2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文科预测卷(浙江卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文科预测试题（浙江卷）（满分150分，考试时间120分）第卷1、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.设集合，则实数a的值为 A0 B1 C2 D4答案及解析：1.D【知识点】并集及其运算A1 解析：根据题意，集合A=0，2，a，B=1，a2，且AB=0，1,2，4，16，则有a=4，故选：D【思路点拨】根据题意，由A与B及AB，易得a2=16，分情况求得A、B，验证AB，可得到答案2.（5分）（2015西安校级二模）“a=0”是“直线l1：x+aya=0与l2：ax（2a3）y1=0”垂直的（） A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件答案及解析：2.B【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 直线与圆；简易逻辑【分析】： 根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可解：若两直线垂直，则aa（2a3）=0，即a（42a）=0，解得a=0或a=2，故“a=0”是“直线l1：x+aya=0与l2：ax（2a3）y1=0”垂直充分不必要条件，故选：B【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键3.某锥体三视图如右，根据图中所标数据，该锥体的各侧面中，面积最大的是（） A. 3 B. 2 C. 6 D. 8答案及解析：3.C 【知识点】由三视图求面积、体积G2解析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：4=2两个侧面面积为：23=3，前面三角形的面积为：4=6，四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6故选C【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥PABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可4.（5分）将函数y=sin（2x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为（） A y=sin（x） B y=sin（x） C y=sin4x D y=sinx答案及解析：4.D【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解：将函数y=sin（2x）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin2（x+）=sin2x的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为y=sinx，故选：D【点评】： 本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题5.（5分）过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为（） A B 2 C D 2答案及解析：5.D【考点】： 直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用【专题】： 计算题【分析】： 本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y24y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解解：将圆x2+y24y=0的方程可以转化为：x2+（y2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，A到直线ON的距离，即弦心距为1，ON=，弦长2，故选D【点评】： 要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题正确的是若，则 若，则 若，则 若，则答案及解析：6.C【知识点】直线与平面的位置关系 G4由直线与平面的性质可知当，时，则，所以正确选项为C.【思路点拨】由直线与平面的位置关系我们可以直接判定各选项的正误.7.（5分） 函数f（x）=x+sinx（xR）（） A 是偶函数且为减函数 B 是偶函数且为增函数 C 是奇函数且为减函数 D 是奇函数且为增函数答案及解析：7.D【考点】： 利用导数研究函数的单调性【专题】： 函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】： 根据函数奇偶性的定义，以及导数和函数单调性的关系即可得到结论解：f（x）=x+sinx，f（x）=xsinx=f（x），则函数f（x）是奇函数函数的导数f（x）=1+cosx0，则函数f（x）单调递增，为增函数故选：D【点评】： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用导数和单调性之间的关系是解决本题的关键8.（5分）（2015西安校级二模）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（） A B C D 答案及解析：8.A【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： x2+11，又y=lnx在（0，+）单调递增，y=ln（x2+1）ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案解：x2+11，又y=lnx在（0，+）单调递增，y=ln（x2+1）ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，图象过原点，综上只有A符合故选：A【点评】： 对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题9.称为两个向量、间的“距离”若向量、满足:；对任意的，恒有，则（ ）A B C. D答案及解析：9.C 【知识点】向量的模F2解析：如图：|=1，的终点在单位圆上，用 表示，用 表示 ，用 表示 ，设 =t ，d（，t）=|，d（，）=|，由d（，t）d（，）恒成立得，|恒成立，故选 C【思路点拨】由题意知 的终点在单位圆上，由d（，t）d（，）恒成立得|恒成立，从而 即10.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是（ ） A. 海里 B.海里 C. .海里 D. 海里答案及解析：10.A第卷二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11.已知复数（其中是虚数单位），则 答案及解析：11. 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义L4解析：由z=1+i，得z2+z=（1+i）2+（1+i）=1+2i+i2+1+i=故答案为：【思路点拨】把复数直接代入z2+z，然后利用复数的平方和加法运算求解12.（5分）（2015淄博一模）在约束条件下，目标函数z=3x+2y的最大值是答案及解析：12.7【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，2），此时zmin=31+22=7，故答案为：7【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键13.（5分） 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为；答案及解析：13.0【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时，满足条件i4，退出循环，输出S的值为0解：模拟执行程序，可得S=1，i=1S=3，i=2，不满足条件i4，S=4，i=3不满足条件i4，S=1，i=4不满足条件i4，S=0，i=5满足条件i4，退出循环，输出S的值为0故答案为：0【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查14.（5分）（2015青岛一模）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为答案及解析：14.【考点】： 几何概型【专题】： 概率与统计【分析】： 设AC=x，则BC=12x，由矩形的面积S=x（12x）20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求解：设AC=x，则BC=12x矩形的面积S=x（12x）20x212x+2002x10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P=故答案为：【点评】： 本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题15.若函数，则 答案及解析：15.216.（5分）（2015万州区模拟）已知向量，若，则16x+4y的最小值为答案及解析：16.8【考点】： 基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】： 计算题【分析】： 利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得【解答】： 4（x1）+2y=0即4x+2y=4=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】： 本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等17.若直线与双曲线始终有公共点，则取值范围是 。答案及解析：17. 当时，显然符合条件；当时，则三、解答题：本大题共6 小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本小题满分14分）在锐角中,角的对边分别为,且.（I）求角的大小；（II）若函数的值域.答案及解析：18.（I）（II） 【知识点】余弦定理；正弦函数的图象C4 C8解析：（I）由，利用正弦定理可得2sinBcosAsinCcosA=sinAcosC，化为2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，sinB0，cosA=，A，（II）y=sinB+sin=sinB+cosB=2，B+C=，y【思路点拨】（I）由，利用正弦定理可得2sinBcosAsinCcosA=sinAcosC，可得cosA=;（II）y=sinB+sin=2，利用锐角三角形的性质可得，再利用正弦函数的单调性即可得出19.（14分）已知公差为d的等差数列an满足：an+an+1=2n，nN*（）求首项a1和公差d，并求数列an的通项公式；（）令，nN*，求数列bn的前n项和Sn答案及解析：19.【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （I）公差为d的等差数列an满足：an+an+1=2n，nN*令n=1，2，可得a1+a2=2，a2+a3=4，解得d，即可得出a1，利用通项公式即可得出（II）由an+an+1=2n，nN*变形=，利用“裂项求和”即可得出解：（I）公差为d的等差数列an满足：an+an+1=2n，nN*令n=1，2，可得a1+a2=2，a2+a3=4，2d=2，解得d=1，2a1+d=2，解得a1=，=n（II）an+an+1=2n，nN*=，数列bn的前n项和Sn=b1+b2+bn=1=【点评】： 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.（本小题15分）如图所示，在三棱锥中，平面平面， （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值答案及解析：20.（I）略（II）【知识点】单元综合G12（I）过做于2分平面平面，平面平面平面 4分又 平面7分（II）解法1：平面 连结则为求直线与平面所成角11分 又 又15分直线与平面所成角的正弦值等于.解法2：设直线与平面所成角为，到平面的距离为 ， 9分 平面 12分又 15分【思路点拨】根据线线垂直证明线面垂直，由 ，又 。21.（本小题满分15分）已知函数f（x）=2lnx+（I）当函数f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y4x+1=0垂直时，求实数m的值；（）若x1时，f（x）1恒成立，求实数m的取值范围答案及解析：21.（）9； （） 2，+） 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用（）f（x）=，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率k=f（1）=2，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y4x+1=0垂直，2=，m=9； （）依题意不等式2lnx+1在x1时恒成立，即mx+12（x+1）lnx在x1时恒成立令g（x）=x+12（x+1）lnx（x1），则g（x）=12lnx+=，x1时，g（x）0，函数g（x）在1，+）时为减函数，g（x）g（1）=2，m2即实数m的取值范围是2，+）【思路点拨】（）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，即可得到所求m的值；（）不等式2lnx+1在x1时恒成立，即mx+12（x+1）lnx在x1时恒成立令g（x）=x+12（x+1）lnx（x1），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可22.（本小题满分14分）设抛物线C：的准线被圆O：所截得的弦长为，（1）求抛物线C的方程;（2）设点F是抛物线C的焦点，N为抛物线C上的一动点，过N作抛物线C的切线交圆O于P、Q两点，求面积的最大值答案及解析：22.（1）;（2）【知识点】抛物线的简单性质H7解析：（1）因为抛物线C的准线方程为，且直线被圆O：所截得的弦长为，所以，解得，因此抛物线C的方程为；（4分）（2）设N（），由于知直线PQ的方程为： 即（6分）因为圆心O到直线PQ的距离为，所以|PQ|=,（7分）设点F到直线PQ的距离为d，则，（ 8分）所以，的面积S （11分）当时取到“=”，经检验此时直线PQ与圆O相交，满足题意综上可知，的面积的最大值为（12分）【思路点拨】（1）利用直线y=被圆O：x2+y2=4所截得的弦长为，结合勾股定理，即可求出抛物线C的方程； （2）设N（t，），圆心O到直线PQ的距离为，求出点F到直线PQ的距离，表示出FPQ面积，利用配方法，可求FPQ面积的最大值