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第一部分第一部分 教材知识梳理教材知识梳理第五章第五章 四边形四边形第二节第二节 矩形、菱形和正方形矩形、菱形和正方形中招考点清单中招考点清单考点一考点一 矩形的性质及判定矩形的性质及判定（高频考点高频考点） 【考情总结考情总结】近近7年考查年考查8次，矩形的性质次，矩形的性质考查考查6次，矩形的判定考查次，矩形的判定考查2次，对矩形性质的次，对矩形性质的考查，以填空题为主，对矩形判定的考查，以考查，以填空题为主，对矩形判定的考查，以解答题为主解答题为主.定义定义有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形图形图形性质性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质）矩形具有平行四边形的所有性质;（2）矩形的四个角都是）矩形的四个角都是_;（3）矩形的对角线）矩形的对角线_，即，即BD=AC，且，且BD与与AC互相平分互相平分;（4）矩形既是轴对称图形又是中心对）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，它有称图形，它有_条对称轴，它的对条对称轴，它的对称中心是对角线的交点称中心是对角线的交点直角直角相等相等2判定判定（1）有一个角是）有一个角是_的平行四的平行四边形是矩形；边形是矩形；（2）对角线）对角线_的平行四边形的平行四边形是矩形；是矩形；（3）有三个角是）有三个角是_的四边形的四边形是矩形是矩形面积计算面积计算S=_(a、b分别表示矩形的长和分别表示矩形的长和宽宽)直角直角相等相等直角直角ab考点二考点二 菱形的性质及判定菱形的性质及判定（高频考点高频考点） 【考情总结考情总结】近近7年考查年考查7次，其中次，其中2014年年考查考查2次，次，2008年未考查年未考查.在填空题中考查菱形的在填空题中考查菱形的性质，在解答题中考查性质，在解答题中考查菱形的判定，本考点以菱形的判定，本考点以综合考查为主，不单独设题综合考查为主，不单独设题.定义定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形图形图形性质性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质）菱形具有平行四边形的所有性质;（2）菱形的四条边都相等，即）菱形的四条边都相等，即AB=BC=CD=AD；（3）菱形的对角线互相）菱形的对角线互相_，每条对角线每条对角线_一组对角；一组对角；（4）菱形既是轴对称图形又是中心对）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，它有称图形，它有_条对称轴，它的对条对称轴，它的对称中心是对角线的交点称中心是对角线的交点垂直平分垂直平分平分平分2判定判定（1）有一组邻边）有一组邻边 _的平行四边形的平行四边形是菱形；是菱形；（2）对角线）对角线 _的平行四边形的平行四边形是菱形是菱形,即即 ABCD是菱形是菱形;（3）四条边都）四条边都 _的四边形是菱形的四边形是菱形即即 四边形四边形ABCD是是菱形菱形 ABCDACBD相等相等四边形四边形ABCDAB=BC=CD=DA111112121313互相垂直互相垂直相等相等面积面积计算计算S= _(l1、l2表示对角线的长表示对角线的长)1 212l l1414考点三考点三 正方形的性质及判定正方形的性质及判定 【考情总结考情总结】近近7年考查年考查3次，其中正方形次，其中正方形判定在判定在2014年考查年考查1次，性质在次，性质在2011年与年与2009年各考查年各考查1次次 .定义定义有一个角是有一个角是 _，一组邻边，一组邻边 _的平行四边形叫做正方形的平行四边形叫做正方形图形图形直角直角相等相等15151616性质性质（1）正方形具有平行四边形的所有性质）正方形具有平行四边形的所有性质（2）正方形的四条边都）正方形的四条边都 _，四个，四个角都是角都是 _；（3）正方形的对角线）正方形的对角线 _、互相垂、互相垂直、互相平分，且每一条对角线都平分直、互相平分，且每一条对角线都平分 _；（4）正方形既是轴对称图形也是中心对）正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，它有称图形，它有4条对称轴，它的对称中心条对称轴，它的对称中心是对角线的交点是对角线的交点1717181819192020相等相等直角直角相等相等一组对角一组对角判定判定（1）有一个角是）有一个角是 _，一组邻边，一组邻边_的平行四边形是正方形；的平行四边形是正方形；（2）一组邻边）一组邻边 _的矩形是正方形的矩形是正方形;（3）一个角是）一个角是 _的菱形是正方形的菱形是正方形;（4）对角线）对角线 _的平行的平行四边形是正方形四边形是正方形面积面积计算计算S= _（a表示边长）表示边长）= _(l表示表示对角线长对角线长)2121222223232424252526262727直角直角相等相等相等相等直角直角a2相等且互相垂直相等且互相垂直212l考点四考点四 平行四边形、矩形、菱形和正方形之平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系间的关系常考类型剖析常考类型剖析类型一类型一 矩形性质的有关计算矩形性质的有关计算 例例1 1（14安顺安顺）如图，矩形）如图，矩形ABCD沿着沿着对角线对角线BD折叠，使点折叠，使点C落在落在C处，处，BC交交AD于点于点E，AD=8，AB=4，则，则DE的长为的长为_.5 【解析解析】设设DE=x，则，则AE=8-x根据折叠根据折叠的性质得的性质得EBD=CBD，ADBC，CBD=ADB，EBD=EDB，BE=DE=x，在，在RtABE中，根据勾股定理中，根据勾股定理得得x2=（8-x）2+16，解得，解得x=5 【方法指导方法指导】对于解决矩形中的折叠问题，对于解决矩形中的折叠问题，从以下从以下3方面考虑：方面考虑： （1）折叠的性质：位于折痕两侧的图形）折叠的性质：位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形；满足折叠性质即关于折痕成轴对称图形；满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等；折叠之后，线段、周长、面积等均相等；折叠之后，对应点的连线被折痕垂直平分；对应点的连线被折痕垂直平分； （2）找出隐含的折叠前后的位置关系和数）找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系；量关系； （3）一般运用三角形全等、勾股定理、相）一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形性质等知识及方程思想，设出恰当似三角形性质等知识及方程思想，设出恰当的未知数，通过解方程来求线段长的未知数，通过解方程来求线段长. 拓展题拓展题1 1 如图，把矩形如图，把矩形ABCD沿沿EF翻折，翻折，点点B恰好落在恰好落在AD边的边的B处，若处，若AE=2，DE=6，EFB=60，则矩形，则矩形ABCD的面积是的面积是_.16 3 【解析解析】如解图，连接如解图，连接BE，根据折叠性，根据折叠性质有：质有：BFE=EFB=60，在矩形，在矩形ABCD中，中，ADBC,则则BFE=DEF=60, AEF=180-BEF=180-60=120，把矩形把矩形ABCD沿沿EF翻折点翻折点B恰好落在恰好落在AD边的边的B处，处，BEF=DEF=60，AEB=AEF-BEF=120-60=60,拓展题拓展题1解图解图在在RtABE中，中，AB=AEtanAEB=2tan60=2 ，AE=2,DE=6,AD=AE+DE=2+6=8,矩形矩形ABCD的面积的面积=ABAD=2 8=16 .333类型二类型二 菱形的判定菱形的判定 例例2 2 （14雅安雅安）如图，在）如图，在 ABCD中中, AC为其对角线，过点为其对角线，过点D作作AC的平行线与的平行线与BC的的延长线交于延长线交于E. 求证：（求证：（1）ABC DCE; （2）若）若AC=BC,求证：求证：四边形四边形ACED为菱形为菱形. （1）【思路分析思路分析】由已知四边形由已知四边形ABCD是是平行四边形出发，可知平行四边形出发，可知ABCD，AB=CD，进而证得进而证得B=DCE，再结合已知条件，再结合已知条件DEAC，得，得ACB=E，从而用，从而用“AAS”证证得得ABC DCE. 证明证明：四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形， ABCD，AB=CD， B=DCE， 又又DEAC， ACB=E， ABC DCE（AAS）. （2）【思路分析思路分析】要证四边形是菱形，要证四边形是菱形，结合本题已知条件，易知两组对边分别平行，结合本题已知条件，易知两组对边分别平行，易证这是一个平行四边形，再设法证一组邻易证这是一个平行四边形，再设法证一组邻边相等即可边相等即可. . 证明证明：四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形， ADBC，即，即ADCE， 又又DEAC，四边形四边形ACED为平行四为平行四边形，边形， AC=BC，B=CAB，由（，由（1）知）知ABC DCE， B=DCE，EDC=CAB， DCE=EDC，CE=DE， 又又四边形四边形ACED为平行四边形，为平行四边形， 四边形四边形ACED是菱形是菱形. 【方法指导方法指导】证明一个四边形是菱形常用证明一个四边形是菱形常用的方法有：（的方法有：（1 1）首先判定这个四边形为平行）首先判定这个四边形为平行四边形（一般是全等三角形的应用），再判四边形（一般是全等三角形的应用），再判定其邻边是否相等，或判定其对角线相互垂定其邻边是否相等，或判定其对角线相互垂直；（直；（2 2）直接证明四条边都相等）直接证明四条边都相等. .注意不能注意不能将两个判定方法相混合将两个判定方法相混合. . 拓展题拓展题2 2 如图，在如图，在ABC中，中，ACB=90，CAB的平分线交的平分线交BC于于D，DEAB，垂足为，垂足为E，连接，连接CE，交，交AD于点于点H （1）求证：）求证：ADCE； （2）若过点）若过点E作作EFBC交交AD于点于点F，连接，连接CF，求证：，求证：四边形四边形CDEF是菱形是菱形 （1） 【思路分析思路分析】首先证明首先证明ACD AED，可得到，可得到AC=AE，再根据等，再根据等腰三角形的性质；三线合一，可证出腰三角形的性质；三线合一，可证出ADCE； 证明证明：ACD=AED=90，CAD=EAD，AD=AD， ACD AED（AAS），）， AC=AE， AD是角平分线，是角平分线， ADCE; （2） 【思路分析思路分析】首先证明首先证明CHD EHF，可得到，可得到EF=CD，再有，再有FECD，根据一条对边平行且相等的四边形，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形，再加条件是平行四边形，再加条件CEFD可得到结论可得到结论. 证明证明：AC=AE,AD是是CAE的角平分线，的角平分线，ADCE， CH=HE， EFCD， FEH=DCH， FHE=DHC， EHF CHD， EF=CD，EFCD， 四边形四边形CDEF是平行四边形是平行四边形,ADCE, 四边形四边形CDEF是菱形是菱形F拓展题拓展题2解图解图类型三类型三 正方形性质的有关计算正方形性质的有关计算 例例3 3 （14哈尔滨哈尔滨）如图，在正方形）如图，在正方形ABCD中，中，AC为对角线，点为对角线，点E在在AB边上，边上，EFAC于点于点F，连接，连接EC，AF=3，EFC的的周长为周长为12，则，则EC的长为的长为_.5 【解析解析】设设EC=x，在正方形在正方形ABCD中，中，AC是对角线，是对角线，BAC=45，又又EFAC,AEF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EF=AF=3,EFC的周长为的周长为12，FC=12-3-x=9-x，在，在RtEFC中，由勾股定中，由勾股定理得：理得：EC2=EF2+FC2,x2=32+(9-x)2,解得解得x=5. 【方法指导方法指导】对于正方形性质的有关计算对于正方形性质的有关计算问题，一般注意以下知识的应用：（问题，一般注意以下知识的应用：（1）四边）四边相等，四角相等，均为相等，四角相等，均为90；（；（2）对角线垂）对角线垂直且相等；（直且相等；（3）对角线平分一组对角得到）对角线平分一组对角得到45角；（角；（4）边长与对角线的长度比为）边长与对角线的长度比为1 .2
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