，则，则两式相减，12131133.22222.nnnnnnT所以()1本节内容是在等差数列、等比数列等特殊数列求和的基础上，将两个 或几个 数列复合而成的数列求和，主要从四个方面考查，一是直接用等差、等比数列求和公式来求；二是拆分成等差、等比数列或其他特殊数列来求；三是倒序相加来求；四是两边乘以同一个数后，用错位相减法来求要求在熟记特殊数列求和公式的基础上，观察数列的特征，选择恰当的方法，有时还会要求分类讨论.一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列一般1n用错位相减法求和其做法是：在等式两边同乘以等比数列的公比，然后两式相减，右边中间的项变成等比数列，很容易求和，同时注意第一个式子的首项和第二个式子的末项的符号，最后将左边的系数除到右边即可2341223413()()11111111111()21 212 212114nSxxxxnxxn nnnnnnnnnnn .在求这类问题时要注意：对 分类讨论；项数是多少.裂项相消法求和是先将通项 最后一项 分裂成两项或多项 的差，通过相加过程中，中间的项相互抵消，最后剩下有限项求和常见的裂项有：，等.倒序相加求和法的依据是推导等差数列121“”()nnnaaaa前 项和的方法，即与首末两项 等距离 的两项之和等于首末两项的和 即，可采用把正着写的式子与倒过来写的两个式子相加，就得到一个常数列的和 11442122009()()()20102010201044244214242 44211.122009()()()201020102010200920081()()()201020102010220 xxxxxxxxfxSffffxfxfxfxSfffSfffS例如：设函数，求的值可这样来解：因为，所以，所以因为，所以，两式相加得200909.2S ，所以 2521.6155()A 30B 45C 90D 186(2010)nnnnaaabab已知等差数列中，若，则数列的前 项的和等于 二模茂名 522212345246810.315632C390.nnadaadadaandnbbbbaaaaaa设等差数列的公差为因为，所以，所以，所以解析：答案： 357*22.726.112().(20)101nnnnnnnnnaaaaanSaSbnbnaTN已知等差数列满足，的前 项和为求及 ；令，求数列的前 项和山东卷 135711111 1.72627,2102216223.12nnnnnnaadaaaadadadn aaaanaSnSndn设等差数列的首项为 ，公差为由于，所以，解得，由于，解，所以：，析 212 22114111 11()4141111111(1)4223111(1).44411.1nnnnnnnanan nbn nnnTbbbnnnnnnTnbn 因为，所以因此，故所以数列的前 项和 122*2121135*21211*1(20103.0222.12()3(0).)nmnm nnnnnnnnnnnaaamnaaamnaabaanbcaaqqncnS NNN已知数列满足，且对任意四川卷、，都有求 ，设，证明：是等差数列；设，求数列的前 项和 321*232125121212112111131312820.8 121226.312(2)288831268nnnnnnnnnnnmnaaamnnNnmaaaaaaabbbaabaaab解析：是公由题意，令，可得再令，可得证明：当时，由已知 以代替可得，于是，即，所以由差为 的可知是首项为，公差为等差数列的等差数212122118282.(1)1 .2nnnnnbnaanaaman列，则，即另由已知 令可得21211102123121212822122 .2.12462112462.246212.12(1)2nnnnnnnnnnnnnnnaaaannnncnqqSnn nqSqqqn qqqSqqqnqn qq Sqqqnq那么于是当时，；当时，两边同乘以 ，可得上述两式相减得1221112211 (1)2.1(1)12.(1)(1).(1)12(1)()1)1nnnnnnnnnnn nqSnqqnqqnqnqqnqnqSnqqqq所以综上所述，n mnmnmaanm daaq选题感近年来，在选择、填空题中考查数列求和多是由给出条件，求出首项和公差或公比后代入求和公式直接求比较多的题目利用了等差数列的性质：，以及等比数列的性质：，这一点值得注意比较多的大题在考查数列求和时，间接地用公式求，或者与函数、不等式结合来考，利用函数的性质、不等式的放缩来解决和的最值问题，这种趋势更悟：需引起重视
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