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第二章方程第二章方程(组组)与不等式与不等式(组组) 第第5讲一次方程与方程组讲一次方程与方程组考点梳理考点梳理过关过关考点考点1 等式的基本性质及方程的相关概念等式的基本性质及方程的相关概念 6 6年年1 1考考拓展拓展 判断一个数值是否是方程的解的方法：(1)直接解方程；(2)把未知数的值代入方程计算，比较左右两边是否相等考点考点2 一元一次方程和二元一次方程一元一次方程和二元一次方程考点考点3 方程组与方程组的解方程组与方程组的解 6 6年年1 1考考提示提示 (1)注意区分未知数的个数与未知项的次数的区别；(2)关于未知数的个数是指方程组中共有的而不是每个方程都必须有考点考点4 一次方程一次方程( (组组) )的解法的解法 6 6年年3 3考考提示提示 解一元一次方程：(1)去分母时注意不要漏乘不含分母的项；(2)去括号时，括号前面是“”号的，去掉括号，括号内的每一项都要变号；(3)移项要变号解二元一次方程组：(1)代入消元时对于代入的多项式注意加上括号；(2)加减消元时必须先把某一未知数的系数化为相同或相反考点考点5 一次方程一次方程( (组组) )的应用的应用 6 6年年5 5考考基本步骤：基本步骤：(1)审题：理解题意，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，要求什么；(2)设元(未知数)：设未知数，用含未知数的代数式表示相关的量；(3)找出其中的等量关系；(4)根据相等关系，列出方程；(5)解方程并检验方程组的解是否符合题意并写出答拓展拓展 (1)设未知数有两种设法：直接未知数：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程(组)；间接未知数：有时在数量关系中一个最密切的量虽然不是要求的未知数，但是它起到关键的桥梁作用，设这个量为未知数，可以简单地列出方程(组)；(2)用方程(组)解决实际问题，关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时可以借助图表等，在得到方程(组)的解后，要检验它是否符合实际意义典型例题典型例题运用运用类型类型1 1 解一元一次方程解一元一次方程【例1】2016贺州中考解方程： 易错提示 1.在去分母时漏乘不含分母的项而错求x18.5；2.在去完分母后没有适当添加括号或添加了括号但去括号时忘记变号而错求x150；3.在移项过程中忘记变号而错求x16；4.在系数化为1时弄错了谁是除数而错求x .自主解答：去分母，得2x3(30 x)60.去括号，得2x903x60.移项、合并同类项，得5x150.系数化为1，得x30.301类型类型2 2 解两元一次方程组解两元一次方程组【例2】2017广州中考解方程组技法点拨 1.当某一个方程中有未知数的系数为1时可采用代入消元法；2.当两个方程中某一未知数的系数相同或互为相反数，或成整数倍时，可以采用加减消元法；3.当加减消元都可以时最好采用加法消元自主解答：2，得2x2y10.，得y1.将y1代入，得x15.解得x4.方程组的解为类型类型3 3 一次方程一次方程( (组组) )的应用的应用【例3】2017安徽中考九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题思路分析：思路分析：根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可自主解答：设共有x人，根据题意得8x37x4.解得x7.8x353.答：共有7人，这个物品的价格是53元【例4】2017徐州中考4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄思路分析：思路分析：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论变式运用 2017长春模拟一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A，B两地间的路程是多少？解：设A，B两地间的路程为xkm.根据题意，得 1.解得x420.答：A，B两地间的路程为420km.60 x70 x技法点拨技法点拨 1.常见等量关系有比较型，求和型和公式型；2.常见问题有行程问题(路程速度时间）；工程问题（工作量工作效率工作时间);销售问题（进价利润率利润售价进价，售价标价折扣率）；年龄问题（每人增加的年龄是相等的）；积分问题（各种积分总和等于总积分）.六年真题六年真题全练全练命题点命题点1 1 一次方程一次方程( (组组) )的解的解12014滨州，4,3分方程2x13的解是()D移项，得2x31.合并同类项，得2x4.系数化为1，得x2.A1 B. C1 D221猜押预测猜押预测 1.关于x的方程 1的解为2，则m的值是() A2.5B1C1D3B把x2代入方程，得 1.解得m1.猜押预测 2.已知方程组 的解为 则ab的值为() A1 B2 C3 D4得分要领 1.明确方法，根据方程(组)的解的定义把未知数的值代入原方程；2.能准确求出方程(组)的解22013滨州，3,3分把方程 x1变形为x2，其依据是()A等式的性质1 B等式的性质2C分式的基本性质 D不等式的性质1命题点命题点2 2 等式的基本性质等式的基本性质21B由 x1变形为x2是在等式的两边同时乘2，依据是等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等21猜押预测 3.下列选项中，运用等式性质的变形正确的是 ()A如果ab，那么acbcB如果 ，那么abC如果ab，那么D如果a3，那么a23a2BA利用等式性质1，两边都加c，得到acbc，故A不成立；B.利用等式性质2，两边都乘以c，得到ab，故B成立；C.不成立，c必须不为0；D.a29,3a227，a23a2.猜押预测 4.下列变形不是根据等式性质的是()A.B若ax，则xa0C若x322x，则x2x23D若 x1，则x221AA该等式的变形是根据分式的基本性质得到的，故本选项符合题意；B.在等式ax的两边同时加上a得到0 xa，即xa0，故本选项不符合题意；C.在等式x322x的两边同时加上(2x3)得到x2x23，故本选项不符合题意；D.在等式 x1的两边同时乘以2得到x2，故本选项不符合题意21得分要领 1.掌握等式性质，性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍得等式.2.能区分等式性质与分式性质32015滨州，20,9分根据要求，解答下列问题(1)解下列方程组(直接写出方程组的解即可)： 的解为_ 的解为_ 的解为_(2)以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为_；(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解命题点命题点3 3 解一次方程解一次方程( (组组) )42014滨州，19,6分请在下列两个小题中，任选其一完成(1)解方程：(2)解方程组：解：(1)去分母，得122(2x1)3(1x)去括号，得124x233x.移项，得4x3x3212.合并同类项，得7x7.系数化为1，得x1.3，得10 x20，解得x2.把x2代入，得32y7，解得y1.原方程组的解为52013滨州，19,6分请在下列两个小题中，任选其一完成即可(1)解方程组：(2)解方程：解：(1)4，得7x35，解得x5.把x5代入，得5y4，解得y1.则原方程组的解是(2)去分母，得3(3x5)2(2x1)去括号，得9x154x2.移项、合并同类项，得5x17.系数化为1，得x .517猜押预测 5.解方程： 1x解：去分母，得2(x1)66x3(x1)去括号，得2x266x3x3.移项、合并同类项，得x5.系数化为1，得x5.命题点命题点4 4 一次方程一次方程( (组组) )的应用的应用62017滨州93分某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是()A22x16(27x) B16x22(27x)C216x22(27x) D222x16(27x)D设分配x名工人生产螺栓，则(27x)名工人生产螺母一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，可得222x16(27x)72012滨州，7,3分李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟他家离学校的距离是2900米如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程组是()D由“到学校共用时15分钟”可得方程xy15.根据“骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟，他家离学校的距离是2900米”可得方程250 x80y2900，两个方程组合即可得到方程组82015滨州，18,4分某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套120设每天缝制的衣袖、衣身、衣领正好做成x套衣服，则缝制2x个衣袖，需 名工人；缝制衣身x个，需要 名工人；缝制衣领x个，需要工人 名根据共有210名工人，可以列方程 210.解得x600，则需要安排缝制衣袖的工人是 120(名)92014滨州，16,4分某公园“61”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备 元钱买门票34设大人门票每张为x元，小孩门票每张为y元，由题意，得 解得 则3x2y34.即王斌家计划去3个大人和2个小孩，需准备34元钱买门票102016滨州，20,9分某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个技术上场时间(分钟)出手投篮(次)投中(次)罚球得分篮板(个)助攻(次)个人总得分数据4666221011860解：设本场比赛中该运动员投中2分球x个，3分球y个，依题意，得解得答：本场比赛中该运动员投中2分球16个，3分球6个猜押预测 6.成都市为减少雾霾天气采取了多项措施，如对城区主干道进行绿化现计划把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是()A5(x211)6(x1)B5(x21)6(x1)C5(x211)6xD5(x21)6xA设原有树苗x棵，由栽树的棵数分得的段数1，可以表示出路的长度，由路的长度相等建立方程求出其解即可设原有树苗x棵，则路的长度为5(x211)米由题意，得5(x211)6(x1)猜押预测 7.一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策(可用(1)(2)问的条件及结论)解：(1)设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元由题意，得解得答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元(2)单独请甲组需要的费用为300123600(元)单独请乙组需要的费用为241403360(元)36003360，单独请乙组需要的费用少(3)请两组同时装修，理由：甲单独做，需费用3600元，少盈利200122400(元)，相当于损失6000元；乙单独做，需费用3360元，少盈利200244800(元)，相当于损失8160元；甲乙合作，需费用3520元，少盈利20081600(元)，相当于损失5120元512060008160，甲乙合作损失费用最少答：甲乙合作施工更有利于商店思路分析：(1)本题的等量关系是：甲做8天需要的费用乙做8天需要的费用3520元甲做6天需付的费用乙做12天需付的费用3480元，由此可得出方程组求出解(2)根据(1)得出的甲乙每工作一天，商店需付的费用，然后分别计算出甲单独做12天需要的费用，乙单独做24天需要的费用，让两者进行比较即可(3)本题可将每种施工方法的施工费加上施工期间商店损失的费用，然后将不同方案计算出的结果进行比较，损失最少的方案就是最有利商店的方案
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