数学第四章 几何初步与三角形 第五节 直角三角形

第五节直角三角形考点一考点一 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 (5(5年年5 5考考) )命题角度命题角度勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理例例1 1 (2016(2016东营中考东营中考) )在在ABCABC中，中，ABAB1010，ACAC2 2 ，BCBC边上的高边上的高ADAD6 6，则另一边，则另一边BCBC等于等于( )( )A A10 B10 B8 C8 C6 6或或10 D10 D8 8或或101010【分析分析】 BC BC边上的高边上的高ADAD可能在可能在ABCABC内部，也可能在内部，也可能在ABCABC外部，故需分情况讨论外部，故需分情况讨论【自主解答自主解答】分以下两种情况：分以下两种情况：如图如图1 1，ABAB1010，ACAC2 2 ，ADAD6 6，在在RtRtABDABD中，由勾股定理得中，由勾股定理得BDBD在在RtRtACDACD中，由勾股定理得中，由勾股定理得CDCD 此时此时BCBCBDBDCDCD8 82 210.10.10如图如图2 2，ABAB1010，ACAC2 2 ，ADAD6 6，在在RtRtABDABD中，由勾股定理得中，由勾股定理得BDBD在在RtRtACDACD中，由勾股定理得中，由勾股定理得CDCD此时此时BCBCBDBDCDCD8 82 26.6.综上可知，综上可知，BCBC的长为的长为6 6或或10.10.故选故选C.C.10应用勾股定理的注意问题应用勾股定理的注意问题(1)(1)应用勾股定理的前提必须是在直角三角形中；应用勾股定理的前提必须是在直角三角形中；(2)(2)当直角三角形的斜边不确定时，要注意分类讨论当直角三角形的斜边不确定时，要注意分类讨论1 1(2018(2018泸州中考泸州中考)“)“赵爽弦图赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽赵爽弦图弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为个大正方形设直角三角形较长直角边长为a a，较短直角边，较短直角边长为长为b.b.若若abab8 8，大正方形的面积为，大正方形的面积为2525，则小正，则小正方形的边长为方形的边长为( )( )A A9 B9 B6 C6 C4 D4 D3 3D D2 2(2017(2017安顺中考安顺中考) )三角形三边长分别为三角形三边长分别为3 3，4 4，5 5，那么，那么最长边上的中线长等于最长边上的中线长等于_3 3(2018(2018襄阳中考襄阳中考) )已知已知CDCD是是ABCABC的边的边ABAB上的高，若上的高，若CDCD ，ADAD1 1，ABAB2AC2AC，则，则BCBC的长为的长为_3 2.5 2.5 2 3 2 7或命题角度命题角度利用勾股定理解决最短路径问题利用勾股定理解决最短路径问题例例2 2(2018(2018东营中考东营中考) )如图所示，圆柱的高如图所示，圆柱的高ABAB3 3，底面直径，底面直径BCBC3 3，现在有一只蚂蚁想要从，现在有一只蚂蚁想要从A A处沿圆柱表面爬到对角处沿圆柱表面爬到对角C C处处捕食，则它爬行的最短距离是捕食，则它爬行的最短距离是( )( )【分析分析】 首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解短，然后利用勾股定理即可求解【自主解答自主解答】把圆柱沿把圆柱沿ABAB剪开并展开，如图所示，由题意得剪开并展开，如图所示，由题意得ABAB3 3，展开图，展开图BCBC ，蚂蚁从点，蚂蚁从点A A沿圆柱表面爬到点沿圆柱表面爬到点C C的最的最短距离为线段短距离为线段ACAC的长，的长，ACAC . .故选故选C.C.3223 424 4(2017(2017东营中考东营中考) )我国古代有这样一道数学我国古代有这样一道数学问题：问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为丈是十尺，则该圆柱的高为2020尺，底面周长为尺，底面周长为3 3尺，有葛藤尺，有葛藤自点自点A A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B B处，则问题处，则问题中葛藤的最短长度是中葛藤的最短长度是_尺尺 25 25 5 5(2018(2018黄冈中考黄冈中考) )如图，圆柱形玻璃杯高为如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm14 cm，底面，底面周长为周长为32 cm32 cm，在杯内壁离杯底，在杯内壁离杯底5 cm5 cm的点的点B B处有一滴蜂蜜，此处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm3 cm与蜂蜜相对的点与蜂蜜相对的点A A处，则蚂蚁从外壁处，则蚂蚁从外壁A A处到内壁处到内壁B B处的最短距离为处的最短距离为_cm(_cm(杯壁杯壁厚度不计厚度不计) ) 20 20 6 6(2018(2018东营模拟东营模拟) )如图，已知圆柱底面的周长为如图，已知圆柱底面的周长为4 dm4 dm，圆柱高为圆柱高为2 dm2 dm，在圆柱的侧面上，过点，在圆柱的侧面上，过点A A和点和点C C嵌有一圈金嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为属丝，则这圈金属丝的周长最小为_4 2dm命题角度命题角度勾股定理的应用勾股定理的应用例例3 3 (2014(2014东营中考东营中考) )如图，有两棵树，一棵高如图，有两棵树，一棵高1212米，另一米，另一棵高棵高6 6米，两树相距米，两树相距8 8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行树的树梢，问小鸟至少飞行_米米【分析分析】 根据根据“两点之间线段最短两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出将两点之间的距离求出【自主解答自主解答】大树高为大树高为ABAB1212米，小树高米，小树高CDCD6 6米米如图，过如图，过C C点作点作CEABCEAB于于E E，则四边形，则四边形EBDCEBDC是矩形，连接是矩形，连接ACAC，EBEB6 6米，米，ECEC8 8米，米，AEAEABABEBEB12126 66(6(米米) )在在RtRtAECAEC中，中，ACAC 10(10(米米) )故小鸟至少飞行故小鸟至少飞行1010米故答案为米故答案为10.10.22687 7(2017(2017绍兴中考绍兴中考) )如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.70.7米，米，顶端距离地面顶端距离地面2.42.4米如果保持梯子底端位置不动，将梯子米如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面斜靠在右墙时，顶端距离地面2 2米，则小巷的宽度为米，则小巷的宽度为( )( )A A0.70.7米米 B B1.51.5米米C C2.22.2米米 D D2.42.4米米C C8 8如图是某生态公园的一角，有人为了抄近道而避开横平如图是某生态公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角竖直的路的拐角ABCABC，而走，而走“捷径捷径AC”AC”，于是在草坪内走，于是在草坪内走出了一条不该有的出了一条不该有的“路路AC”AC”已知已知ABAB4040米，米，BCBC3030米，米，他们踩坏草坪，只为少走他们踩坏草坪，只为少走_米的路米的路 20 20 考点二考点二 直角三角形的性质直角三角形的性质 (5(5年年0 0考考) )例例4 4(2018(2018黄冈中考黄冈中考) )如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，CDCD为为ABAB边上的高，边上的高，CECE为为ABAB边上的中线，边上的中线，ADAD2 2，CECE5 5，则，则CDCD( )( )A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D2 23【分析分析】 根据直角三角形的性质得出根据直角三角形的性质得出AEAECECE5 5，进而得出，进而得出DEDE3 3，利用勾股定理解答即可，利用勾股定理解答即可【自主解答自主解答】 在在RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，CECE为为ABAB边边上的中线，上的中线，CECE5 5，AEAECECE5.5.ADAD2 2，DEDE3.3.CDCD为为ABAB边上的高，边上的高，在在RtRtCDECDE中，中，CDCD 4.4.故选故选C.C.22CEDE2253与直角三角形有关的解题思路与直角三角形有关的解题思路(1)(1)在一个题目中，若直角三角形较多，可考虑利用等面积在一个题目中，若直角三角形较多，可考虑利用等面积的方法求线段的长度的方法求线段的长度(2)(2)可利用直角三角形两锐角互余，根据同可利用直角三角形两锐角互余，根据同( (等等) )角的余角相角的余角相等求角度等求角度(3)(3)在直角三角形中，有在直角三角形中，有3030锐角可考虑锐角可考虑3030角所对直角边角所对直角边等于斜边的一半等于斜边的一半(4)(4)在直角三角形中，若有斜边中点，可考虑直角三角形斜在直角三角形中，若有斜边中点，可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半边上的中线等于斜边的一半9 9(2018(2018淄博中考淄博中考) )如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，CMCM平分平分ACBACB交交ABAB于点于点M M，过点，过点M M作作MNBCMNBC交交ACAC于点于点N N，且，且MNMN平分平分AMC.AMC.若若ANAN1 1，则，则BCBC的长为的长为( )( )A A4 B4 B6 C6 C4 D4 D8 83B B1010(2017(2017大连中考大连中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，ACBACB9090，CDABCDAB，垂足为，垂足为D D，点，点E E是是ABAB的中点，的中点，CDCDDEDEa a，则，则ABAB的长的长为为( )( )A A2a B2a B2 a2 aC C3a D. 3a D. a aB B24 33考点三考点三 等腰直角三角形的性质与判定等腰直角三角形的性质与判定 (5(5年年3 3考考) )例例5 5(2018(2018滨州中考滨州中考) )已知，在已知，在ABCABC中，中，A A9090，ABABACAC，点，点D D为为BCBC的中点的中点(1)(1)如图如图1 1，若点，若点E E，F F分别为分别为ABAB，ACAC上的点，且上的点，且DEDFDEDF，求，求证：证：BEBEAFAF；(2)(2)若点若点E E，F F分别为分别为ABAB，CACA延长线上的点，且延长线上的点，且DEDFDEDF，那，那么么BEBEAFAF吗？请利用图吗？请利用图2 2说明理由说明理由【分析分析】 (1) (1)利用等腰直角三角形的性质，连接利用等腰直角三角形的性质，连接ADAD，构造，构造BDEBDE和和ADFADF，通过，通过ASAASA证明全等即可得出结论；证明全等即可得出结论；(2)(2)类比类比(1)(1)，通过连接，通过连接ADAD，仍然可以构造，仍然可以构造BDEBDE和和ADFADF，通，通过过ASAASA证明全等得出结论证明全等得出结论【自主解答自主解答】 (1)(1)如图，连接如图，连接AD.AD.BDABDAEDFEDF9090，BDEBDEEDAEDAEDAEDAADFADF，BDEBDEADF.ADF.又又D D为为BCBC中点，中点，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BDBDADAD，B BDACDAC4545，BDEBDEADF(ASA)ADF(ASA)，BEBEAF.AF.(2)BE(2)BEAF.AF.理由如下：理由如下：如图，连接如图，连接AD.AD.BDABDAEDFEDF9090，BDEBDEBDFBDFBDFBDFADFADF，BDEBDEADF.ADF.又又D D为为BCBC中点，中点，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BDBDADAD，ABCABCDACDAC4545，EBDEBDFADFAD1801804545135135，BDEBDEADF(ASA)ADF(ASA)，BEBEAF.AF.1111(2018(2018枣庄中考枣庄中考) )如图是由如图是由8 8个全等的小矩形组成的大个全等的小矩形组成的大正方形，线段正方形，线段ABAB的端点都在小矩形的顶点上，如果点的端点都在小矩形的顶点上，如果点P P是某是某个小矩形的顶点，连接个小矩形的顶点，连接PAPA，PBPB，那么使，那么使ABPABP为等腰直角三为等腰直角三角形的点角形的点P P的个数是的个数是( )( )A A2 2个个 B B3 3个个 C C4 4个个 D D5 5个个B B1212(2018(2018绵阳中考绵阳中考) )如图，如图，ACBACB和和ECDECD都是等腰直角都是等腰直角三角形，三角形，CACACBCB，CECECDCD，ACBACB的顶点的顶点A A在在ECDECD的斜边的斜边DEDE上，若上，若AEAE ，ADAD ，则两个三角形重叠部分的面积，则两个三角形重叠部分的面积为为( )( )A. BA. B3 3 C. C. 1 D1 D3 3 263223D D