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要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展误 解 分 析第2课时 实数与向量的积2共线定理共线定理.向量向量b与非零向量与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实共线的充要条件是有且只有一个实数数，使得，使得b=a1.实数与向量的积的概念实数与向量的积的概念 .(1)实数实数与向量与向量a的积记作的积记作a，其长度，其长度|a|=|a|；方向规定如下：；方向规定如下：当当0时，时，a的方向与的方向与a的方向相同；当的方向相同；当0时，时，a的方向与的方向与a的的方向相反；当方向相反；当=0时，时，a=0. (2)设设、为实数，则有如下运算律：为实数，则有如下运算律：(a)=()a，(+)a=a+a，(a+b)=a+b3.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量面内的任一向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1,2，使，使a=1e1+2e2 ,其中其中e1，e2叫基底叫基底.返回返回1.设命题设命题p：向量：向量b与与a共线，命题共线，命题q:有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得b=a,则则p是是q的的( ) (A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)必要不充分条件必要不充分条件 (C)充要条件充要条件 (D)既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 2.给出下列命题：给出下列命题：若若a,b共线且共线且|a|=|b|，则，则(a-b)(a+b)；已知已知a=2e,b=3e，则，则a=3b/2；若若a=e1-e2 ,b=-3e1+3e2，且，且e1e2，则，则|a|=3|b|；在在ABC中，中，AD是是BC上的中线，则上的中线，则AB+AC=2AD其中，正确命题的序号是其中，正确命题的序号是_3.(1)在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=a,AD=b,那么用那么用a和和b表示向量表示向量AC+DB为为( ) (2)已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线交于点的对角线交于点E，设，设AB=e1，AD=e2，则用则用e1, e2表示表示ED的表达式为的表达式为( ) (A)2a (B)2b (C)0 (D)a+b 课课 前前 热热 身身B，ABD ba21返回返回4.平面直角坐标系中，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点，若点C满足满足OC=OA+OB，其中，其中a、R，且，且+=1,则点则点C的的轨迹方程为轨迹方程为( ) (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=05.设设P、Q是四边形是四边形ABCD对角线对角线AC、BD中点，中点，BC=a,DA=b，则，则PQ=_1.设设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且是两个互相垂直的单位向量，且a=-(2e1+e2)，b=e1-e2. (1)若若ab，求，求； (2)若若ab，求，求. 【解题回顾解题回顾】ab a=b(b0),abab=0 2.设设ABC的重心为的重心为G，点，点O是是ABC所在平面内一点，求证：所在平面内一点，求证： OG= (OA+OB+OC)31 【解题回顾解题回顾】当点当点O是是ABC重心时，有重心时，有OA+OB+OC=0；反过来，；反过来，若若P是是ABC所在平面内一点，且所在平面内一点，且PA+PB+PC=0，则，则P必为必为ABC的重心的重心.事实上，由事实上，由PA+PB+PC=0得：得：(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0，所以，所以OP= (OA+OB+OC)，故，故P是是ABC的重心的重心313.已知已知OA、OB不共线，设不共线，设OP=aOA+bOB，求证：，求证：A、P、B三点三点共线的充要条件是共线的充要条件是a+b=1. 【解题回顾解题回顾】由本题证明过程可知，若由本题证明过程可知，若P是是AB中点，则有中点，则有OP= (OA+OB).利用本题结论，可解决一些几何问题利用本题结论，可解决一些几何问题.214.E是是ABCD的边的边AB上一点，上一点，AE/EB=1/2，DE与对角线与对角线AC交于交于F，求，求AF/FC.(用向量知识解答用向量知识解答) 【解题回顾解题回顾】利用例利用例3结论，本题还可这样：结论，本题还可这样： 设设AE=e1，AD=e2，D、F、E共线，共线，可设可设AF=e1+(1-)e2，又，又易知易知AC=3e1+e2根据根据A、F、C三点共线可得三点共线可得=3/4，故，故AF/FC=1/3.另外还可以用坐标运算的方法来解，略另外还可以用坐标运算的方法来解，略. 返回返回5.如图，已知梯形如图，已知梯形ABCD中，中，ADCB，E，F分别是分别是AD，BC边上边上的中点，且的中点，且BC=3AD，设，设BA=a,BC=b，以，以a,b为基底表示为基底表示EF，DF，CD. 【解题回顾解题回顾】本题实际上是平面向量的基本定理的应用本题实际上是平面向量的基本定理的应用.由于由于BA与与BC是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它们表示出来们表示出来. 返回返回1.很多人认为很多人认为“若若ab，则存在唯一实数，则存在唯一实数使使ba.”这是典型错这是典型错误误.事实上，它成立的前提是事实上，它成立的前提是a0.同样，在向量基本定理中，若同样，在向量基本定理中，若e1，e2是共线向量，则不能用是共线向量，则不能用e1，e2表示与它们不共线的向量表示与它们不共线的向量. 2.在能力在能力思维思维方法方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了写成了0. 返回返回
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