概率论与数理统计作业 2

第一章随机事件与概率1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。解： ,2.设，试就以下三种情况分别求：（1），（2），（3）解: （1）（2）（3）3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解: 记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。 4进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：（1）直到第次才成功；（2）在次中取得次成功；解: (1) (2)5. 设事件A，B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：（a）必然对，（b）必然错，（c）可能对也可能错，并说明理由。（1）若A，B互不相容，则它们相互独立。（2）若A与B相互独立，则它们互不相容。（3），则A与B互不相容。（4），则A与B相互独立。解: (1)b, 互斥事件,一定不是独立事件 (2)c, 独立事件不一定是互斥事件, (3)b, 若A与B互不相容,则,而 (4)a, 若A与B相互独立,则,这时6. 有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；(2)若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。解: (1)记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。B=A1B+A2B且A1，A2互斥P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) =(2)7.思考题：讨论对立、互斥（互不相容）和独立性之间的关系。解:独立事件不是对立事件,也不一定是互斥事件;对立事件是互斥事件,不能是独立事件;互斥事件一般不是对立事件,一定不是独立事件.第二章随机变量及其概率分布1.设X的概率分布列为：Xi0123Pi0.10.10.10.7F(x)为其分布的函数，则F（2）=？解: 2设随机变量X的概率密度为f (x)=则常数c等于？解:由于,故3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？解: (1)(2)(3) =0.0768+0.2304+0.1728=0.48(4) 4.设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。解: 由可得:所以5.假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。解:6. 随机变量XN (3, 4), (1) 求 P(2X5) , P(- 42),P(X3)；（2）确定c，使得 P(Xc) = P(Xc)。解:=0.5328=所以 故 7设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的分布律分别为X01Y12PP试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；（2）随机变量Z=XY的分布律.解: X Y1200.10.1510.30.45Z012P0.250.30.458. 思考题:举出几个随机变量的例子。第三章 多维随机变量及其概率分布1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。解:X Y0120000.1100.40.220.10.20YX01200.10.2a10.1b0.22.设二维随机变量的联合分布律为：试根椐下列条件分别求a和b的值； (1)； (2)； (3)设是的分布函数，。解: (1),(2),3.的联合密度函数为：求（1）常数k；（2）P(X1/2,Y1/2)；(3) P(X+Y1)；(4) P(X1/2)。解: (1),故(2)(3)(4)4的联合密度函数为：求（1）常数k；（2）P(X+Y1)；(3) P(X1/2)。解: (1),故(2) (3) 5.设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。解: 6. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。解: ,7. (X, Y) 的联合分布律如下， YX12311/61/91/182ab1/9试根椐下列条件分别求a和b的值；(1) ； (2) ； （3）已知与相互独立。解: (1),(2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/188.(X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c，并讨论与是否相互独立？解: ,c=6,故与相互独立.9.思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢？解:联合分布可以得到边缘分布,反之不真.第四章 随机变量的数字特征1盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是：B （A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.2.设有密度函数：, 求,并求大于数学期望的概率。(该题数有错)解: 3.设二维随机变量的联合分布律为 YX01200.10.2a10.1b0.2已知， 则a和b的值是：D （A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。4设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求。解：X0123P0.10.20.30.45设X有分布律：则是：D（A）1；（B）2； （C）3； （D）4.6.丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求.解：X的分布为 7.有密度函数：，求 D(X).解：，8.设,相互独立，则的值分别是：（A） -1.6和4.88； （B）-1和4； （C）1.6和4.88； （D）1.6和-4.88.解: A9. 设，与有相同的期望和方差，求的值。（A） 0和8； （B） 1和7； （C） 2和6； （D） 3和5.解: B10下列结论不正确的是（ ）（A）与相互独立，则与不相关；（B）与相关，则与不相互独立；（C），则与相互独立；（D），则与不相关；解: B11若 ，则不正确的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）；解:D12（）有联合分布律如下，试分析与的相关性和独立性。YX-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8解: 由于 而所以与不独立. 由于,所以,与不相关13是与不相关的（ B ） （A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。14. 是与相互独立的（A ）（A） 必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。15.思考题：（1） 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证与不相关，但不独立。解: 0,不相关显然:,所以与不独立.（2）设有，试验证，但与不相互独立解: 显然:,所以与不独立.讨论与独立性，相关性与独立性之间的关系解:若X与Y相互独立,则,反之不成立.独立一定不相关,反之不真.第五章大数定律及中心极限定理1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。解: 设第只元件的寿命为(),则是这30只元件寿命的总合,则所求的概率为: 2.某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由中心极限定理求最多“成功”6次的概率的近似值。解: 设成功的次数为,则,第六章样本与统计量1.有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本均值=1.57 ，样本均方差 0.2541，样本方差0.06456。2设总体方差为有样本，样本均值为，则 。3. 查有关的附表，下列分位点的值：=?，=9.236 ，=-1.3722 。4设是总体的样本，求。解: 5设总体，样本，样本均值，样本方差，则 ， ， 第七章 参数估计1.设总体的密度函数为：，有样本，求未知参数 的矩估计。解:,故 的矩估计:2.每分钟通过某桥量的汽车辆数，为估计的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下： 次数： 2 3 4 5 6 量数： 9 5 3 7 4 试求的一阶矩估计和二阶矩估计。 解:,所以,3.设总体的密度函数为：，有样本，求未知参数 的极大似然估计。解:由题设,似然函数为:,解得的极大似然估计为4.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度,抽取9根纤维，测量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求的置信度为的置信区间，（1）若,（2）若未知解: (1),的置信区间为(2) ,时,置信区间为:5. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得，s = 0.0494,设另件长度,取置信度为，（1）求的置信区间，（2）求的置信区间。解:,所以置信区间为: .的置信区间为:0.0361,0.0762第八章假设检验1.某种电子元件的阻值（欧姆）,随机抽取25个元件，测得平均电阻值，试在下检验电阻值的期望是否符合要求？解:检验假设:,由已知可得: 查表得:,故拒绝原假设, 电阻值的期望不符合要求2.在上题中若未知，而25个元件的均方差，则需如何检验，结论是什么？解:由于方差未知,故用t检验.检验假设: , 查表 由于,故接收原假设, 电阻值的期望符合要求,3.成年男子肺活量为毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为毫升，设方差为，试检验肺活量均值的提高是否显著（取）？ 解: 检验假设: ,查表得: ,故接收原假设,即提高不显著.