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函数的奇偶性与周期性提高精讲奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(x)f(x),那么函数f(x)是奇函数者B有f(x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数特点图象关于原点对称图象关于y轴对称1 .函数f(x)=0,xeR既是奇函数又是偶函数2 .奇偶函数常用结论：(1)两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2)两个奇函数相加所得的和为奇函数.3 3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.(4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数.(5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6)一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.3 .周期函数：对于函数v=f(x),如果存在一个非零常数使彳马当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数v=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.4 .周期函数常见结论：(1)若f(x+a)=f(xa),则函数的周期为2a.(2)若f(x+a)=f(x),则函数的周期为2a.(3)若f(x+a)=7)(a0),则函数的周期为2a.(4)若f(x+a)=,则函数的周期为2a.fx5 .对称函数,一_a+h如果函数y=f(x两足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称.2练习：1.设f(x)是周期为2的奇函数，当0*1时，f(x)=2x(1x),则f5；=.x6 .若函数f(x)=-c”n为奇函数，则a=()?x-2?a+a?7 .已知f(x)=ax2+bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么a+b的值是()A.-1B3C.1D.-23322【难点奇偶性与不等式】2x+11 .若函数f(x)=?二是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A.(8,1)B.(1,0)C(0,1)D.(1,+oo)【难点二求解析式】1 .若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=()A.ex-e-xB.2(ex+e-x)C.2(e-x-ex)D2(ex-e-x)2 .若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数，则a=.3 .已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x24x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为.4 .设偶函数f(x)满足f(x)=x38(x0)则x|f(x2)0=()A.x|x4Bx|x4C.xx6D,x|x2【难点三奇偶性与周期性综合】1 .已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意xCR都有f(x+4)=f(x)+f(2),则f(2014)等于()A0B.3C.4D.62 .已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且在0,1)上单调递增，记2=?i,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()Aab=cB.ba=cC.bcaD.acb2a33 .设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(2)1,f(2014)=,则实数a的取值范a+1围是.【难点四奇偶性、对称性、周期性】1 .已知函数f(x)是(一oo,+OO上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称，当x0,1时，f(x)=2x1,则f(2013)+f(2014)的值为()A.-2B.1C.0D12 .定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x),f(x2)=f(x+2),且xC(1,0)时，f(x)=2x+1,则f(log220)5=()A-1B.4C.1D.-455【终极难度定义证明、赋值法、求参数】1.定义在R上的函数f(x)对任意a,bCR都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).(1)判断k为何值时f(x)为奇函数，并证明；(2)设k=1,f(x)是R上的增函数，且f(4)=5,若不等式f(mx22mx+3)3对任意xR恒成立,求实数m的取值范围2.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x0时，f(x)0,又f(1)=2.判断f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在区间3,3上的值域；2(4)若?xCR,不等式f(ax)2f(x)f(x)+4恒成立，求a的取值范围.跟踪练习1-x一.1.已知函数f(x)=lg.右f(a)=b.则f(a)=1 xA.bB.bC.1D.1bb2 .已知函数y=f(x)在R是奇函数，且当x20时，f(x)=x2-2x,求：x0时，f(x)的解析3 .定义在-1,1上的函数y=f(x)是减函数，且是奇函数，若f(a2-a-1)+f(4a-5)A0,求实数a的范围.
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