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第一部分第一部分 教材知识梳理教材知识梳理第四章第四章 三角形三角形第二节第二节 三角形及其性质三角形及其性质中招考点清单中招考点清单考点一考点一 三角形及其分类三角形及其分类 1三角形的定义：由不在同一条直线上三角形的定义：由不在同一条直线上的的_相接所组成的图形叫做三角形相接所组成的图形叫做三角形 2. 按边分按边分三条线段三条线段三角形三角形不等边三角形不等边三角形等腰三角形等腰三角形“底边底边腰长腰长”的等腰三角形的等腰三角形等边三角形等边三角形 3. 按角分按角分直角直角钝角钝角三角形三角形_三角形三角形斜三角形斜三角形锐角三角形锐角三角形_三角形三角形考点二考点二 一般三角形的性质一般三角形的性质（高频考点高频考点） 【考情总结考情总结】近近7年考查年考查4次，仅次，仅2014、2009和和2008年未考查，题型均为填空题，一般年未考查，题型均为填空题，一般不单独设题，常与其他知识综合求角度，涉及不单独设题，常与其他知识综合求角度，涉及的知识有尺规作图和轴对称性质的知识有尺规作图和轴对称性质. 1. 三角形的三边关系：三角形两边的和三角形的三边关系：三角形两边的和_第三边，三角形两边的差第三边，三角形两边的差_第三第三边，若一个三角形的三边边长分别为边，若一个三角形的三边边长分别为a、b、c，则则|a-b|ca+b.大于大于小于小于 【温馨提示温馨提示】（1 1）三角形的三边关系是）三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的重要依据，也判断三条线段能否构成三角形的重要依据，也可利用三边关系列出不等式求某些量的取值范可利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围；（围；（2 2）在一个三角形中，大角对大边，小）在一个三角形中，大角对大边，小角对小边角对小边. . 2. 三角形内角和定理：三角形三个内角的三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于和等于_.180 3. 三角形内、外角关系三角形内、外角关系:（1）三角形的外）三角形的外角角_与它不相邻的两内角的和与它不相邻的两内角的和;（2）三）三角形的任意一个外角角形的任意一个外角_任何一个和它不任何一个和它不相邻的内角相邻的内角.等于等于大于大于考点三考点三 三角形中的重要线段三角形中的重要线段 1. 三角形的角平分线三角形的角平分线 三角形的角平分线的描三角形的角平分线的描述方式，如图所示：述方式，如图所示： （1）AD是是ABC的一的一条角平分线条角平分线. （2）三角形的任意一条角平分线均在三）三角形的任意一条角平分线均在三角形内角形内. （3）1=2= _.ABC12 2. 三角形的中线三角形的中线 三角形的中线的描三角形的中线的描述方式，如图所示：述方式，如图所示： （1）AM是是ABC的一条中线，的一条中线，M是是BC的的中点中点. （2）三角形的任意一条中线均在三角形）三角形的任意一条中线均在三角形内内. （3）BM=CM，SABMSACM SABC.12 3. 三角形的高线三角形的高线 三角形的高线的描述方式：三角形的高线的描述方式： （1）AD是是ABC的一条高线，的一条高线，D是垂足是垂足. （2）三角形高线的位置如图：）三角形高线的位置如图： （3）三角形面积公式：）三角形面积公式：S= ah，其中，其中a是三角形的一条边长，是三角形的一条边长，h是这条边上的高是这条边上的高.12 【温馨提示温馨提示】三角形的角平分线、中线、三角形的角平分线、中线、高线不是直线也不是射线，而是线段；三角形高线不是直线也不是射线，而是线段；三角形的三条中线交于一点的三条中线交于一点, ,这一点叫做三角形的重这一点叫做三角形的重心心; ;三角形的三条角平分线的交点叫做三角形三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的内心的内心; ;三条高的交点叫做三角形的垂心三条高的交点叫做三角形的垂心. . 4. 三角形的中位线三角形的中位线 （1）中位线的概念：连接三角形）中位线的概念：连接三角形_的线段叫做三角形的中位线的线段叫做三角形的中位线. （2）中位线的性质：三角形的中位线）中位线的性质：三角形的中位线 _第三边，并且等于第三边的第三边，并且等于第三边的 _. 两边两边中点中点平行于平行于11111212一半一半 如图，如图，ABC三边中点分别为点三边中点分别为点D、E、F，则有（，则有（1）DFBC且且DF= BC；DEAC且且DE= AC；EFAB且且EF= AB；（2）SADF=SDBE=SFEC=SEFD= SABC.12121214考点四考点四 特殊三角形的性质及判定特殊三角形的性质及判定（高频考点高频考点） 【考情总结考情总结】近近7年每年必考，但一般不年每年必考，但一般不单独设题单独设题.其中等腰三角形近其中等腰三角形近7年考查年考查5次，仅次，仅2013年和年和2012年未考查，性质考查年未考查，性质考查2次，判定次，判定考查考查3次；直角三角形近次；直角三角形近7年考查年考查6次，仅次，仅2014、2010和和2009年未考查，年未考查，2013年和年和2012年各考查年各考查2次，其中直角三角形的性质考查次，其中直角三角形的性质考查2次，直角三次，直角三角形的判定考查角形的判定考查4次次.题型为解答题和填空题题型为解答题和填空题. 1. 等腰三角形等腰三角形 性质：（性质：（1）两腰相等，）两腰相等， _相等；相等；（2）顶角的平分线、底边上的高、底边上的）顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；（中线互相重合；（3）是轴对称图形，有）是轴对称图形，有 _条对称轴条对称轴. 判定：判定：(1)有两条边相等的三角形；有两条边相等的三角形；(2)等等角对等边角对等边. 面积计算公式：面积计算公式：S= ah(h是边是边a上的高上的高). 两底角两底角一一1313141412 2. 等边三角形等边三角形 性质：（性质：（1）三边相等；（）三边相等；（2）三内角相等，）三内角相等，且每一个内角都等于且每一个内角都等于 _；（；（3）内外心重）内外心重合；（合；（4）是轴对称图形，有）是轴对称图形，有 _条对称轴条对称轴. 判定：（判定：（1）三条边相等的三角形；（）三条边相等的三角形；（2）三个角都相等的三角形；（三个角都相等的三角形；（3）有一个角等于）有一个角等于60的的 _是等边三角形是等边三角形. 面积计算公式：面积计算公式：S= ah= a2(h是边是边a上上的高的高).60三三151516161717等腰三角形等腰三角形1234 3. 直角三角形直角三角形 性质：（性质：（1）两锐角之和等于）两锐角之和等于 _；（2）斜边上的中线等于斜边的）斜边上的中线等于斜边的 _；（；（3）30角所对的直角边等于斜边的一半；角所对的直角边等于斜边的一半；(4)若有若有一条直角边等于斜边的一半一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边那么这条直角边所对的锐角等于所对的锐角等于 _；(5)两直角边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方；（和等于斜边的平方；（6）直角三角形的面积）直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半等于两直角边乘积的一半.90一半一半18181919202030 判定：判定：(1)有一个角为有一个角为90；(2)斜边上的斜边上的中线等于斜边的一半；中线等于斜边的一半；(3)若若a2+b2=c2，则以，则以a、b、c为三边的三角形是直角三角形为三边的三角形是直角三角形. 面积计算公式：面积计算公式：S= ch= ab(a、b为为直角边，直角边，h是斜边是斜边c上的高上的高).1212 失分点失分点9 等腰三角形中分类讨论思想的等腰三角形中分类讨论思想的应用应用 （1）当已知等腰三角形的两边长时，若）当已知等腰三角形的两边长时，若没有明确边的类型，要分已知边是底边和已知没有明确边的类型，要分已知边是底边和已知边是腰两种情况进行讨论，再根据三角形三边边是腰两种情况进行讨论，再根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边作出判断；角形的任意两边之差小于第三边作出判断； （2）另外已知等腰三角形的一个内角度）另外已知等腰三角形的一个内角度数，确定其余两个角的度数，也应当分类讨数，确定其余两个角的度数，也应当分类讨论，已知角是锐角时，答案是两种，已知角是论，已知角是锐角时，答案是两种，已知角是直角或者是钝角，只有一种情况，即是已知角直角或者是钝角，只有一种情况，即是已知角为等腰三角形的顶角，其余两个角都是底角为等腰三角形的顶角，其余两个角都是底角. 常考类型剖析常考类型剖析类型一类型一 三角形中位线的有关计算三角形中位线的有关计算 例例1 已知已知ABC的各边长度分别为的各边长度分别为3 cm,4 cm,5 cm，则连接各边中点的三角形的周长为，则连接各边中点的三角形的周长为（ ） A. 2 cm B. 7 cm C. 5 cm D. 6 cmD 【解析解析】如解图，如解图，D，E，F分别是分别是ABC的三边的中点，则的三边的中点，则DE= AC，DF= BC，EF= AB，DEF的周长的周长= DE+DF+EF = (AC+BC+AB)=6 cm.12121212 【方法指导方法指导】在解决三角形中位线的有关在解决三角形中位线的有关计算时，一般先根据中点得到三角形的中位线，计算时，一般先根据中点得到三角形的中位线，然后根据中位线的性质可得到线段之间的位置然后根据中位线的性质可得到线段之间的位置关系和数量关系，从而可求解有关的角度问题关系和数量关系，从而可求解有关的角度问题和线段长度问题，有时还会与垂线、角平分线和线段长度问题，有时还会与垂线、角平分线等的性质结合求线段长度或角度等的性质结合求线段长度或角度. . 拓展题拓展题1 (14泸州泸州)如图，等边如图，等边ABC中，中，点点D、E分别为边分别为边AB、AC的中点，则的中点，则DEC的的度数为度数为( )A. 30B. 60C. 120D. 150C【解析解析】由等边由等边ABC得得C=60，由三角形，由三角形中位线的性质得中位线的性质得DEBC，DEC=180-C=180-60=120.类型二等腰三角形性质的有关计算类型二等腰三角形性质的有关计算 例例2 已知等腰已知等腰ABC中，中，ADBC于点于点D，且且AD BC，则，则ABC底角的度数为底角的度数为_.45或或75或或1512【解析解析】本题应分情况讨论：如解图，本题应分情况讨论：如解图，AB=AC,ADBC,BD=CD= BC, ADB=90，AD= BC, AD=BD, B=45，即此时，即此时ABC底角的度数为底角的度数为45；如解图，；如解图，AC=BC, ADBC, ADC=90，AD= BC, AD= AC, C=30，CAB=B=75，即此时，即此时ABC底角的度数为底角的度数为75；如解图，；如解图，ADBC,AD= BC= AC,ACD=30，121212121212ACB=150，CAB=CBA=15，此时此时ABC底角的度数为底角的度数为15；综上，；综上，ABC底角的度数为底角的度数为45或或75或或15. 【方法指导方法指导】涉及等涉及等腰三角形的边、角问题时，腰三角形的边、角问题时，常常分情况讨论：常常分情况讨论： （1 1）对于解决已知某）对于解决已知某条边求另外两条边或周长的条边求另外两条边或周长的问题时，要分这条边是底边问题时，要分这条边是底边还是腰，同时在确定底边和腰后，要根据三角还是腰，同时在确定底边和腰后，要根据三角形的三边关系判断能否构成三角形；形的三边关系判断能否构成三角形； （2 2）对于解决已知某角求另外两角度数）对于解决已知某角求另外两角度数的问题时，要分所给角是底角还是顶角，看顶的问题时，要分所给角是底角还是顶角，看顶角是锐角、钝角，还是直角，同时在确定角后角是锐角、钝角，还是直角，同时在确定角后注意：三角形的内角和等于注意：三角形的内角和等于180. 拓展题拓展题2 已知等腰已知等腰ABC的两边长分别为的两边长分别为2和和3，则等腰，则等腰ABC的周长为的周长为_.7或或8 【解析解析】因为等腰三角形的两边分别为因为等腰三角形的两边分别为2和和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：当两种情况，需要分类讨论：当2为底时，三角为底时，三角形的三边为形的三边为3，2，3可以构成三角形，周长为可以构成三角形，周长为8；当；当3为底时，三角形的三边为为底时，三角形的三边为3，2，2可以可以构成三角形，周长为构成三角形，周长为7.类型三类型三 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 例例3 如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，A=36，BD、CE分别是分别是ABC、ACB的角平分线，则图中的的角平分线，则图中的等腰三角形有等腰三角形有( ) A. 5个个 B. 4个个 C. 3个个 D. 2个个A 【解析解析】AB=AC，ABC是等腰三角形；是等腰三角形；BD、CE分别是分别是ABC、ACB的角平分线，的角平分线，EBC= ABC,ECB= ACB，ABC是等腰三角形，是等腰三角形，EBC=ECB，BCE是等腰三角形；是等腰三角形；1212A=36，AB=AC，ABC=ACB = (180-36)=72，又，又BD是是ABC的角平分线，的角平分线，ABD= ， ABD是等腰三角形；是等腰三角形；由可知由可知ABC=ACB=72，BD是是ABC的角平分线，的角平分线，DBC= ABC =36，BDC=180-ACB-DBC = 180-72-3672,BDC= ACB, BD=BC,BCD是等腰三角形；是等腰三角形；1262=13ABCA12由得由得BDC=72，由得，由得ACB= 72，CE是是BCD的角平分线，的角平分线，DCE= BCD36，DEC= 180 -DCE-BDC=180-36-7272，DEC=EDC, CE=CD, CDE是等腰三角形是等腰三角形.12 【方法指导方法指导】有关等腰三角形的判定常用有关等腰三角形的判定常用的方法为：（的方法为：（1 1）直接证明三角形的两边相等，）直接证明三角形的两边相等，可以通过直接计算或者等量代换求得两边的数可以通过直接计算或者等量代换求得两边的数量关系，从而判定等腰三角形；（量关系，从而判定等腰三角形；（2 2）通过求）通过求三角形的两个内角相等，利用等角对等边即可三角形的两个内角相等，利用等角对等边即可得到三角形的两边相等，从而判定等腰三角形得到三角形的两边相等，从而判定等腰三角形. .类型四类型四 直角三角形性质的有关计算直角三角形性质的有关计算 例例4 在在RtABC中，中，ABC=90，AB=6，BC=8，则，则AC上的中线长为上的中线长为_.5 【解析解析】如解图，在如解图，在RtABC中，中，ABC=90，AB=6，BC=8在在RtABC中，中，由勾股定理得由勾股定理得AC= = =10.又又BD是是AC边上的中线，边上的中线，BD= AC = =5.22ABBC 122268 102 【方法指导方法指导】一般涉及求线段长度时一般涉及求线段长度时: : (1) (1)若在直角三角形中，可利用勾股定理若在直角三角形中，可利用勾股定理进行求解进行求解; ; （2 2）若在一般三角形中，可构造直角三）若在一般三角形中，可构造直角三角形利用勾股定理进行求解角形利用勾股定理进行求解; ; （3 3）若已知中线是对边的一半，联想到）若已知中线是对边的一半，联想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，然后利用勾股定理进行求解然后利用勾股定理进行求解. . 拓展题拓展题3 已知直角三角形两边的长为已知直角三角形两边的长为5和和12，求这个三角形第三边的长为，求这个三角形第三边的长为_. 拓展题拓展题3 已知直角三角形两边的长为已知直角三角形两边的长为5和和12，求这个三角形第三边的长为，求这个三角形第三边的长为_. 13或或 119【解析解析】设这个三角形第三边长为设这个三角形第三边长为x.（1）当）当x为斜边时，则由勾股定理可得为斜边时，则由勾股定理可得52+122x2.解得解得x13,又又x0，x13，即这个三角形，即这个三角形第三边的长为第三边的长为13.（2）当）当x为直角边时，则长为直角边时，则长度为度为12的边为斜边，则由勾股定理可得的边为斜边，则由勾股定理可得52+x2=122.解得解得x= .又又x0，x= ,即这个三角形第三边的长为即这个三角形第三边的长为 .综上综上所述，这个三角形第三边的长为所述，这个三角形第三边的长为13或或 .119119119119
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