一阶常系数线性差分方程

第二节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为yt+1+ayt=f(t) (11-2-1)和yt+1+ayt=0， (11-2-2)其中f(t)为t的已知函数，a0为常数我们称方程(11-2-1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11-2-2)称为其对应的齐次差分方程一、 齐次差分方程的通解将方程(11-2-2)改写为：yt+1=-ayt, t=0,1,2,假定在初始时刻(即t=0)时，函数yt取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,由数学归纳法易知，方程(11-2-2)的通解为yt =A(-a)t, t=0,1,2,如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为：yt =y0(-a)t （11-2-3）二、 非齐次方程的通解与特解求非齐次方程(11-2-1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11-2-1)的特解的常用方法为待定系数法 迭代法求通解将方程(11-2-1)改写为yt+1=(-a)yt+f(t), t=0,1,2,逐步迭代，则有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),由数学归纳法，可得yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+f(t-1)=(-a)ty0+, (t=0,1,2,)， （11-2-4）其中=(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+f(t-1)=f(t-i-1) （11-2-5）为方程(11-2-1)的特解而yA(t)=(-a)ty0为(11-2-1)对应的齐次方程(11-2-2)的通解这里y0=A为任意常数因此，(11-2-4)式为非齐次方程(11-2-1)的通解与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(11-2-1)的通解(11-24-)也可以由齐次方程(11-2-2)的通解(11-2-3)经由常数变易法求得，这里不予赘述例1 求差分方程yt+1-yt=2t的通解解 方程为一阶非齐次线性差分方程其中a=-,f(t)=2t于是由非齐次方程的特解公式(11-2-5)有 =由(11-2-4)式，得所给方程的通解yt=A()t+()t-1(22t-1)= ()t+2t+1,这里=A-为任意常数2 待定系数法求特解迭代法虽然可直接推导出非齐次方程(11-2-1)的通解公式(11-2-4)，但是在实际应用中经常用公式(11-2-5)直接去求方程(11-1-1)的特解很不方便；因此，我们有必要去探寻求方程(11-2-1)的特解的别的方法与常微分方程相类似，对于一些特殊类型的f(t)，常采用待定系数法去求方程(11-2-1)的特解，而不是直接利用公式(11-2-5)求特解下面介绍经济学中常见的几类特殊f(t)的形式及求其特解的待定系数法情形 f(t)为常数这时，方程(11-2-1)变为yt+1+ayt=b， (11-2-6)这里a,b均为非零常数试以=(为待定常数)形式的特解代入方程(11-2-6)，得+a=(1+a)=b当a-1时，可求得特解 (a-1)，当a=-1时，这时改设特解=t(为待定系数)，将其代入方程(11-2-6)，得(t+1)+at=(1+a)t+=b,因a=-1,故求得特解=bt (a=-1)综上所述，方程(11-2-6)的通解为yt=yA(t)+= (11-2-7)其中A为任意常数例2 求差分方程yt+1-2yt=5的通解解 因a=-2-1,b=5,故由通解公式(11-2-7)，得原方程的通解为yt=A2t-5, A为任意常数例3 求差分方程yt+1-yt=-5满足初始条件y0=1的通解解 因a=-1,b=-5,则由通解公式(11-2-7)，得原方程的通解为yt=A-5t,以t=0,y0=1代入通解之中，求得A=1于是，所求方程的特解为yt=1-5t情形 f(t)为t的多项式为讨论简便起见，不妨设f(t)=b0+b1t(t的一次多项式)，即考虑差分方程yt+1+ayt=b0+b1t, t=1,2,， (11-2-8)其中a,b0,b1均为常数，且a0,b10试以特解=a+bt,(a，b为待定系数)代入方程(11-2-8)，得a+b (t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，上式对一切t值均成立，其充分必要条件是：当1+a0时，即a-1时，a =，b=,于是，方程(11-2-8)的特解为 (a-1)；当a=-1时，改设特解=(a+bt)t=at+bt2，将其代入方程(11-2-8)，并注意a=-1,可求得特解=(b0-b1)t+b1t2 (a=-1)综上所述，方程(11-2-10)的通解为yt= (11-2-9)例4 求差分方程yt+1-3yt=2t满足y0=的特解解 因a=-3-1,b0=0,b1=2,故由通解公式(11-2-9)得所给方程的通解为yt=A3t-t,A为任意常数以t=0,y0=代入上式，求得A=1,于是所求方程的特解为yt=3t-t例5 求差分方程yt+1-yt=3+2t的通解解 因a=-1,b0=3,b1=2,故由通解公式(11-2-9)得所给方程的通解为yt=A+2t+t2,A为任意常数情形 f(t)为指数函数不妨设f(t)=bdt，这里b,d均为非零常数，于是方程(11-2-1)变为yt+1+ayt=bdt, t=0,1,2, （11-2-10）当a+d0时，设方程(11-2-10)有特解=mdt，这里m为待定系数将其代入方程(11-2-10)，得mdt+1+amdt=bdt,求得特解=dt (a+d0)；当a+d=0时，改设(11-2-10)的特解=tdt,为待定系数，将其代入方程(11-2-10)，注意a+d=0,可求得特解=btdt (a+d=0)综合上述，方程(11-2-10)的通解为yt=yA(t)+= （11-2-11）例6 求差分方程yt+1-yt=2t的通解解 因a=-1,b=1,d=2，故a+d=10由通解公式(11-2-11)得原方程的通解yt=A+2t，A为任意常数例7 求差分方程2yt+1-yt=3()t的通解解 因a=-,b=,d=,故a+d=0.由通解公式(11-2-11)，得原方程的通解yt=(A+3t)()t,A为任意常数情形 f(t)为正弦、余弦型三角函数设f(t)=b1cost+b2sint,其中b1,b2,均为常数，且0，b1与b2不同时为零于是非齐次方程(11-2-1)变为yt+1+ayt=b1cost+b2sint，a0, t=0,1,2, (11-2-12)设方程(11-2-12)有特解=cost+sint,这里a,b均为待定系数将其代入方程(11-2-12)得acos(t+1)+sin(t+1)+acost+asint=b1cost+b2sint,利用三角恒等式，经整理得(cos+sin+a)cost+(-sin+cos+a)sinwt=b1cost+b2sint,上式对t=0,1,2,恒成立的充分必要条件是这是关于a，b为未知量的线性方程组，其系数行列式D= =(a+cosw)2+sin2w，当D0时，则可求得其解 (11-2-13)当D=(a+cosw)2sin2w=0时，则有或 (k为整数) (11-2-13)这时，我们改设特解=t(cost+sint),，为待定系数将其代入(11-2-12)，并利用条件(11-2-13)，经整理可得 或 ，结合上述，方程(11-2-12)的通解为=(11-2-14)值得注意的是：若f(t)=b1cost或f(t)=b2sint时，方程(11-2-12)所应设的特解仍取为=cost+sint或=t(cost+sint)的形式，不能省略其中任何一项例8 求差分方程yt+1-2yt=cost的通解解 对应齐次方程的通解为yA(t)=A2t设非齐次方程的特解为=cost+sint,其中,为待定系数将其代入原方程，并利用三角函数的和角公式，得由此求得,于是，所给方程的通解为yt=,其中A为任意常数上述f(t)的四种类型，已基本包含了经济学应用中常见的函数类型实际中,若遇到这几种类型的线性组合形式的f(t),则可设试解函数为同类型特解的线性组合例如，对于函数f(t)=t+3et+2sint时，我们可设试解函数为=(B0+B1t)+B2et+B3cost+B4sint，这里B0，B1，B2，B3，B4均为待定常数习题11-21 验证y1(t)1,y2(t)=是方程yt+2-2yt+1+ yt=0的解，并求该差分方程的通解2 已知y1(t)=2t,y2(t)=2t-3t是差分方程yt+1+a(t)yt=f(t)的两个特解，求a(t)及f(t)3 设y1(t),y2(t),y3(t)分别是差分方程：yt+1+ayt=f1(t); yt+1+ayt=f2(t); yt+1+ayt=f3(t)的解，求证：z(t)=y1(t)+y2(t)+y3(t)是差分方程yt+1+ayt=f1(t)+f2(t)+f3(t)的解4 求下列差分方程的通解：(1) 3yt+1+yt=4; (2) 2yt+1+yt=3+t;(3) yt+1+yt=2t； (4) yt+1-yt=2tcost提示：设特解=2t(B1cost+B2sint),B1,B2为待定系数5 求下列差分方程的特解：(1) 16yt+1-6yt=1, y0=0.2; (2) 2yt+1-yt=2+t, y0=4;(3) yt+1-yt=2t-1,y0=5; (4) yt+1+4yt=3sint, y0=16 设a,b为非零常数，且1+a0试证：通过变换ut=yt-,可将非齐次方程yt+1+ayt=b变换为ut的齐次方程，并由此求出yt的通解7 已知差分方程(a+byt)yt+1=cyt,t=0,1,2,，其中a,b,c为正常数，y0为正的已知初始条件(1) 试证：yt0,t=1,2,3,；(提示：用迭代法证)(2) 试证：变换ut=将原方程可化为ut的线性方程，并由此求出yt的通解；(3) 求方程(2+3yt)yt1=4yt满足初始条件y0=的特解7