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圆与圆的方程圆与圆的方程1.圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆的标准方程为（ ）A.(x+8)2+(y-3)2=5B.(x-8)2+(y+3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25 D.(x-8)2+(y+3)2=25 半径所以所求的圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.选D.2(85)2( 31)5rCA ，D2.方程y=对应的曲线是（ ） 原曲线方程可化为x2+y2=4（y0），表示下半圆,选A.24xA3.半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相切，则圆的方程为（ ）A.x2+y2+10y=0B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10 x=0或x2+y2-10 x=0B设圆心为（0，b），由题意，则圆的方程为x2+（y-b）2=b2.因为半径为5.所以 =5,b=5.故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.选B. 易错点：圆心的位置可能在y轴上半轴或下半轴.b4.已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为. 设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，对称圆的半径不变，为1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有有，解得解得：a=2b=-2.111022ab111ba 5.若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a=. 依题意直线x-y+1=0，过已知圆的圆心所以解得a=3或a=-1，当a=-1时，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圆，所以只能取a=3.填3. 易错点：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在D2+E2-4F0时才表示圆，因此需检验不等式是否成立.321,2aa （），21102aa ，1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径.2.圆的方程（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r（r0）为半径的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当D2+E2-4F0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为半径当D2+E2-4F=0时，只表示一个点（-D2,-E2）；当D2+E2-4Fr2;若点M（x0,y0）在圆C内，则（x0-a）2+（y0-b）20,所以 -10.514.36-10.5=3.86 m答：支柱A2P2的长度约为3.86 m. 2214.52y （）直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用，用坐标方法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算的结果的几何含义，得到几何问题的结论. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心O位于轮船A正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域.已知港口B位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10 km为单位长度.则受台风影响的圆形区域对应的圆心为应的圆心为O的圆的方程为的圆的方程为x2+y2=9；轮船航线；轮船航线所在直线所在直线l的方程为的方程为4x+7y-28=0；因为圆心；因为圆心O到直线的距离到直线的距离 所以这艘轮船不改所以这艘轮船不改变航线，不会受到台风的影响变航线，不会受到台风的影响.28365d ，已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径. 利用OPOQ得到O点在以PQ为直径的圆上，在利用勾股定理求解.设已知圆的圆心为C，弦PQ中点为M，因为CMPQ,所以kCM=2，所以CM所在直线的方程为即：y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0,解得M的坐标为（-1，2）.1322yx（），由方程组由方程组则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2，因为OPOQ所以点O在以PQ为直径的圆上.所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，MQ2=5.在RtCMQ中，因为CQ2=CM2+MQ2，所以所以m=3.所以半径为，圆心为(- ，3). 在解决与圆有关的问题中.借助与圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化运算.221164132 25.24m （）（） （）52121.求圆的方程常用待定系数法，步骤大致是：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.2.研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地形如形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题；形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如v=（x-a）2+（y-b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的最值问题.ybuxa 3.点与圆的位置关系可利用点与圆心的距离和半径r的大小来判断.4.圆的问题的解题技巧：处理有关圆的问题，要特别注意圆心半径及平面几何知识的应用，如弦心距，半径，弦长的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化.1.（2009辽宁卷）已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ ）A. (x+1)2+(y-1)2=2 B. (x-1)2+(y+1)2=2C. (x-1)2+(y-1)2=2 D. (x+1)2+(y+1)2=2 圆心在x+y=0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径 即可.选B. 本小题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于基础题.2B 2.(2009广东卷)以点(2，-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是 .将直线x+y=6化为x+y-6=0,则易知圆的半径 所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2= .故填(x-2)2+(y+1)2= .本小题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程及点到直线的距离公式. 2225212xy2165r,112 252252
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