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【A级】基础训练1(x高考重庆卷)设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A.BC2 5010解析：ab，x20，x2.|ab|.故选B.答案：B2(x天门模拟)已知非零向量a，b，c满足abc0.向量a，b的夹角为60，且|b|a|，则向量a与c的夹角为()A60 B30Cx0 D150解析：由abc0得cab，|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 603|a|2，|c|a|，又aca(ab)|a|2ab|a|2|a|b|cos 60|a|2.设a与c的夹角为，则cos ，0180，150.答案：D3(x高考湖北卷)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. BC D解析：首先求出，的坐标，然后根据投影的定义进行计算由已知得(2,1)，(5,5)，因此在方向上的投影为.答案：A4(x高考全国新课标卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.解析：直接利用平面向量的数量积运算求解|a|b|1，a，b60.cta(1t)b，bctab(1t)b2t11(1t)11t1.bc0，10，t2.答案：25已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_解析：(a2b)(ab)6，a2ab2b26，1ab246，ab1.cosa，b，a，b.答案：6(xx质检)已知非零向量，和满足0，且，则ABC为_三角形解析：0，cos Bcos C.ABC为等腰三角形又，cos.ACB60，ABC为等边三角形答案：等边7已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|.解：(1)(2a3b)(2ab)61，解得ab6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22abb213，|ab|.|ab|2a22abb237.|ab|.8已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p (b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp边长c2，角C，求ABC的面积解：(1)证明：mn，asin Absin B，即ab，其中R是三角形ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形(2)由题意可知mp0，即a (b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)，Sabsin C4sin.【B级】能力提升1(x厦门质检)已知点O，N，P在ABC所在的平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心解析：因为|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由0，得，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由，得0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心答案：C2(x高考江西卷)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则()A2 B4C5 D10解析：解法一：以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴建立直角坐标系设A(a,0)，B(0，b)，则D，P.从而|PA|2|PB|2(a2b2)10|PC|2，故选D.解法二：因为，且2，两式平方相加得22222424242202，故选D.解法三：由平行四边形性质得2(22)2(2)24242202，故选D.答案：D3(x高考x卷)对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab()A. BC1 D解析：abcos cos ，bacos ，因为|a|0，|b|0,0cos ，且ab、ba，所以cos ，cos ，其中m，nN，两式相乘，得cos2，因为0cos ，所以0cos2，得到0mn0，解之得m5.(4)复数z对应的点(m25m6，m22m15)在直线xy50上，即(m25m6)(m22m15)50，解得：m或m.【B级】能力提升1(x包头模拟)下面命题：(1)0比i大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；(3)xyi1i的充要条件为xy1；(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)xyi1i的充要条件为xy1是错误的，因为x，y未必是实数；(4)当a0时，没有纯虚数和它对应答案：A2(x银川模拟)已知xR，i为虚数单位，若(12i)(xi)43i，则x的值等于()A6 B2C2 D6解析：依题意(12i)(xi)x2(12x)i43i，则解得x2，故选C.答案：C3虚数(x2)yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是()A. BC， D，0)(0， 解析：设k，则k为过圆(x2)2y21上点及原点的直线的斜率，如图，设圆(x2)2y21的圆心过M，过原点作圆M的切线OA，则sin AOM.AOM.ktan.又y0，k0.由对称性可知选B.答案：B41ii2i3i2 015_.解析：原式0.答案：05(x长治模拟)在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|_.解析：由题意知A(1,1)，B(1,3)，故|2.答案：26 (x九江模拟)设z1是复数，z2z1i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则z2的虚部为_解析：设z1xyi(x，yR)，则z2xyii(xyi)(xy)(yx)i，故有xy1，yx1.答案：17(创新题)设i为虚数单位，复数z和满足z2iz2i10.(1)若z和满足z2i，求z和的值；(2)求证：如果|z|，那么|4i|的值是一个常数，并求这个常数解：(1)z2i，z2i.代入z2iz2i10，得(2i)(2i)2i10，4i2i50.设xyi(x，yR)，则上式可变为(xyi)(xyi)4i(xyi)2i(xyi)50.x2y26y52xi0.或i，zi或5i，z3i.(2)证明：由z2iz2i10，得z(2i)2i1，|z|2i|2i1|.设xyi(x，yR)，则|2i|x(y2)i|.|2i1|(2y1)2xi|.又|z|，可化为3(x2y24y4)4x24y24y1.x2y28yx.|4i|x(y4)i|3.|4i|的值是常数，且等于3. 【A级】基础训练1(x高考大纲全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1Bn1C.n1 D解析：当n1时，a11，当n2时，anSnSn12an12an，解得3an2an1，an，Sn1n1.答案：B2数列an的前n项积为n2，那么当n2时，an的通项公式为()Aan2n1Bann2Can Dan解析：设数列an的前n项积为Tn，则Tnn2，当n2时，an.答案：D3(x西安模拟)已知Sn是数列an的前n项和，SnSn1an1(nN)，则此数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列解析：SnSn1an1，当n2时，Sn1Snan，两式相减得anan1an1an，an0(n2)当n1时，a1(a1a2)a2，a10，an0(nN)，故选C.答案：C4(创新题) 数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于nN*，满足以下运算性质：（1）.2*2=1，（2）（2n+2）*2=3（2n*2），则2n*2用含n的代数式表示为 ：解析：根据：22=1；（2n+2）2=3（2n2），判断数列（2n2）是等比数列，即可求得其通项公式22=1，（2n+2）2=3（2n2），2（n+1）2（2n2）=3 （2n2）是以1为首项，3为公比的等比数列，第n项是：3n-1答案：3n15已知数列an的前n项和Sn2n3，则数列an的通项公式为_解析：当n1时，a1S12131，当n2时，anSnSn12n2n12n1，an.答案：an6我们可以利用数列an的递推公式an(nN)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a24a25_；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_项解析：a24a25ax25a625a32532528；5a5a10a20a40a80a160a320a640.答案：286407(x汉中调研)已知数列an中，an1(nN，aR，且a0)(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN，都有ana6成立，求a的取值范围解析：(1)an1(nN，aR，且a0)，a7，an1.结合函数f(x1的单调性可知1a1a2a3a4；a5a6a7an1(nN)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11.对任意的nN，都有ana6成立，并结合函数f(x)1的单调性，56，10a8.8已知数列an的前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性解：(1)a12，anSnSn12n1(n2)，bn(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cn0，即cn1|an|(n1,2)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由an1|an|可得an1an.an是递增数列“an1|an|”是“an为递增数列”的充分条件当数列an为递增数列时，不一定有an1|an|，如：3，2，1,0,1，.“an1|an|”不是“an为递增数列”的必要条件答案：B3(x黄冈模拟)数列an满足下列条件：a11，且对于任意的正整数n(n2，nN)，恒有2an2nan1，则a100的值为()A1 B299C2100 D24 950解析：由2an2nan1可得2n1(n2)，a100a129929822211224 950.答案：D4函数yx2(x0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN.若a116，则a1a3a5的值是_解析：函数yx2(x0)在点(a1，a)处(a116)即点(16,256)处的切线方程为y25632(x16)令y0，得a28；同理函数yx2(x0)在点(a2，a)处(a28)即点(8,64)处的切线方程为y6416(x8)令y0，得a34，依次同理求得a42，a51.所以a1a3a521.答案：215在数列an中，若a1，an(n2，nN)，则a2 0x_.解析：a1，an(n2，nN)，a22，a31，a4.an是以3为周期的数列axa67131a1.答案：6(x大连模拟)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_解析：an1an2n，anan12(n1)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n2)(2n4)233n2n33(n2)，又a133适合上式，ann2n33，n1.令f(x)x1(x0)，则f(x)1，令f(x)0得x.当0x时， f(x)0，当x时，f(x)0，即f(x)在区间(0，)上递减；在区间(，)上递增又56，且f(5)51，f(6)61，f(5)f(6)，当n6时，有最小值.答案：7(创新题)已知二次函数f(x)x2axa(a0，xR)，有且只有一个零点，数列an的前n项和Snf(n)(nN)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn1(nN)，定义所有满足cmcm10得a4，f(x)x24x4.Snn24n4.当n1时，a1S11441；当n2时，anSnSn12n5.an(2)由题设cn由1可知，当n5时，恒有an0.又c13，c25，c33，c4，即c1c20，c2c30，c4c5a9，a1a90，又a1a92a5，a50，数列前4项为正值，从第6项起为负值，S4S5且为最大选C.答案：C3等差数列an的前n项和为Sn，若a2a7a915，则Sx的值为()A. B50C55 Dx0解析：由等差数列性质得a2a7a93a615，a65，Sxxa655.故选C.答案：C4(x高考x卷)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.解析：可以利用通项公式，把a3a8,3a5a7都用a1，d表示出来，进行整体代换；也可以利用anam(nm)d把a3a8,3a5a7都用a3，d表示出来，进行整体代换方法一：a3a82a19d10,3a5a74a118d2(2a19d)21020.方法二：a3a82a35d10,3a5a74a310d2(2a35d)21020.答案：205(创新题)在数列an中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列an的前9项和S9_.解析：点(n，an)在定直线l上，数列an为等差数列ana1(n1)d.将(5,3)代入，得3a14da5.S9(a1a9)9a53927.答案：276已知数列an中，a11，an1anan1an，则数列的通项公式为_解析：由an1anan1an，得1，即1，又1，则数列是以1为首项和公差的等差数列，于是1(n1)(1)n，an.答案：an7(x高考x卷)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解：(1)由题意得，a15a3(2a22)2，由a110，an为公差为d的等差数列得，d23d40，解得d1或d4.所以annx(nN)或an4n6(nN)(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，annx，所以当nx时，|a1|a2|a3|an|Snn2n；当nx时，|a1|a2|a3|an|Sn2Sxn2nx0.综上所述，|a1|a2|a3|an|8(创新题)已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nN)在函数yx21的图像上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bn2an，求证：bnbn2b.解：(1)由已知得an1an1，即an1an1，又a11，所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列故an1(n1)1n.(2)证明：法一：由(1)知：ann，从而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因为bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以bnbn2b.法二：因为b11，bnbn2b(bn12n)(bn12n1)b2n1bn12nbn12n2n12n(bn12n1)2n(bn2n2n1)2n(bn2n)2n(b12)2n0，所以bnbn20，即数列cn为单调递增数列，所以c2最小，c2.所以的取值范围为. 【A级】基础训练1(x辽宁沈阳一模)已知各项不为0的等差数列an满足2a2a2ax0，数列bn是等比数列，且b7a7，则b3bx等于()A16B8C4 D2解析：由等差数列性质得a2ax2a7，所以4a7a0，又a70，所以a74，b74，由等比数列性质得b3bxb16，故选A.答案：A2(x江西临川模拟)在等比数列中，已知a1aa15243，则的值为()A3 B9C 27 D81解析：a1aa15243，a83，又a，9.故选B.答案：B3(x孝感模拟)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5 B7C6 D4解析：an为等比数列，(a4a5a6)2(a1a2a3)(a7a8a9)50，an0，a4a5a65.答案：A4(x高考x卷)若等比数列an满足a2a4，则a1aa5_.解析：由等比数列性质可得aa2a4a1a5，所以a1aa5(a2a4)2.答案：5(x高考辽宁卷)已知等比数列an为递增数列若a10，且2(anan2)5an1，则数列an的公比q_.解析：2(anan2)5an1，2an2anq25anq，化简得，2q25q20，即(2q1)(q2)0，由题意知，q1.q2.答案：26在等差数列an中，a11，a74，数列bn是等比数列，已知b2a3，b3，则满足bn的最小自然数n是_解析：an为等差数列，a11，a74,6d3，d.an，bn为等比数列，b22，b3，q.bn6n1，bn，即6n1，得出32n6，又nN，nmin7.答案：77(x高考全国新课标)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，ax，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.解：(1)设an的公差为d，由题意得aa1a13，即(a110d)2a1(a1xd)于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.8(创新题)已知等比数列an的前n项和为Sn2nc.(1)求c的值并求数列an的通项公式；(2)若bnSn2n1，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)当n1时，a1S12c，当n2时，anSnSn12n2n12n1，an数列an为等比数列，a12c1，c1.数列an的通项公式an2n1.(2)bnSn2n12n2n，Tn(2222n)2(12n)2(2n1)n(n1)2n12n2n.【B级】能力提升1(x高考北京卷)已知an为等比数列下面结论中正确的是()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，则a1a2 D若a3a1，则a4a2解析：设出等比数列an的首项与公比，利用等比数列的通项公式求解设an的首项为a1，公比为q，则a2a1q，a3a1q2.a1a3a1(1q2)，又1q22q，当a10时，a1(1q2)2a1q，即a1a32a2；当a10，aa2a.故B正确若a1a3，则q21.q1.当q1时，a1a2；当q1时，a1a2.故C不正确D项中，若q0，则a3qa1q，即a4a2；若q0，则a3qa1q，此时a40)，则直线g(x)4(x1)与函数yf(x)图像的两个交点为(1,0)， 4，a1，f(x)(x1)2.(2)f(an)(an1)2，g(an)4(an1)，(an1an)4(an1)(an1)20，(an1)(4an13an1)0，a12，an10，4an13an10，an11(an1)，又a111，数列an1是首项为1，公比为的等比数列，an1n1，ann11.(3)bn3(an1)24(an11)324n，设bny，un1，则y332.nN，u的值分别为1，经比较距最近，当n3时，bn有最小值，当n1时，bn有最大值0. 【A级】基础训练1(x沈阳模拟)设数列(1)n的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn()A.BC. D解析：数列(1)n是首项与公比均为1的等比数列，Sn.答案：D2已知数列an的前n项和Snn24n2，则|a1|a2|a10|()A66 B65C61 D56解析：当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1n24n2(n1)24(n1)22n5.a21，a31，a43，a1015，|a1|a2|a10|1126466.答案：A3若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()A15 BxCx D15解析：a1a2a3a4a9a103.故a1a2a1015.答案：A4设Sn，若SnSn1，则n的值为_解析：Sn11，SnSn1，解得n6.答案：65(x孝感模拟)已知f(3x)4xlog23233，则f(2)f(4)f(8)f(28)的值等于_解析：令3xt，则xlog3tf(t)4log3tlog232334log2t233f(2n)4n233f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)23382 008.答案：2 0086(x合肥市高三质检)已知数列an满足anan1an2an324，且a11，a22，a33，则a1a2a3a2 015_.解析：由anan1an2an324可知，an1an2an3an424，得an4an，所以数列an是周期为4的数列，再令n1，求得a44，每四个一组可得(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 0xa2 0x)a2 0131050315 031.答案：5 0317(x黑x哈尔滨三模)已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn，nN.(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn.解：(1)证明：2Snaan.当n1时，2a1aa1，a10，a11.当n2时，2Sn1aan1.得，2anaaanan1，(anan1)(anan1)(anan1)0.an0，anan11，d1.an1(n1)1n.(2)bn，Tnb1b2b31.8等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和解：(1)设数列an的公比为q，由a9a2a6得a9a，所以q2.由条件可知an0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故数列an的通项公式为ann.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2，2.所以数列的前n项和为.【B级】能力提升1(xx肇庆二模)若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则有1100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是()A130 B325C676 D1 300解析：设两个连续偶数为2k2和2k(kN)，则(2k2)2(2k)24(2k1)，故和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1100之间，能称为和平数的有41,43,45,47，425，共计13个，其和为413676.答案：C2(x宜昌模拟)已知函数f(x)x22bx的图像在点A(0，f(0)处的切线l与直线xy30平行，若数列的前n项和为Sn，则S2 013的值为()A. BC. D解析：f(x)2x2b，由题意可知，f(0)2b1，b，即f(x)x2x，S2 01311.答案：C3数列an中，已知对任意正整数n，a1a2a3an2n1，则aaaa等于()A(2n1)2 B(2n1)C.( 4n1) D4n1解析：a1a2a3an2n1，a1a2a3an12n11(n2，nN)，an2n2n12n1，当n1时，a12111，a1也适合上式，an2n1，a4n1，aaaa(4n1)答案：C4(x高考辽宁卷)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.解析：因为a1，a3是方程x25x40的两个根，且数列an是递增的等比数列，所以a11，a34，q2，所以S663.答案：635(x高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若x天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN)等于_解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27x8，则n17，即n6.答案：66(x成都模拟)把公差d2的等差数列an的各项依次插入等比数列bn中，将bn按原顺序分成1项，2项，4项，2n1项的各组，得到数列cn：b1，a1，b2，b3，a2，b4，b5，b6，b7，a3，数列cn的前n项和为Sn.若c11，c22，S3.则数列cn的前100项之和S100_.解析：由已知得b11，a12，b2，令Tn12222n12n1，则T663，T7x7，数列cn的前100项中含有数列an的前6项，含有数列bn的前94项，故S100(b1b2b94)(a1a2a6)622.答案：7(创新题)已知公差为d(d1)的等差数列an和公比为q(
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