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第第2讲讲立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上真题感悟(2014新课标全国卷)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值 (1)证明连接BC1，交B1C于点O，连接AO. 因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点 又ABB1C，ABBOB，所以B1C平面ABO. 由于AO平面ABO，故B1CAO. 又B1OCO，故ACAB1.考点整合1直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，(a3，b3，c3)，则(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.热点一向量法证明平行与垂直【例1】 如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点，求证：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.【训练1】 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点，求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF. 证明如图建立空间直角坐标系 Axyz，不妨设ABAA14， 则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)， B(4,0,0)，B1(4,0,4)热点二利用空间向量求空间角微题型1求线面角【例21】 (2014福建卷)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值 (1)证明平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD， ABBD，AB平面BCD. 又CD平面BCD， ABCD. 规律方法(1)利用面面垂直时，要注意通法和严谨性，先找出交线，再判断交线的垂直，才能得到线面垂直；(2)利用向量法求线面角时，直线所在向量与法向量所成夹角的余弦值恰为线面角的正弦值微题型2求面面角【例22】 (2014河南十所名校联考)如图，在几何体ABCDEF中，ABC，DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED为正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)证明：平面ADE平面BCF；(2)求二面角DAEF的正切值 (1)证明取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.则AOBC，又平面BCED平面ABC，所以AO平面BCED，同理FG平面BCED，所以AOFG，又易得AOFG，所以四边形AOFG为平行四边形，所以AGOF，又DEBC，所以平面ADE平面BCF. 规律方法二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等，其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定【训练2】 (2014广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E.(1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值热点三利用空间向量解决立体几何中的探索性问题微题型1以位置关系为已知条件探索点的位置【例31】 如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 探究提高空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题【训练3】 如下图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，ACBC2，AA14.(1)当E是棱CC1的中点时，求证CF平面AEB1；(2)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角AEB1B的大小是45？若存在，求CE的长；若不存在，请说明理由1利用空间向量证明线面关系时，应抓住直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，如直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线和平面平行或直线在平面内
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